Χαρακτηριστικά ισόπλευρου τριγώνου, ιδιότητες, τύποι και περιοχή

Α ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές, όπου όλοι είναι ίσοι. δηλαδή, έχουν το ίδιο μέτρο. Για το χαρακτηριστικό αυτό δόθηκε το όνομα της ισόπλευρης (ίσες πλευρές).

Τα τρίγωνα είναι πολύγωνα που θεωρούνται τα απλούστερα στη γεωμετρία, επειδή σχηματίζονται τρεις πλευρές, τρεις γωνίες και τρεις κορυφές. Στην περίπτωση του ισόπλευρου τριγώνου, έχοντας ίσες πλευρές, υποδηλώνει ότι θα γίνουν και οι τρεις γωνίες του.

Ευρετήριο

• 1 Χαρακτηριστικά των ισόπλευρων τριγώνων
  • 1.1 Ίσες πλευρές
  • 1.2 Εξαρτήματα
• 2 Ιδιότητες
  • 2.1 Εσωτερικές γωνίες
  • 2.2 Εξωτερικές γωνίες
  • 2.3 Άθροισμα των πλευρών
  • 2.4 Συναρμολογημένες πλευρές
  • 2.5 Συμφωνία γωνίες
  • 2.6 Ο διχοτομέας, ο διάμεσος και ο διαμεσολαβητής συμπίπτουν
  • 2.7 Ο διχοτόμος και το ύψος συμπίπτουν
  • 2.8 Ορθοκέντρη, bararycenter, incenter και circumcenter συμπίπτουν
• 3 Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?
• 4 Πώς να υπολογίσετε το ύψος?
• 5 Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές?
• 6 Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?
• 7 Ασκήσεις
  • 7.1 Πρώτη άσκηση
  • 7.2 Δεύτερη άσκηση
  • 7.3 Τρίτη άσκηση
• 8 Αναφορές

Χαρακτηριστικά ισόπλευρων τριγώνων

Ίσες πλευρές

Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίπεδη και κλειστά στοιχεία, αποτελούμενα από τρία τμήματα ευθειών γραμμών. Τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, σε σχέση με τις πλευρές και τις γωνίες τους. η ισόπλευρη ταξινομήθηκε με τη μέτρηση των πλευρών της ως παράμετρος, αφού αυτά είναι ακριβώς τα ίδια, δηλαδή είναι συναφή.

Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση του ισοσκελούς τριγώνου επειδή δύο από τις πλευρές του είναι σύμφωνες. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίσης ισοσκελές, αλλά όχι όλα τα ισοσκελλικά τρίγωνα θα είναι ισόπλευρα.

Με αυτό τον τρόπο τα ισόπλευρα τρίγωνα έχουν τις ίδιες ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν από το πλάτος εσωτερική γωνία όπως acutángulo ισόπλευρο τρίγωνο, το οποίο έχει τρεις πλευρές και τρεις εσωτερικές γωνίες με το ίδιο μέτρο. Οι γωνίες θα είναι απότομες, δηλαδή θα είναι μικρότερες από 90^o.

Εξαρτήματα

Τα τρίγωνα γενικά έχουν αρκετές γραμμές και σημεία που το συνθέτουν. Χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της περιοχής, των πλευρών, των γωνιών, του διάμεσου, του διχοτόμου, του κάθετου και του ύψους.

• Ο διάμεσος: είναι μια γραμμή που φεύγει από το μέσο της μίας πλευράς και φτάνει στην αντίθετη κορυφή. Οι τρεις μεσαίοι συμφωνούν σε ένα σημείο που λέγεται κεντροειδές ή κεντροειδές.
• Ο διχοτόμος: είναι μια ακτίνα που χωρίζει τη γωνία των κορυφών σε δύο γωνίες ίσου μεγέθους, γι 'αυτό είναι γνωστός ως άξονας συμμετρίας. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας.

