Χαρακτηριστικά τριγωνικής κλίμακας, τύπος και περιοχές, υπολογισμός



Α τρίγωνο κλίμακας Είναι ένα πολύγωνο τριών όψεων, όπου όλοι έχουν διαφορετικές μετρήσεις ή μήκη. γι 'αυτό το λόγο δίνεται το όνομα scalene, το οποίο στα λατινικά σημαίνει αναρρίχηση.

Τα τρίγωνα είναι πολύγωνα που θεωρούνται τα απλούστερα στη γεωμετρία, επειδή σχηματίζονται τρεις πλευρές, τρεις γωνίες και τρεις κορυφές. Στην περίπτωση του τριγώνου scalene, επειδή έχει όλες τις διαφορετικές πλευρές, σημαίνει ότι οι τρεις γωνίες του θα είναι επίσης διαφορετικές..

Ευρετήριο

  • 1 Χαρακτηριστικά των τρίγωνων κλίμακας
    • 1.1 Εξαρτήματα
  • 2 Ιδιότητες
    • 2.1 Εσωτερικές γωνίες
    • 2.2 Άθροισμα των πλευρών
    • 2.3 Αντιφατικές πλευρές
    • 2.4 Αμφισβήτητες γωνίες
    • 2.5 Το ύψος, ο διάμεσος, ο διχοτόμος και ο διχοτόμος δεν συμπίπτουν
    • 2.6 Το Orthocenter, το bararycenter, το incenter και το circumcenter δεν συμπίπτουν
    • 2.7 Σχετικά ύψη
  • 3 Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?
  • 4 Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?
  • 5 Πώς να υπολογίσετε το ύψος?
  • 6 Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές?
  • 7 Ασκήσεις
    • 7.1 Πρώτη άσκηση
    • 7.2 Δεύτερη άσκηση
    • 7.3 Τρίτη άσκηση
  • 8 Αναφορές

Χαρακτηριστικά των τρίγωνων scalene

Τα τρίγωνα κλίμακας είναι απλά πολύγωνα επειδή καμία πλευρά ή γωνίες τους δεν έχουν το ίδιο μέτρο, σε αντίθεση με τα ισοσκελές και τα ισόπλευρα τρίγωνα.

Επειδή όλες οι πλευρές και οι γωνίες του έχουν διαφορετικές μετρήσεις, αυτά τα τρίγωνα θεωρούνται ακανόνιστα κυρτά πολύγωνα.

Σύμφωνα με το εύρος των εσωτερικών γωνιών, τα τρίγωνα κλίμακας ταξινομούνται ως:

  • Κλίμακα τρίγωνο ορθογώνιο: όλες οι πλευρές του είναι διαφορετικές. Μια από τις γωνίες του είναι ευθεία (90o) και οι άλλες είναι απότομες και με διαφορετικά μέτρα.
  • Κλίμακα αμβλύ γωνιακό τρίγωνο: όλες οι πλευρές του είναι διαφορετικές και μία από τις γωνίες του είναι αμβλεία (> 90o).
  • Κλίμακα γωνιακό τρίγωνο γωνίας: όλες οι πλευρές του είναι διαφορετικές. Όλες οι γωνίες είναι απότομες (< 90o), με διαφορετικά μέτρα.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό των τριγώνων κλίμακας είναι ότι λόγω της ασυμφωνίας των πλευρών και των γωνιών τους, δεν έχουν άξονα συμμετρίας.

Εξαρτήματα

Ο διάμεσος: είναι μια γραμμή που φεύγει από το μέσο της μίας πλευράς και φτάνει στην αντίθετη κορυφή. Οι τρεις μεσαίοι συμφωνούν σε ένα σημείο που λέγεται κεντροειδές ή κεντροειδές.

Ο διχοτόμος: είναι μια ακτίνα που χωρίζει κάθε γωνία σε δύο γωνίες ίσου μεγέθους. Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου συμπίπτουν στο σημείο που ονομάζεται incentro.

Το διαδίκτυο: είναι ένα τμήμα κάθετο στην πλευρά του τριγώνου, που προέρχεται από τη μέση αυτής. Υπάρχουν τρία mediatrices σε ένα τρίγωνο και συμφωνούν σε ένα σημείο που ονομάζεται circumcenter.

Το ύψος: είναι η γραμμή που πηγαίνει από την κορυφή στην πλευρά που είναι αντίθετη και επίσης αυτή η γραμμή είναι κάθετη προς εκείνη την πλευρά. Όλα τα τρίγωνα έχουν τρία ύψη που συμπίπτουν σε ένα σημείο που ονομάζεται orthocenter.

