Isosceles τρίγωνο χαρακτηριστικά, τον τύπο και την περιοχή, τον υπολογισμό



Α ισοσκελές τρίγωνο Είναι ένα πολύγωνο τριών όψεων, όπου δύο από αυτά έχουν την ίδια μέτρηση και η τρίτη πλευρά έχει διαφορετική μέτρηση. Αυτή η τελευταία πλευρά ονομάζεται βάση. Λόγω αυτού του χαρακτηριστικού δόθηκε αυτό το όνομα, το οποίο στα ελληνικά σημαίνει "ίσια πόδια"

Τα τρίγωνα είναι πολύγωνα που θεωρούνται τα απλούστερα στη γεωμετρία, επειδή σχηματίζονται από τρεις πλευρές, τρεις γωνίες και τρεις κορυφές. Είναι εκείνοι που έχουν τον ελάχιστο αριθμό πλευρών και γωνιών σε σχέση με τα άλλα πολύγωνα, ωστόσο η χρήση του είναι πολύ εκτεταμένη.

Ευρετήριο

  • 1 Χαρακτηριστικά των ισοσκελικών τριγώνων
    • 1.1 Εξαρτήματα
  • 2 Ιδιότητες
    • 2.1 Εσωτερικές γωνίες
    • 2.2 Άθροισμα των πλευρών
    • 2.3 Σύμφωνες πλευρές
    • 2.4 Συμφωνία γωνίες
    • 2.5 Το ύψος, ο διάμεσος, ο διχοτόμος και ο διχοτομητής συμπίπτουν
    • 2.6 Σχετικά ύψη
    • 2.7 Ορθοκέντρη, bararycenter, incenter και circumcenter συμπίπτουν
  • 3 Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?
  • 4 Πώς να υπολογίσετε το ύψος?
  • 5 Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?
  • 6 Πώς να υπολογίσετε τη βάση του τριγώνου?
  • 7 Ασκήσεις
    • 7.1 Πρώτη άσκηση
    • 7.2 Δεύτερη άσκηση
    • 7.3 Τρίτη άσκηση
  • 8 Αναφορές

Χαρακτηριστικά των ισοσκελικών τριγώνων

Το ισοσκελές τρίγωνο ταξινομήθηκε χρησιμοποιώντας το μέτρο των πλευρών του ως παράμετρο, αφού δύο από τις πλευρές του είναι σύμφωνες (έχουν το ίδιο μήκος).

Σύμφωνα με το πλάτος των εσωτερικών γωνιών, τα ισοσκελούμενα τρίγωνα ταξινομούνται ως:

  • Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο: δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Μια από τις γωνίες του είναι ευθεία (90o) και τα άλλα είναι τα ίδια (45o κάθε μία)
  • Isosceles αμβλύ γωνιακό τρίγωνο: δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Μια από τις γωνίες της είναι αμβλεία (> 90o).
  • Isosceles οξεία γωνιακό τρίγωνο: δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Όλες οι γωνίες είναι απότομες (< 90o), όπου δύο έχουν το ίδιο μέτρο.

Εξαρτήματα

  • Ο διάμεσος: είναι μια γραμμή που φεύγει από το μέσο της μίας πλευράς και φτάνει στην αντίθετη κορυφή. Οι τρεις μεσαίοι συμφωνούν σε ένα σημείο που λέγεται κεντροειδές ή κεντροειδές.
  • Ο διχοτόμος: είναι μια ακτίνα που χωρίζει τη γωνία κάθε κορυφής σε δύο γωνίες ίσου μεγέθους. Γι 'αυτό είναι γνωστός ως άξονας συμμετρίας και αυτός ο τύπος τριγώνων έχει μόνο ένα.
  • Το διαδίκτυο: είναι ένα τμήμα κάθετο στην πλευρά του τριγώνου, που προέρχεται από τη μέση αυτής. Υπάρχουν τρία μέσα ενημέρωσης σε ένα τρίγωνο και συμφωνούν σε ένα σημείο που ονομάζεται circuncentro.
  • Το ύψος: είναι η γραμμή που πηγαίνει από την κορυφή στην πλευρά που είναι αντίθετη και επίσης αυτή η γραμμή είναι κάθετη προς εκείνη την πλευρά. Όλα τα τρίγωνα έχουν τρία ύψη, τα οποία συμπίπτουν σε ένα σημείο που ονομάζεται orthocenter.