Στο ισόπλευρο τρίγωνο ο διχοτόμος τραβιέται από την κορυφή μιας γωνίας προς την αντίθετη πλευρά του, κόβοντας το στο μέσο του. Αυτά συμπίπτουν στο σημείο που ονομάζεται incentro.

• Το διαδίκτυο: είναι ένα τμήμα κάθετο στην πλευρά του τριγώνου που προέρχεται από τη μέση αυτής. Υπάρχουν τρία μέσα ενημέρωσης σε ένα τρίγωνο και συμφωνούν σε ένα σημείο που ονομάζεται circuncentro.
• Το ύψος: είναι η γραμμή που πηγαίνει από την κορυφή στην πλευρά που είναι αντίθετη και επίσης αυτή η γραμμή είναι κάθετη προς εκείνη την πλευρά. Όλα τα τρίγωνα έχουν τρία ύψη που συμπίπτουν σε ένα σημείο που ονομάζεται orthocenter.

Ιδιότητες

Η κύρια ιδιότητα του ισόπλευρα τρίγωνα, θα είναι πάντα ισοσκελή τρίγωνα, επειδή οι ισοσκελές σχηματίζονται από δύο σύμφωνες ισόπλευρο πλευρές και τρεις.

Με τον τρόπο αυτό, τα ισόπλευρα τρίγωνα κληρονόμησαν όλες τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου:

Εσωτερικές γωνίες

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 180^o, και δεδομένου ότι όλες οι γωνίες της είναι σύμφωνες, τότε καθεμία από αυτές θα μετρήσει 60^o.

Εξωτερικές γωνίες

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών θα είναι πάντοτε ίσο με 360^o, επομένως κάθε εξωτερική γωνία θα μετρήσει 120^o. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες είναι συμπληρωματικές, δηλαδή, η προσθήκη τους θα είναι πάντα ίση με 180^o.

Άθροισμα των πλευρών

Το άθροισμα των μέτρων των δύο πλευρών πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της τρίτης πλευράς, δηλαδή a + b> c, όπου a, b και c είναι οι μετρήσεις κάθε πλευράς.

Συμφωνημένες πλευρές

Τα ισόπλευρα τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους με το ίδιο μέτρο ή το ίδιο μήκος. δηλαδή, είναι σύμφωνες. Επομένως, στο προηγούμενο στοιχείο έχουμε a = b = c.

Συγκεκριμένες γωνίες

Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίσης γνωστά ως ισογωνικά τρίγωνα, επειδή οι τρεις εσωτερικές τους γωνίες είναι σύμφωνες μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει επειδή όλες οι πλευρές του έχουν επίσης το ίδιο μέτρο.

Ο διχοτόμος, ο διάμεσος και ο διαμεσολαβητής συμπίπτουν

Ο διχοτόμος διαιρεί την πλευρά ενός τριγώνου σε δύο μέρη. Στα ισόπλευρα τρίγωνα αυτή η πλευρά θα χωριστεί σε δύο ακριβώς ίσα μέρη, δηλαδή, το τρίγωνο θα χωριστεί σε δύο όμοια δεξιά τρίγωνα.

Έτσι, ο διχοτόμος που σχηματίζεται από οποιαδήποτε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου συμπίπτει με το διάμεσο και το διχοτόμο της αντίθετης πλευράς αυτής της γωνίας.

Παράδειγμα:

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το τρίγωνο ABC με ένα μέσο D που χωρίζει μία από τις πλευρές του σε δύο τμήματα AD και BD.

Όταν σχεδιάζετε μια γραμμή από το σημείο D στην αντίθετη κορυφή, εξ ορισμού παίρνετε το διάμεσο CD, το οποίο είναι σχετικό με την κορυφή C και την πλευρά AB.

Καθώς το CD τμήμα χωρίζει το τρίγωνο ABC σε δύο τρίγωνα ίσα CDA και CDB, σημαίνει ότι η υπόθεση της αντιστοιχίας θα: πλευρά γωνίας πλευρών και, ως εκ τούτου επίσης θα CD διχοτόμος BCD.

