Τrinomial της φόρμας x ^ 2 + bx + c (με Παραδείγματα)

Πριν μάθετε να λύσετε το trinomial της μορφής x ^ 2 + bx + c, και ακόμη και πριν γνωρίσουμε την έννοια της τρινωμίας, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε δύο βασικές έννοιες. δηλαδή, τις έννοιες του μονονομικού και πολυωνυμικού. Ένα μονοδιάστατο είναι μια έκφραση του τύπου a * xⁿ, όπου a είναι ένας λογικός αριθμός, n είναι ένας φυσικός αριθμός και το x είναι μια μεταβλητή.

Ένα πολυώνυμο είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μονομορίων της μορφής a_n* xⁿ+α_n-1* x^n-1+... + α₂* x²+α₁* χ + α₀, όπου κάθε ένα_i, με i = 0, ..., n, είναι ένας ορθολογικός αριθμός, n είναι φυσικός αριθμός και a_n είναι μη-φυσικός. Σε αυτή την περίπτωση λέγεται ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι η.

Ένα πολυώνυμο που σχηματίζεται από το άθροισμα μόνο δύο όρων (δύο monomials) διαφορετικών βαθμών, είναι γνωστό ως διωνυμικό.

Ευρετήριο

• 1 Trinomials
  • 1.1 Τέλειος τετραγωνικός τετράγωνος
• 2 Χαρακτηριστικά των τριωνικών βαθμών 2
  • 2.1 Τέλεια τετράγωνο
  • 2.2 Διαλυτικός τύπος
  • 2.3 Γεωμετρική ερμηνεία
  • 2.4 Factoring των τριωνυμικών
• 3 Παραδείγματα
  • 3.1 Παράδειγμα 1
  • 3.2 Παράδειγμα 2
• 4 Αναφορές

Τρινόμια

Ένα πολυώνυμο που σχηματίζεται από το άθροισμα μόνο τριών όρων (τρία monomials) διαφορετικών βαθμών είναι γνωστό ως τρινωμικό. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα τρινωματίων:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Υπάρχουν διάφοροι τύποι τρινόμιλων. Από αυτά επισημαίνεται το τέλειο τετράγωνο τετράγωνο.

Τέλειο τετράγωνο τετράγωνο

Ένα τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο είναι το αποτέλεσμα της ανύψωσης ενός διωνυμικού τετράγωνου. Για παράδειγμα:

• (3χ-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+γ)²= 4χ⁶+4x³y + y²
• (4χ²-2ε⁴)²= 16x⁴-16x²και⁴+4η⁸
• 1 / 16x²και⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Χαρακτηριστικά των τριωνικών βαθμών 2

Τέλεια πλατεία

Σε γενικές γραμμές, ένα τρινόμια του τσεκούρι μορφή²+Το bx + c είναι ένα τέλειο τετράγωνο εάν το διακριτικό του είναι ίσο με το μηδέν. δηλαδή εάν β²-4ac = 0, αφού στην περίπτωση αυτή θα έχει μόνο μία ρίζα και μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή (x-d)²= (√α (χ-ά))², όπου d είναι η ρίζα που έχει ήδη αναφερθεί.

Μια ρίζα ενός πολυωνύμου είναι ένας αριθμός στον οποίο το πολυώνυμο καθίσταται μηδέν. με άλλα λόγια, έναν αριθμό που, αντικαθιστώντας το σε x στην έκφραση του πολυώνυμου, έχει ως αποτέλεσμα μηδέν.

Διαλυτικός τύπος

Ένας γενικός τύπος για τον υπολογισμό των ριζών ενός πολυωνύμου του δεύτερου βαθμού του αξονικού άξονα²+bx + c είναι ο τύπος του αναλυτή, ο οποίος δηλώνει ότι αυτές οι ρίζες δίνονται από (-b ± √ (b²-4ac)) / 2α, όπου β²-Το 4ac είναι γνωστό ως διακριτικό και συνήθως δηλώνεται από το Δ. Από τον τύπο αυτό προκύπτει ότι το τσεκούρι²+bx + c έχει:

- Δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες αν Δ> 0.

- Μια ενιαία πραγματική ρίζα αν Δ = 0.

- Δεν έχει πραγματική ρίζα αν Δ<0.

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε μόνο τα τρινόμαυρα της φόρμας x²+bx + c, όπου το c πρέπει να είναι μη μηδέν (διαφορετικά θα ήταν διωνυμικό). Αυτός ο τύπος τρινόμαυρων έχει ορισμένα πλεονεκτήματα όταν παραγοντίζει και λειτουργεί με αυτά.

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρικά, το τρινωμικό x²+Το bx + c είναι μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω και έχει την κορυφή στο σημείο (-b / 2, -b²/ 4 + c) του καρτεσιανού αεροπλάνου επειδή το x²+bx + c = (χ + β / 2)²-β²/ 4 + γ.

Αυτή η παραβολή κόβει τον άξονα Υ στο σημείο (0, c) και τον άξονα Χ στα σημεία (d₁,0) και (δ)₂,0). τότε, δ₁ και d₂ είναι οι ρίζες του τρινωμικού. Μπορεί να συμβεί ότι το τρινωμικό έχει μία μόνο ρίζα d, οπότε η μόνη κοπή με τον άξονα Χ θα είναι (d, 0).