Ιδιότητες

Τα ισότοπα τρίγωνα ορίζονται ή αναγνωρίζονται επειδή έχουν πολλές ιδιότητες που τους αντιπροσωπεύουν, που προέρχονται από τα θεωρήματα που προτείνονται από μεγάλους μαθηματικούς:

Εσωτερικές γωνίες

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 180o.

Άθροισμα των πλευρών

Το άθροισμα των μέτρων των δύο πλευρών πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της τρίτης πλευράς, a + b> c.

Συμφωνημένες πλευρές

Τα τρίγωνα Isosceles έχουν δύο πλευρές με το ίδιο μέτρο ή μήκος. δηλαδή, είναι σύμφωνες και η τρίτη πλευρά είναι διαφορετική από αυτές.

Συγκεκριμένες γωνίες

Τα ισόστατα τρίγωνα είναι γνωστά και ως τρίγωνα iso-angle, επειδή έχουν δύο γωνίες που έχουν το ίδιο μέτρο (συναρτήσεις). Αυτά βρίσκονται στη βάση του τριγώνου, απέναντι από τις πλευρές που έχουν το ίδιο μήκος.

Εξαιτίας αυτού, το θεώρημα που καθορίζει ότι:

"Εάν ένα τρίγωνο έχει δύο όμοιες πλευρές, οι γωνίες απέναντι από αυτές τις πλευρές θα είναι επίσης σύμφωνες". Επομένως, εάν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελής, οι γωνίες των βάσεων του είναι σύμφωνες.

Παράδειγμα:

Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα τρίγωνο ABC. Με τον εντοπισμό του διχοτόπου του από την κορυφή της γωνίας Β στη βάση, το τρίγωνο διαιρείται σε δύο τρίγωνα ίσα BDA και BDC:

Έτσι, η γωνία της κορυφής Β χωρίστηκε επίσης σε δύο ίσες γωνίες. Ο διχοτόμος είναι τώρα η κοινή (BD) κοινή μεταξύ των δύο νέων τριγώνων, ενώ οι πλευρές AB και BC είναι οι αντίστοιχες πλευρές. Έχετε λοιπόν την περίπτωση της πλευράς συναρμογής, της γωνίας, της πλευράς (LAL).

Αυτό δείχνει ότι οι γωνίες των κορυφών Α και C έχουν το ίδιο μέτρο, όπως επίσης μπορεί να φανεί ότι καθώς τα τρίγωνα BDA και BDC είναι ομοιογενή, οι πλευρές AD και DC είναι επίσης όμοιες..

Το ύψος, ο διάμεσος, ο διχοτόμος και ο διχοτόμος συμπίπτουν

Η γραμμή σύρεται από την κορυφή απέναντι από την βάση προς το μεσαίο σημείο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου, είναι τόσο το ύψος, διάμεσο και διχοτόμο, καθώς και η διχοτόμος στην απέναντι γωνία της βάσης.

Όλα αυτά τα τμήματα συμπίπτουν σε ένα που τα αντιπροσωπεύει.

Παράδειγμα:

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το τρίγωνο ABC με ένα μέσο σημείο M που διαιρεί τη βάση σε δύο τμήματα BM και CM.

Όταν σχεδιάζετε ένα τμήμα από το σημείο M προς την αντίθετη κορυφή, εξ ορισμού λαμβάνετε το διάμεσο AM, το οποίο είναι σχετικό με την κορυφή Α και την πλευρά BC.

Καθώς το τμήμα της ΔΑ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα ABC και ΑΜΒ AMC, αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση της πλευράς γωνίας πλευρικών ταύτιση και ως εκ τούτου, θα είναι επίσης η διχοτόμος AM BAC.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο διχοτόμος θα είναι πάντα ίσος με το διάμεσο και το αντίστροφο.