Όταν σχεδιάζετε το τμήμα CD, διαιρέστε τη γωνία των κορυφών σε δύο ίσες γωνίες των 30^o, η γωνία της κορυφής Α συνεχίζει να μετρά 60^o και το ευθεία CD σχηματίζει γωνία 90^o σε σχέση με το μέσο D.

Το CD τμήμα σχηματίζει γωνίες που έχουν την ίδια μέτρηση για τα τρίγωνα ADC και BDC, δηλαδή, είναι συμπληρωματικά κατά τέτοιο τρόπο ώστε η μέτρηση του καθενός θα είναι:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^o

2 _* Med. (ADC) = 180^o

Med. (ADC) = 180^o ÷ 2

Med. (ADC) = 90^o.

Και έτσι, έχετε ότι το τμήμα CD είναι επίσης το διχοτόμος της πλευράς ΑΒ.

Ο διχοτόμος και το ύψος συμπίπτουν

Όταν σχεδιάζετε τη διχοτόμηση από την κορυφή μιας γωνίας στο μέσο της αντίθετης πλευράς, χωρίζει το ισόπλευρο τρίγωνο σε δύο όμοια τρίγωνα.

Με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζεται γωνία 90^o (ευθεία). Αυτό δείχνει ότι αυτό το τμήμα γραμμής είναι τελείως κάθετο προς αυτή την πλευρά, και εξ ορισμού ότι η γραμμή θα είναι το ύψος.

Με τον τρόπο αυτό, ο διχοτόμος οποιασδήποτε γωνίας ενός ισόπλευρου τριγώνου συμπίπτει με το σχετικό ύψος στην αντίθετη πλευρά αυτής της γωνίας.

Ορθοκέντρη, bararycenter, incenter και circumcenter συμπίπτουν

Όπως ύψος, μέσο, ​​και διχοτόμο που διχοτομεί αντιπροσωπεύονται αμφότερα από τον ίδιο τμήμα, σε ένα ισόπλευρο σημεία συνάντησης των εν λόγω τμημάτων-η orthocenter, κεντροειδές, incenter και circuncentro- τρίγωνο, ήταν στο ίδιο σημείο:

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο?

Η περίμετρος ενός πολυγώνου υπολογίζεται από το άθροισμα των πλευρών. Δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές του με το ίδιο μέτρο, η περίμετρος του υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

P = 3 _* πλευρά.

Πώς να υπολογίσετε το ύψος?

Δεδομένου ότι το ύψος είναι η γραμμή κάθετη προς τη βάση, το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη, επεκτείνοντας την αντίθετη κορυφή. Έτσι σχηματίζονται δύο ίσα δεξιά τρίγωνα.

Το ύψος (h) αντιπροσωπεύει την αντίθετη πλευρά (α), το μισό της πλευράς AC στην γειτονική πλευρά (b) και η πλευρά BC αντιπροσωπεύει την υποτείνουσα (c).

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Pythagorean, μπορείτε να καθορίσετε την τιμή του ύψους:

α² + β²= γ²

Πού:

α² = ύψος (h).

β² = πλευρά b / 2.

γ² = πλευρά α.

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στο Πυθαγόρειο θεώρημα και εκκαθαρίζοντας το ύψος που έχουμε:

h² + ( l / 2)² = l²

h² +  l²/ / 4 = l²

h² = l²  -  l²/ / 4

h² = (4_*l² -  l²) / / 4

h² =  3_*l²/ /4

√h² = √ (3_*l²/ /4)

Εάν η γωνία που σχηματίζεται από τις αντίστοιχες πλευρές είναι γνωστή, το ύψος (που αντιπροσωπεύεται από ένα σκέλος) μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας τις τριγωνομετρικές αναλογίες.