Ιδιότητες

Τα τρίγωνα κλίμακας ορίζονται ή ταυτοποιούνται επειδή έχουν πολλές ιδιότητες που τις αντιπροσωπεύουν, που προέρχονται από τα θεωρήματα που προτείνονται από μεγάλους μαθηματικούς. Είναι:

Εσωτερικές γωνίες

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 180o.

Άθροισμα των πλευρών

Το άθροισμα των μέτρων των δύο πλευρών πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της τρίτης πλευράς, a + b> c.

Αντιφατικές πλευρές

Όλες οι πλευρές των τρίγωνων κλίμακας έχουν διαφορετικά μέτρα ή μήκη. δηλαδή, είναι ασυμβίβαστες.

Αντιφατικές γωνίες

Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου σκαληνό είναι διαφορετικές οπτικές γωνίες θα είναι πάρα πολύ. Ωστόσο, το άθροισμα των γωνιών θα είναι πάντα ίσο 180, και σε ορισμένες περιπτώσεις μία από τις γωνίες της μπορεί να είναι αμβλεία ή ευθείες, ενώ σε άλλες όλες οι γωνίες είναι οξείες.

Το ύψος, ο διάμεσος, ο διχοτόμος και ο διχοτόμος δεν συμπίπτουν

Όπως κάθε τρίγωνο, το scalene έχει αρκετά τμήματα ευθειών γραμμών που το συνθέτουν, όπως: ύψος, διάμεσος, διχοτόμος και διχοτόμος.

Λόγω της ιδιαιτερότητας των πλευρών του, σε αυτόν τον τύπο τριγώνου, καμία από αυτές τις γραμμές δεν θα συμπέσει σε ένα μόνο.

Ορθοκέντρη, bararycenter, incenter και circumcenter δεν συμπίπτουν

Όπως ύψος, διάμεση διχοτόμο διχοτομημένου και αντιπροσωπεύονται από διαφορετικά τμήματα της γραμμής σε μια σημεία-the σκαληνό τρίγωνο συνάντηση ορθόκεντρο, και κεντροειδές Incentro circuncentro-, να βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία (παράταιρα).

Ανάλογα με το αν το τρίγωνο είναι οξύ, ορθογώνιο ή κλίμακα, το orthocenter έχει διαφορετικές θέσεις:

α. Εάν το τρίγωνο είναι οξύ, το orthocenter θα είναι μέσα στο τρίγωνο.

β. Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το orthocenter θα συμπίπτει με την κορυφή της ευθύγραμμης πλευράς.

γ. Εάν το τρίγωνο είναι αμβλύ, το orthocenter θα βρίσκεται στο εξωτερικό του τριγώνου.

Σχετικά ύψη

Τα ύψη είναι σχετικά με τις πλευρές.

Στην περίπτωση του τριγώνου scalene αυτά τα ύψη θα έχουν διαφορετικές μετρήσεις. Κάθε τρίγωνο έχει τρία σχετικά ύψη και για να τα υπολογίσει ο τύπος του Heron χρησιμοποιείται.

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?

Η περίμετρος ενός πολυγώνου υπολογίζεται από το άθροισμα των πλευρών.

Όπως στην περίπτωση αυτή το τρίγωνο κλίμακας έχει όλες τις πλευρές του με διαφορετικό μέτρο, η περίμετρος του θα είναι:

P = πλευρά a + πλευρά b + πλευρά c.

Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?

Η περιοχή των τριγώνων υπολογίζεται πάντοτε με τον ίδιο τύπο, πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος και διαιρώντας με δύο:

Περιοχή = (βάση * h) ÷ 2

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το ύψος του τριγώνου σκαληνός δεν είναι γνωστή, αλλά υπάρχει μια φόρμουλα που προτάθηκε από τον μαθηματικό Heron, για τον υπολογισμό της περιοχής γνωρίζοντας την έκταση των τριών πλευρών ενός τριγώνου.