Θα μπορούσε επίσης να συμβεί ότι το trinomial δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, οπότε δεν θα κοπεί ο άξονας Χ σε οποιοδήποτε σημείο.

Για παράδειγμα, x²+6x + 9 = (χ + 3)²-9 + 9 = (χ + 3)² είναι η παραβολή με κορυφή στην (-3,0), η οποία κόβει τον άξονα Υ σε (0,9) και τον άξονα Χ σε (-3,0).

Παραγοντοποίηση τρινομιών

Ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο κατά την εργασία με πολυώνυμα είναι η factoring, η οποία είναι να εκφράσει ένα πολυώνυμο ως προϊόν παραγόντων. Σε γενικές γραμμές, δίνοντας ένα τρινωμικό της φόρμας x²+bx + c, αν αυτό έχει δύο διαφορετικές ρίζες d₁ και d₂, μπορεί να ληφθεί υπόψη ως (x-d)₁) (χ-ά)₂).

Εάν έχετε μόνο μία ρίζα d, μπορείτε να την παράγετε ως (x-d) (x-d) = (x-d)², και αν δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, μένει το ίδιο. σε αυτήν την περίπτωση δεν υποστηρίζει μια παραγοντοποίηση ως προϊόν άλλων παραγόντων εκτός από τον ίδιο.

Αυτό σημαίνει ότι, γνωρίζοντας τις ρίζες ενός τρινωμικού της ήδη καθιερωμένης μορφής, η παραγοντοποίησή του μπορεί εύκολα να εκφραστεί και, όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτές οι ρίζες μπορούν πάντοτε να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τον διαλύτη.

Ωστόσο, υπάρχει ένα σημαντικό ποσό αυτού του τύπου τρινόμιων που μπορούν να ληφθούν υπόψη χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουν εκ των προτέρων τις ρίζες τους, πράγμα που απλοποιεί τη δουλειά.

Οι ρίζες μπορούν να προσδιοριστούν απευθείας από την παραγοντοποίηση χωρίς την ανάγκη χρήσης της φόρμουλας του αναλυτή. αυτά είναι τα πολυώνυμα της φόρμας x² +(α + β) χ + αβ. Σε αυτή την περίπτωση έχετε:

x²+(α + β) χ + ab = χ²+(x + a) + b (x + a) = (x + b) (χ + α).

Από εδώ εύκολα παρατηρείται ότι οι ρίζες είναι -α και -β.

Με άλλα λόγια, δίνοντας ένα τρινωμικό x²+bx + c, αν υπάρχουν δύο αριθμοί u και v έτσι ώστε c = uv και b = u + v, τότε x²+bx + c = (χ + υ) (χ + ν).

Δηλαδή, λαμβάνοντας ένα τριωνυμικό x²+bx + c, ελέγξτε πρώτα αν υπάρχουν δύο αριθμοί που πολλαπλασιάζουν τον ανεξάρτητο όρο (c) και προστίθενται (ή αφαιρούνται, ανάλογα με την περίπτωση), δώστε τον όρο που συνοδεύει το x (b).

Όχι με όλα τα τρινόμαυρα με αυτόν τον τρόπο αυτή η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί. όπου δεν μπορείτε, πηγαίνετε στο resolvent και εφαρμόστε τα προαναφερθέντα.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Για να υπολογίσουμε το ακόλουθο τριωνυμικό x²+3x + 2 προχωρούμε ως εξής:

Πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς έτσι ώστε όταν τους προσθέτετε, το αποτέλεσμα είναι 3, και όταν τους πολλαπλασιάζετε, το αποτέλεσμα είναι 2.

Μετά από μια επιθεώρηση μπορεί να συναχθεί ότι οι αριθμοί που ζητούνται είναι: 2 και 1. Επομένως, x²+3x + 2 = (χ + 2) (χ + 1).

Παράδειγμα 2

Για να υπολογίσουμε το τρινωμικό x²-5x + 6 ψάχνουμε δύο αριθμούς των οποίων το άθροισμα είναι -5 και το προϊόν τους είναι 6. Οι αριθμοί που πληρούν αυτές τις δύο συνθήκες είναι -3 και -2. Επομένως, η παραγοντοποίηση του δεδομένου τρινωμικού είναι x²-5x + 6 = (χ-3) (χ-2).

Αναφορές

1. Πηγές, Α. (2016). ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Εισαγωγή στον υπολογισμό. Lulu.com.
2. Garo, Μ. (2014). Μαθηματικά: τετραγωνικές εξισώσεις: Πώς να λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Ο Μαρίλ Γκάο.
3. Haeussler, Ε. F., & Paul, R.S. (2003). Μαθηματικά για τη διοίκηση και την οικονομία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, Μ. & Estrada, R. (2005). Μαθηματικά 1 SEP. Όριο.
5. Preciado, C. Τ. (2005). Μάθημα Μαθηματικών 3ο. Συντάκτης Progreso.
6. Rock, Ν. Μ. (2006). Η άλγεβρα είναι εύκολη! Τόσο εύκολο. Ομάδα Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Άλγεβρα και τριγωνομετρία. Εκπαίδευση Pearson.