Το τμήμα AM σχηματίζει γωνίες που έχουν το ίδιο μέτρο για τα τρίγωνα AMB και AMC. δηλαδή, είναι συμπληρωματικά κατά τρόπο ώστε το μέτρο του καθενός να είναι:

Med. (ΑΜΒ) + Med. (ΑΜΟ) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Μπορεί να είναι γνωστό ότι οι γωνίες που σχηματίζονται από το τμήμα AM σε σχέση με τη βάση του τριγώνου είναι ευθείες, πράγμα που δείχνει ότι αυτό το τμήμα είναι εντελώς κάθετο προς τη βάση.

Επομένως αντιπροσωπεύει το ύψος και το διχοτόμο, γνωρίζοντας ότι το Μ είναι το μέσο.

Επομένως, η ευθεία AM:

  • Αντιπροσωπεύει το ύψος του BC.
  • Είναι μέτριο.
  • Περιλαμβάνεται στο mediatrix του BC.
  • Είναι ο διχοτόμος της γωνίας κορυφής Β

Σχετικά ύψη

Τα ύψη που είναι σχετικά με τις ίσες πλευρές, έχουν το ίδιο μέτρο επίσης.

Δεδομένου ότι το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, τα δύο αντίστοιχα ύψη θα είναι επίσης ίσα.

Ορθοκέντρη, bararycenter, incenter και circumcenter συμπίπτουν

Όπως ύψος, διάμεση διχοτόμο διχοτομημένου και στη βάση, εκπροσωπούνται αμφότερα από ένα μόνο τμήμα, το ορθόκεντρο, και κεντροειδές Incentro circumcenter να είναι συγγραμμικά σημεία, ήτοι ήταν στην ίδια γραμμή:

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?

Η περίμετρος ενός πολυγώνου υπολογίζεται από το άθροισμα των πλευρών.

Επειδή στην περίπτωση αυτή το τρίγωνο ισοσκελής έχει δύο πλευρές με το ίδιο μέτρο, η περίμετρος του υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

P = 2*(πλευρά α) + (πλευρά β).

Πώς να υπολογίσετε το ύψος?

Το ύψος είναι η γραμμή κάθετη προς τη βάση, διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ίσα μέρη, επεκτείνοντας την αντίθετη κορυφή.

Το ύψος αντιπροσωπεύει το αντίθετο σκέλος (α), το ήμισυ της βάσης (b / 2) στο γειτονικό σκέλος και η πλευρά "a" αντιπροσωπεύει την υποτείνουσα.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Pythagorean, μπορείτε να καθορίσετε την τιμή του ύψους:

α2 + β2 = γ2

Πού:

α2 = ύψος (h).

β2 = b / 2.

γ2 = πλευρά α.

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στο Πυθαγόρειο θεώρημα και εκκαθαρίζοντας το ύψος που έχουμε:

h2 + (β / 2)2 = α2

h2 + β2 / 4 = α2

h2 = α2 - β2 / 4

h = √ (α2 - β2 / 4).

Εάν η γωνία που σχηματίζεται από τις αντίστοιχες πλευρές είναι γνωστή, το ύψος μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?

Η περιοχή των τριγώνων υπολογίζεται πάντοτε με τον ίδιο τύπο, πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος και διαιρώντας με δύο:

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι γνωστές μόνο οι μετρήσεις δύο πλευρών του τριγώνου και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, για τον προσδιορισμό της περιοχής είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι τριγωνομετρικές αναλογίες:

Πώς να υπολογίσετε τη βάση του τριγώνου?

Δεδομένου ότι το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, για να προσδιοριστεί η τιμή της βάσης του πρέπει κανείς να γνωρίζει τουλάχιστον το μέτρο του ύψους ή μιας από τις γωνίες του.

Γνωρίζοντας το ύψος που χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα:

α2 + β2 = γ2

Πού:

α2 = ύψος (h).

γ2 = πλευρά α.

β2 = b / 2, είναι άγνωστη.

Εκκαθαρίσαμε b2 του τύπου και πρέπει:

β2 = α2 - γ2

b = √ α2 - γ2

Επειδή αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο μισό της βάσης, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με δύο για να ληφθεί το πλήρες μέτρο της βάσης του τριγώνου ισοσκελών:

b = 2 * (√ α2 - γ2)

Σε περίπτωση που είναι γνωστό μόνο αξία ίσες πλευρές και η γωνία μεταξύ αυτών, τριγωνομετρία εφαρμόζεται σημαδεύοντας μια γραμμή από την κορυφή προς τη βάση που χωρίζει το ισοσκελές τρίγωνο σε δύο δεξιά τρίγωνα.