Τα πόδια ονομάζονται αντίθετα ή γειτονικά ανάλογα με τη γωνία που λαμβάνεται ως αναφορά.

Για παράδειγμα, στην προηγούμενη εικόνα ο κώνος h θα είναι αντίθετος για τη γωνία C, αλλά δίπλα στη γωνία Β:

Έτσι, το ύψος μπορεί να υπολογιστεί με:

Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές?

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι μετρήσεις των πλευρών του τριγώνου δεν είναι γνωστές, αλλά το ύψος τους και οι γωνίες που σχηματίζονται στις κορυφές.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής σε αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι τριγωνομετρικές αναλογίες.

Γνωρίζοντας τη γωνία μιας από τις κορυφές της, τα πόδια αναγνωρίζονται και χρησιμοποιείται η αντίστοιχη τριγωνομετρική αναλογία:

Έτσι, το πόδι ΑΒ θα είναι αντίθετη προς την γωνία C, αλλά δίπλα σε γωνία Α Ανάλογα πλευρά ή που αντιστοιχεί στο πόδι ύψος, η άλλη πλευρά καθαρίζεται για να ληφθεί η τιμή του αυτό, γνωρίζοντας ότι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο τρεις οι πλευρές θα έχουν πάντα το ίδιο μέγεθος.

Πώς να υπολογίσετε την περιοχή?

Η περιοχή των τριγώνων υπολογίζεται πάντοτε με τον ίδιο τύπο, πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος και διαιρώντας με δύο:

Περιοχή = (β _* h) ÷ 2

Γνωρίζοντας ότι το ύψος δίνεται από τον τύπο:

Ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Οι πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου ABC μετρούν 20 cm το καθένα. Υπολογίστε το ύψος και την περιοχή αυτού του πολυγώνου.

Λύση

Για να προσδιορίσουμε την περιοχή αυτού του ισόπλευρου τριγώνου είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το ύψος, γνωρίζοντας ότι κατά την τοποθέτησή του διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ίσα δεξιά τρίγωνα.

Με αυτόν τον τρόπο το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να το βρει:

α² + β²= γ²

Πού:

α = 20/2 = 10 cm.

b = ύψος.

c = 20 cm.

Τα δεδομένα στο θεώρημα αντικαθίστανται:

10² + β² = 20²

100 cm + β² = 400 cm

β² = (400-100) cm

β² = 300cm

b = √ 300 cm

b = 17,32 cm.

Δηλαδή, το ύψος του τριγώνου είναι ίσο με 17,32 εκατοστά. Τώρα είναι δυνατόν να υπολογίσουμε την περιοχή του δεδομένου τριγώνου υποκαθιστώντας στον τύπο:

Περιοχή = (β _* h) ÷ 2

Περιοχή = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Περιοχή = 346,40 cm² ÷ 2

Περιοχή = 173,20 cm².

Ένας άλλος απλούστερος τρόπος για την επίλυση της άσκησης είναι η αντικατάσταση των δεδομένων στον άμεσο τύπο της περιοχής, όπου η τιμή του ύψους είναι επίσης σιωπηρά:

Δεύτερη άσκηση

Σε μια γη που έχει σχήμα ισόπλευρου τριγώνου, θα φυτευτούν λουλούδια. Εάν η περίμετρος της γης είναι ίση με 450 μέτρα, υπολογίστε τον αριθμό τετραγωνικών μέτρων που καταλαμβάνουν τα λουλούδια.

Λύση

Γνωρίζοντας ότι η περίμετρος ενός τριγώνου είναι το άθροισμα των τριών πλευρών της, και καθώς το έδαφος έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οι τρεις πλευρές του αυτό θα έχει την ίδια έκταση ή μήκος:

P = πλευρά + πλευρά + πλευρά = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 μ ÷ 3

l = 150 μ.

Τώρα είναι μόνο απαραίτητο να υπολογίσετε το ύψος αυτού του τριγώνου.

