Χαρακτηριστικά και τύποι οξείας γωνίας τριγώνου



Το τριγωνικά τρίγωνα είναι εκείνοι των οποίων οι τρεις εσωτερικές γωνίες είναι οξείες γωνίες. δηλαδή, η μέτρηση κάθε μιας από αυτές τις γωνίες είναι μικρότερη από 90 μοίρες. Έχοντας καμία ορθή γωνία, έχουμε ότι το θεώρημα του Πυθαγορείου δεν πληρούται για αυτό το γεωμετρικό σχήμα.

Επομένως, εάν θέλουμε να έχουμε κάποιες πληροφορίες για οποιαδήποτε πλευρά ή γωνία, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε άλλα θεωρήματα που μας επιτρέπουν να έχουμε πρόσβαση στα εν λόγω δεδομένα. Αυτά που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι το αμιγώς θεώρημα και το συνηθισμένο θεώρημα.

Ευρετήριο

  • 1 Χαρακτηριστικά
    • 1.1 Θεώρημα του ημιτονοειδούς
    • 1.2 Θεώρημα Cosine
  • 2 Τύποι
    • 2.1 Ισόπλευρα τριγωνικά τρίγωνα
    • 2.2 Οξεία τρίγωνα Isosceles
    • 2.3 Τριγωνικά τρίγωνα κλίμακας
  • 3 Ανάλυση οξεών τριγώνων
    • 3.1 Παράδειγμα 1
    • 3.2 Παράδειγμα 2

Χαρακτηριστικά

Μεταξύ των χαρακτηριστικών αυτού του γεωμετρικού σχήματος μπορούμε να τονίσουμε αυτά που δίδονται από το απλό γεγονός ότι είναι ένα τρίγωνο. Μεταξύ αυτών πρέπει:

- Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές και τρεις γωνίες.

- Το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών του ισούται με 180 °.

- Το άθροισμα των δύο πλευρών του είναι πάντα μεγαλύτερο από το τρίτο.

Για παράδειγμα, ας δούμε το επόμενο τρίγωνο ABC. Με γενικό τρόπο ταυτίζουμε τις πλευρές τους με πεζά γράμματα και τις γωνίες τους με κεφαλαία γράμματα, έτσι ώστε η μία πλευρά και η αντίθετη γωνία να έχουν το ίδιο γράμμα.

Για τα χαρακτηριστικά που έχουν ήδη δοθεί, γνωρίζουμε ότι:

Α + Β + C = 180 °

a + b> c, a + c> b και b + c> a

Το κύριο χαρακτηριστικό που διακρίνει αυτόν τον τύπο τριγώνου από το υπόλοιπο είναι ότι, όπως ήδη αναφέρθηκε, οι εσωτερικές του γωνίες είναι οξείς. δηλαδή, η μέτρηση κάθε γωνίας της είναι μικρότερη από 90 °.

Τα τρίγωνα acutángulos, μαζί με τα τρίγωνα obtusángulos (εκείνα στα οποία μια από τις γωνίες του έχουν μια μέτρηση μεγαλύτερη από 90 °), αποτελούν μέρος του συνόλου των τριγώνων λοξά. Αυτό το σύνολο αποτελείται από τρίγωνα που δεν είναι ορθογώνια.

Κατά το σχηματισμό των λοξών τριγώνων, πρέπει να λύσουμε προβλήματα που ενέχουν οξεία τρίγωνα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ομότιμο θεώρημα και το θεώρημα συνημιτόνου.

Θεωρία αμιάντου

Το θεώρημα του στήθους δηλώνει ότι ο λόγος μιας πλευράς με το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι ίσος με το διπλάσιο της ακτίνας του κύκλου που σχηματίζεται από τις τρεις κορυφές του εν λόγω τριγώνου. Αυτό είναι:

2r = a / sin (Α) = b / sin (Β) = c / sin (C)

Θεώρημα Cosine

Από την άλλη πλευρά, το θεώρημα συνημιτότητας μας δίνει αυτές τις τρεις ισοτιμίες για οποιοδήποτε τρίγωνο ABC:

α2= β2 + γ2 -2bc * cos (A)

β2= α2 + γ2 -2ac * cos (Β)

γ2= α2 + β2 -2ab * cos (C)

Αυτά τα θεωρήματα είναι επίσης γνωστά ως νόμος του ημιτονοειδούς και του νόμου του συνημίτου, αντίστοιχα.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό που μπορούμε να δώσουμε στα τρίγωνα acutángulos είναι ότι δύο από αυτά είναι ίσα αν πληρούν ένα από τα ακόλουθα κριτήρια:

- Εάν έχουν τρεις ίσες πλευρές.

- Εάν έχουν μία πλευρά και δύο γωνίες ίσες μεταξύ τους.

- Εάν έχουν δύο πλευρές και μια ίση γωνία.