Με αυτόν τον τρόπο, το ήμισυ της βάσης υπολογίζεται με:

Είναι επίσης πιθανό να είναι γνωστή μόνο η τιμή του ύψους και της γωνίας της κορυφής που είναι απέναντι από τη βάση. Στην περίπτωση αυτή με τριγωνομετρία μπορεί να καθοριστεί η βάση:

Ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Βρείτε την περιοχή του ισοσκελούς τριγώνου ABC, γνωρίζοντας ότι δύο από τις πλευρές του έχουν διάμετρο 10 cm και η τρίτη πλευρά μετρά 12 cm.

Λύση

Για να βρούμε την περιοχή του τριγώνου είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το ύψος χρησιμοποιώντας τον τύπο της περιοχής που σχετίζεται με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αφού η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ των ίσων πλευρών δεν είναι γνωστή.

Έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα του ισοσκελούς τριγώνου:

  • Ίσες πλευρές (α) = 10 cm.
  • Βάση (b) = 12 cm.

Οι τιμές στον τύπο αντικαθίστανται:

Δεύτερη άσκηση

Το μήκος των δύο ίσων πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου μετράει 42 cm, ενώ η ένωση αυτών των πλευρών σχηματίζει γωνία 130o. Προσδιορίστε την τιμή της τρίτης πλευράς, την περιοχή αυτού του τριγώνου και την περίμετρο.

Λύση

Στην περίπτωση αυτή είναι γνωστές οι μετρήσεις των πλευρών και η γωνία μεταξύ τους.

Για να γνωρίζουμε την αξία της πλευράς που λείπει, δηλαδή της βάσης εκείνου του τριγώνου, μια γραμμή σύρεται κάθετα προς αυτήν, διαιρώντας τη γωνία σε δύο ίσα μέρη, ένα για κάθε ορθό τρίγωνο που σχηματίζεται.

  • Ίσες πλευρές (α) = 42 cm.
  • Γωνία (τυ) = 130o

Τώρα με τριγωνομετρία υπολογίζεται η τιμή του μισού της βάσης, που αντιστοιχεί στο ήμισυ της υποτείνουσας:

Για να υπολογίσουμε την περιοχή είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το ύψος αυτού του τριγώνου που μπορεί να υπολογιστεί με τριγωνομετρία ή από το Πυθαγόρειο θεώρημα, τώρα που η τιμή της βάσης έχει ήδη καθοριστεί.

Με τριγωνομετρία θα είναι:

Η περίμετρος υπολογίζεται:

P = 2*(πλευρά α) + (πλευρά β).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Τρίτη άσκηση

Υπολογίστε τις εσωτερικές γωνίες του ισοσκελικού τριγώνου, γνωρίζοντας ότι η γωνία της βάσης είναι Â = 55o

Λύση

Για να βρούμε τις δύο γωνίες που λείπουν (Ê και Ô) είναι απαραίτητο να θυμόμαστε δύο ιδιότητες των τριγώνων:

  • Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου θα είναι πάντα 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες της βάσης είναι πάντα σύμφωνες, δηλαδή, έχουν το ίδιο μέτρο, ως εκ τούτου:

 = Ô

Ê = 55o

Για να προσδιορίσετε την τιμή της γωνίας Ê, αντικαταστήστε τις τιμές των άλλων γωνιών στον πρώτο κανόνα και καθαρίστε Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Αναφορές

  1. Álvarez, Ε. (2003). Στοιχεία γεωμετρίας: με πολλές ασκήσεις και γεωμετρία της πυξίδας. Πανεπιστήμιο της Medellin.
  2. Álvaro Rendon, Α. R. (2004). Τεχνικό Σχέδιο: σημειωματάριο δραστηριοτήτων.
  3. Angel, Α. R. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson.
  4. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
  5. Baldor, Α. (1941). Άλγεβρα Αβάνα: Πολιτισμός.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Μαθηματικά 2.
  7. Tuma, J. (1998). Εγχειρίδιο Μηχανικών Μαθηματικών. Wolfram MathWorld.