Το ύψος διαιρεί το τρίγωνο σε δύο όμοια ορθά τρίγωνα, όπου ένα από τα πόδια αντιπροσωπεύει το ύψος και το άλλο μισό της βάσης. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το ύψος μπορεί να καθοριστεί:

α² + β²= γ²

Πού:

α = 150 m ÷ 2 = 75 m.

γ = 150 m.

β = ύψος

Τα δεδομένα στο θεώρημα αντικαθίστανται:

(75 m)²+ β² = (150 m)²

5,625 μ + β² = 22.500 μ

β² = 22.500 m - 5.625 μ

β² = 16,875 μ

β = 16,875 μ

β = 129,90 m.

Έτσι, η περιοχή που θα καταλάβει τα λουλούδια θα είναι:

Περιοχή = b * h ÷ 2

Περιοχή = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Περιοχή = (19,485 μ²) ÷ 2

Περιοχή = 9.742,5 μ²

Τρίτη άσκηση

Το ισόπλευρο τρίγωνο ABC διαιρείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα που πηγαίνει από την κορυφή προς το μεσαίο σημείο C D, που βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά (ΑΒ). Αυτό το τμήμα έχει μήκος 62 μέτρων. Υπολογίστε την περιοχή και την περίμετρο αυτού του ισόπλευρου τριγώνου.

Λύση

Γνωρίζοντας ότι η ισόπλευρο τρίγωνο χωρίζεται από ένα τμήμα γραμμής που αντιστοιχεί στο ύψος, σχηματίζοντας έτσι δύο παραλληλισμού δικαίωμα τρίγωνα, αυτό με τη σειρά διαιρεί επίσης τη γωνία κορυφής C σε δύο γωνίες με το ίδιο μέτρο, 30^o κάθε μία.

Το ύψος σχηματίζει γωνία 90^o σε σχέση με το τμήμα ΑΒ, και η γωνία της κορυφής Α θα μετρήσει τότε 60^o.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιεί ως αναφορά τη γωνία 30^o, το CD ύψους καθιερώνεται ως πόδι παρακείμενο στη γωνία και BC ως υποτείνουσα.

Από αυτά τα δεδομένα η τιμή μιας από τις πλευρές του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές αναλογίες:

Όπως και στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές έχουν ακριβώς το ίδιο μέτρο ή μήκος, σημαίνει ότι κάθε πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου ABC είναι ίση με 71,6 μέτρα. Γνωρίζοντας ότι είναι δυνατόν να προσδιορίσετε την περιοχή σας:

Περιοχή = b * h ÷ 2

Περιοχή = (71,6 μ _* 62 m) ÷ 2

Περιοχή = 4.438,6 μ² ÷ 2

Περιοχή = 2.219,3 μ²

Η περίμετρος δίνεται από το άθροισμα των τριών πλευρών της:

P = πλευρά + πλευρά + πλευρά = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

Ρ = 214,8 m.

Αναφορές

1. Álvaro Rendon, Α. R. (2004). Τεχνικό Σχέδιο: σημειωματάριο δραστηριοτήτων.
2. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
3. Baldor, Α. (1941). Άλγεβρα Αβάνα: Πολιτισμός.
4. BARBOSA, J.L. (2006). Επίπεδη Ευκλείδεια Γεωμετρία. SBM. Ρίο ντε Τζανέιρο, .
5. Coxford, Α. (1971). Γεωμετρία Μια προσέγγιση μετασχηματισμού. ΗΠΑ: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, R.P. (1886). Στοιχεία Γεωμετρίας του Euclid.
7. Héctor Trejo, J.S. (2006). Γεωμετρία και τριγωνομετρία.
8. León Fernández, G. S. (2007). Ολοκληρωμένη Γεωμετρία Μητροπολιτικό Τεχνολογικό Ινστιτούτο.
9. Sullivan, J. (2006). Άλγεβρα και τριγωνομετρία Εκπαίδευση Pearson.