Πού:

  • Τα α, β και γ, αντιπροσωπεύουν τις πλευρές του τριγώνου.
  • sp, αντιστοιχεί στο ημιπερίμετρο του τριγώνου, δηλαδή στο ήμισυ της περιμέτρου:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Στην περίπτωση όπου έχει ληφθεί μόνον πολύ δύο πλευρές του τριγώνου και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ αυτών, η περιοχή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές αναλογίες. Έτσι πρέπει να:

Περιοχή = (πλευρά * h) ÷ 2

Όπου το ύψος (h) είναι το προϊόν μιας πλευράς από το ημίτονο της αντίθετης γωνίας. Για παράδειγμα, για κάθε πλευρά, η περιοχή θα είναι:

  • Περιοχή = (β * γ * sen Α) ÷ 2
  • Περιοχή = (α * γ * sen Β) ÷ 2.
  • Περιοχή = (α * β * sen C) ÷ 2

Πώς να υπολογίσετε το ύψος?

Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου scalene είναι διαφορετικές, δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ύψος με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Από τη φόρμουλα του Heron, που βασίζεται στις μετρήσεις των τριών πλευρών ενός τριγώνου, η περιοχή μπορεί να υπολογιστεί.

Το ύψος μπορεί να καθαριστεί από τον γενικό τύπο της περιοχής:

Η πλευρά αντικαθίσταται από τη μέτρηση της πλευράς a, b ή c.

Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό του ύψους όταν είναι γνωστή η τιμή μιας από τις γωνίες είναι η εφαρμογή των τριγωνομετρικών αναλογιών, όπου το ύψος θα αντιπροσωπεύει ένα σκέλος του τριγώνου.

Για παράδειγμα, όταν είναι γνωστή η αντίθετη γωνία με το ύψος, θα καθοριστεί από το ημίτονο:

Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές?

Όταν έχετε το μέτρο των δύο πλευρών και τη γωνία αντίθετη από αυτές, είναι δυνατόν να προσδιορίσετε την τρίτη πλευρά εφαρμόζοντας το θεώρημα των συνημιτόνων.

Για παράδειγμα, σε ένα τρίγωνο AB, σχεδιάζεται το ύψος σε σχέση με το τμήμα AC. Με αυτό τον τρόπο το τρίγωνο χωρίζεται σε δύο δεξιά τρίγωνα.

Για να υπολογίσουμε την πλευρά c (τμήμα ΑΒ), το θεώρημα Pythagorean εφαρμόζεται για κάθε τρίγωνο:

  • Για το μπλε τρίγωνο πρέπει:

γ2 = h2 + m2

Ως m = b - n, αντικαθίσταται:

γ2 = h2 + β2 (b-n)2

γ2 = h2 + β2 - 2bn + n2.

  • Για το ροζ τρίγωνο πρέπει:

h2 = α2 - n2

Αντικαθίσταται στην προηγούμενη εξίσωση:

γ2 = α2 - n2 + β2 - 2bn + n2

γ2 = α2 + β2 - 2δρ.

Γνωρίζοντας ότι n = a * cos C, αντικαθίσταται στην προηγούμενη εξίσωση και λαμβάνεται η τιμή της πλευράς c:

γ2 = α2 + β2 - 2b* α * cos C.

Με το νόμο των Cosines, οι πλευρές μπορούν να υπολογιστούν ως:

  • α2 = β2 + γ2 - 2b* γ * cos A.
  • β2 = α2 + γ2 - 2α* γ * cos B.
  • γ2 = α2 + β2 - 2b* α * cos C.

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι μετρήσεις των πλευρών του τριγώνου δεν είναι γνωστές, αλλά το ύψος τους και οι γωνίες που σχηματίζονται στις κορυφές. Για τον προσδιορισμό της περιοχής σε αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι τριγωνομετρικές αναλογίες.

Γνωρίζοντας τη γωνία μιας από τις κορυφές της, τα πόδια αναγνωρίζονται και χρησιμοποιείται η αντίστοιχη τριγωνομετρική αναλογία:

Για παράδειγμα, το κάθετο απέναντι AB θα είναι η γωνία C, αλλά δίπλα σε γωνία Α ανάλογα με την πλευρά που αντιστοιχεί στο ύψος ή το πόδι, η άλλη πλευρά καθαρίζεται για να ληφθεί η τιμή του αυτό.

Ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Υπολογίστε την περιοχή και το ύψος του τρίγωνου ABC της κλίμακας, γνωρίζοντας ότι οι πλευρές της είναι:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Λύση

Δεδομένου ότι δίνονται οι μετρήσεις των τριών πλευρών του τριγώνου scalene.

Επειδή δεν έχετε την τιμή ύψους, μπορείτε να προσδιορίσετε την περιοχή εφαρμόζοντας τον τύπο Heron.