Τύποι

Μπορούμε να τα ταξινομήσουμε με τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους. Αυτά μπορεί να είναι:

Τρίγωνα ισόπλευρα τρίγωνα

Είναι τα τρίγωνα acutángulos που έχουν όλες τις ίσες πλευρές τους και επομένως όλες οι εσωτερικές γωνίες τους έχουν την ίδια τιμή, η οποία είναι A = B = C = 60 μοίρες.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε το ακόλουθο τρίγωνο, των οποίων οι πλευρές a, b και c έχουν τιμή 4.

Isosceles οξεία τρίγωνα

Αυτά τα τρίγωνα, εκτός από την ύπαρξη οξείας εσωτερικής γωνίας, έχουν το χαρακτηριστικό να έχουν δύο από τις πλευρές τους ίσες και η τρίτη, η οποία γενικά λαμβάνεται ως βάση, διαφορετική.

Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου τριγώνων μπορεί να είναι το ένα του οποίου η βάση είναι 3 και οι άλλες δύο πλευρές του έχουν τιμή 5. Με αυτά τα μέτρα θα έχουν τις αντίθετες γωνίες στις ίσες πλευρές με την τιμή των 72,55 ° και την αντίθετη γωνία η βάση θα είναι 34,9 °.

Κλίμακα τριγώνων ακουστικού

Αυτά είναι τα τρίγωνα που έχουν όλες τις διαφορετικές πλευρές τους δύο έως δύο. Επομένως, όλες οι γωνίες της, εκτός από το ότι είναι μικρότερες από 90 °, είναι διαφορετικές δύο έως δύο.

Το τρίγωνο DEF (των οποίων οι μετρήσεις είναι d = 4, e = 5 και f = 6 και οι γωνίες του είναι D = 41,41 °, E = 55,79 ° και F = 82,8 °) είναι καλό παράδειγμα οξεικού τριγώνου scalene.

Επίλυση οξειών τριγώνων

Όπως είπαμε προηγουμένως, για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν οξεία τρίγωνα είναι απαραίτητη η χρήση θεωρήματος του ημιτονοειδούς και του συνημιτονίου.

Παράδειγμα 1

Με δεδομένο ένα τρίγωνο ABC με γωνίες Α = 30 °, Β = 70 ° και πλευρά a = 5cm, θέλουμε να γνωρίζουμε την τιμή της γωνίας C και των πλευρών b και c.

Το πρώτο πράγμα που κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 °, για να ληφθεί η τιμή της γωνίας C.

180 ° = Α + Β + C = 30 ° + 70 ° C + 100 ° C

Καθαρίζουμε το C και έχουμε αφήσει:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Όπως γνωρίζουμε ήδη τις τρεις γωνίες και τη μία πλευρά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ομότιμο θεώρημα για να καθορίσουμε την αξία των υπολοίπων πλευρών. Από το θεώρημα πρέπει:

a / sin (A) = b / sin (Β) και a / sin (A) = c /

Καθαρίζουμε b από την εξίσωση και πρέπει:

b = (a * sin (B)) / sin (Α) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του c. Προχωρούμε αναλόγως με την προηγούμενη περίπτωση:

c = (a * sin (C)) / sin (Α) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

Έτσι έχουμε όλα τα δεδομένα του τριγώνου. Όπως μπορούμε να δούμε, αυτό το τρίγωνο εμπίπτει στην κατηγορία κλίμακας τρίγωνου κλίμακας.

Παράδειγμα 2

Με δεδομένο ένα τρίγωνο DEF με πλευρές d = 4cm, e = 5cm και f = 6cm, θέλουμε να γνωρίζουμε την τιμή των γωνιών του εν λόγω τριγώνου.

Για αυτή την περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο του συνημιτονικού, το οποίο μας λέει ότι:

δ2= e2 + στ2 - 2efcos (D)

Από αυτή την εξίσωση μπορούμε να ξεκαθαρίσουμε το cos (D), το οποίο μας δίνει ως αποτέλεσμα:

Cos (D) = ((4)2 - (5)2 -(6)2) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Από εδώ έχουμε το D≈ 41,41 °

Χρησιμοποιώντας τώρα το senom θεώρημα έχουμε την ακόλουθη εξίσωση:

d / (sin (D) = e / (sin (Ε)

Εκκαθάριση της αμαρτίας (Ε), πρέπει:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Από εδώ έχουμε ότι E55.79 °

Τέλος, χρησιμοποιώντας αυτό το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 °, έχουμε αυτό το F = 82,8 °.

  1. Landaverde, F. d. (1997). Γεωμετρία (Ανατύπωση εκτύπωσης). Πρόοδος.
  2. Leake, D. (2006). Τρίγωνα (εικονογραφημένο ed.). Heinemann-Raintree.
  3. Leal G. Juan Manuel (2003). Μετρική γεωμετρία plana.CODEPRE
  4. Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες CR τεχνολογία.
  5. Sullivan, Μ. (1997). Τριγωνομετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.