Αρχικά υπολογίζεται το ημιπερατόμετρο:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Τώρα αντικαθίστανται οι τιμές στον τύπο του Heron:

Γνωρίζοντας την περιοχή μπορεί να υπολογιστεί το σχετικό ύψος στην πλευρά b. Από τον γενικό τύπο, καθαρίζοντάς τον έχετε:

Περιοχή = (πλευρά * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 εκ2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Δεύτερη άσκηση

Με δεδομένο το τρίγωνο κλίμακας ABC, των οποίων τα μέτρα είναι:

  • Τομέας AB = 25 m.
  • Τομέας BC = 15 m.

Στη κορυφή Β σχηματίζεται γωνία 50 °. Υπολογίστε το σχετικό ύψος στην πλευρά c, την περίμετρο και την περιοχή αυτού του τριγώνου.

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση έχετε τα μέτρα δύο πλευρών. Για τον προσδιορισμό του ύψους είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η μέτρηση της τρίτης πλευράς.

Δεδομένου ότι δίνεται η γωνία αντίθετη προς τις δεδομένες πλευρές, είναι δυνατή η εφαρμογή του νόμου των συνημιτονίων για τον προσδιορισμό της μέτρησης της πλευράς AC (b):

β2 = α2 + γ2 - 2α*γ * cos B

Πού:

a = BC = 15 m.

c = ΑΒ = 25 m.

b = AC.

Β = 50o.

Τα δεδομένα αντικαθίστανται:

β2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

β2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

β2 = (225) + (625) - (482,025)

β2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Δεδομένου ότι έχετε ήδη την αξία των τριών πλευρών, υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου:

P = πλευρά a + πλευρά b + πλευρά c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

Ρ = 59,18 m

Τώρα είναι δυνατό να προσδιοριστεί η περιοχή εφαρμόζοντας τον τύπο Heron, αλλά πρώτα πρέπει να υπολογιστεί το ημιπερατόμετρο:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Οι μετρήσεις των πλευρών και του ημιπεραμέτρου αντικαθίστανται από τον τύπο Heron:

Τέλος, γνωρίζοντας την περιοχή, το σχετικό ύψος στην πλευρά c μπορεί να υπολογιστεί. Από τον γενικό τύπο, ο καθαρισμός του πρέπει να:

Περιοχή = (πλευρά * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 μ

h = 287,3 m2 ÷ 25 μ

h = 11,5 m.

Τρίτη άσκηση

Στο τρίγωνο κλίμακας ABC η πλευρά b μετράει 40 cm, η πλευρά c μετράει 22 cm και στην κορυφή Α σχηματίζεται γωνία 90o. Υπολογίστε την περιοχή αυτού του τριγώνου.

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση δίδονται οι μετρήσεις των δύο πλευρών του τρίγωνου scalee ABC, καθώς και η γωνία που σχηματίζεται στην κορυφή Α.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μέτρο της πλευράς a, αφού μέσω των τριγωνομετρικών λόγων χρησιμοποιείται η γωνία για να το βρει.

Δεδομένου ότι είναι γνωστή η αντίθετη γωνία με το ύψος, αυτό θα καθοριστεί από το προϊόν στη μία πλευρά και από το ημίτονο της γωνίας.

Αντικαθιστώντας στον τύπο της περιοχής πρέπει:

  • Περιοχή = (πλευρά * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Περιοχή = (β * γ * sen Α) ÷ 2

Περιοχή = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Περιοχή = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Περιοχή = 880 cm2 ÷ 2

Περιοχή = 440 cm2.

Αναφορές

  1. Álvaro Rendon, Α. R. (2004). Τεχνικό Σχέδιο: σημειωματάριο δραστηριοτήτων.
  2. Ángel Ruiz, Η. Β. (2006). Γεωμετρίες CR τεχνολογία, .
  3. Angel, Α. R. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson,.
  4. Baldor, Α. (1941). Άλγεβρα Αβάνα: Πολιτισμός.
  5. Barbosa, J.L. (2006). Επίπεδη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ρίο ντε Τζανέιρο,.
  6. Coxeter, Η. (1971). Βασικές αρχές της γεωμετρίας Μεξικό: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. Μ. (2014). Στοιχειώδης γεωμετρία για φοιτητές κολλεγίων. Εκπαιδευτική εκπαίδευση.
  8. Harpe, Ρ. Δ. (2000). Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων. Πανεπιστήμιο του Chicago Press.