Σύνθεση ισομετρικών μετασχηματισμών, τύποι και παραδείγματα

Το Ισομετρικοί μετασχηματισμοί είναι αλλαγές θέσης ή προσανατολισμού μιας συγκεκριμένης μορφής που δεν αλλάζουν ούτε τη μορφή ούτε το μέγεθος της. Οι μετασχηματισμοί αυτοί ταξινομούνται σε τρεις τύπους: μετάφραση, περιστροφή και ανάκλαση (ισομετρία). Σε γενικές γραμμές, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί επιτρέπουν τη δημιουργία ενός νέου αριθμού από ένα άλλο δεδομένο.

Ο μετασχηματισμός σε μια γεωμετρική μορφή σημαίνει ότι, με κάποιο τρόπο, υποβλήθηκε σε κάποια αλλαγή. δηλαδή ότι άλλαξε. Σύμφωνα με την έννοια του αρχικού και του όμοιου στο επίπεδο, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις τύπους: ισομετρικό, ισομορφικό και αναμορφικό..

Ευρετήριο

• 1 Χαρακτηριστικά
• 2 Τύποι
  • 2.1 Με μετάφραση
  • 2.2 Με περιστροφή
  • 2.3 Με αντανάκλαση ή συμμετρία
• 3 Σύνθεση
  • 3.1 Σύνθεση μιας μετάφρασης
  • 3.2 Σύνθεση μιας περιστροφής
  • 3.3 Σύνθεση συμμετρίας
• 4 Αναφορές

Χαρακτηριστικά

Οι ισομετρικοί μετασχηματισμοί εμφανίζονται όταν διατηρούνται τα μεγέθη των τμημάτων και οι γωνίες μεταξύ του αρχικού και του μετασχηματισμένου.

Σε αυτόν τον τύπο μετασχηματισμού, ούτε το σχήμα ούτε το μέγεθος του σχήματος αλλάζουν (είναι όμοια), είναι μόνο μια αλλαγή της θέσης του σχήματος, είτε στον προσανατολισμό είτε προς την κατεύθυνση. Με αυτόν τον τρόπο, τα αρχικά και τα τελικά στοιχεία θα είναι παρόμοια και γεωμετρικά συναφή.

Η ισομετρία αναφέρεται στην ισότητα. δηλαδή ότι οι γεωμετρικές μορφές θα είναι ισομετρικές εάν έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος.

Στους ισομετρικούς μετασχηματισμούς το μόνο πράγμα που μπορεί να παρατηρηθεί είναι μια αλλαγή θέσης στο επίπεδο, μια άκαμπτη κίνηση συμβαίνει χάρη στην οποία το σχήμα πηγαίνει από μια αρχική θέση σε μια τελική θέση. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται ομόλογο (παρόμοιο) με το πρωτότυπο.

Υπάρχουν τρεις τύποι κινήσεων που ταξινομούν έναν ισομετρικό μετασχηματισμό: μετάφραση, περιστροφή και ανάκλαση ή συμμετρία.

Τύποι

Με μετάφραση

Είναι αυτές οι ισομετρήσεις που επιτρέπουν να κινούνται σε ευθεία γραμμή όλα τα σημεία του αεροπλάνου σε μια δεδομένη κατεύθυνση και απόσταση.

Όταν ένα σχήμα μετασχηματίζεται με μετάφραση, δεν αλλάζει τον προσανατολισμό του σε σχέση με την αρχική του θέση, ούτε χάνει τα εσωτερικά του μέτρα, τα μέτρα των γωνιών και των πλευρών του. Αυτός ο τύπος μετατόπισης ορίζεται από τρεις παραμέτρους:

- Μια διεύθυνση, η οποία μπορεί να είναι οριζόντια, κάθετη ή πλάγια.

- Μια αίσθηση, η οποία μπορεί να είναι προς τα αριστερά, δεξιά, πάνω ή κάτω.

- Απόσταση ή μέγεθος, που είναι το μήκος από την αρχική θέση έως το τέλος οποιουδήποτε σημείου που κινείται.

Για να επιτευχθεί ισομετρική μετασχηματισμός με μετάφραση, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

- Ο αριθμός πρέπει πάντα να διατηρεί όλες τις διαστάσεις του, τόσο γραμμικές όσο και γωνιώδεις.

- Το σχήμα δεν αλλάζει τη θέση του σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα. δηλαδή, η γωνία της δεν διαφέρει ποτέ.

- Οι μεταφράσεις θα συνοψίζονται πάντοτε σε μία, ανεξάρτητα από τον αριθμό των μεταφράσεων που γίνονται.

Σε ένα επίπεδο όπου το κέντρο είναι ένα σημείο Ο, με συντεταγμένες (0,0), η μετάφραση ορίζεται από ένα διάνυσμα Τ (a, b), το οποίο υποδηλώνει την μετατόπιση του αρχικού σημείου. Αυτό είναι:

P (χ, γ) + Τ (α, β) = Ρ '(χ + α, γ + β)

Για παράδειγμα, αν εφαρμόζεται μια μετάφραση T (-4, 7) στο σημείο συντεταγμένων P (8, -2), έχουμε:

P (8, -2) + T (-4,7) = Ρ '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)

Στην παρακάτω εικόνα (αριστερά) μπορεί να δει κανείς πώς το σημείο C μετακινήθηκε να συμπίπτει με το σημείο D. Το έκαναν στην κατακόρυφη κατεύθυνση, η κατεύθυνση ήταν προς τα πάνω και η απόσταση ή το μέγεθος του CD ήταν 8 μέτρα. Στη σωστή εικόνα παρατηρείται η μετάφραση ενός τριγώνου:

Με περιστροφή

Είναι αυτές οι ισομετρήσεις που επιτρέπουν στο σχήμα να περιστρέφει όλα τα σημεία ενός αεροπλάνου. Κάθε σημείο περιστρέφεται ακολουθώντας ένα τόξο που έχει σταθερή γωνία και καθορίζεται ένα σταθερό σημείο (κέντρο περιστροφής).

Δηλαδή, όλη η περιστροφή θα καθοριστεί από το κέντρο περιστροφής και τη γωνία περιστροφής. Όταν ένα σχήμα μετατρέπεται με περιστροφή, διατηρεί το μέτρο των γωνιών και των πλευρών του.

Η περιστροφή συμβαίνει σε μια ορισμένη κατεύθυνση, είναι θετική όταν η περιστροφή είναι αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού (σε αντίθεση με το πώς τα χέρια του ρολογιού περιστρέφονται) και αρνητική όταν η περιστροφή του είναι δεξιόστροφη.

Αν ένα σημείο (x, y) περιστρέφεται σε σχέση με την προέλευση - δηλαδή, το κέντρο περιστροφής του είναι (0,0) -, υπό γωνία 90^o έως 360^o Οι συντεταγμένες των σημείων θα είναι:

Στην περίπτωση που η περιστροφή δεν έχει κέντρο στην προέλευση, η προέλευση του συστήματος συντεταγμένων πρέπει να μεταφερθεί στη νέα δεδομένη καταγωγή, προκειμένου να είναι δυνατή η περιστροφή του αριθμού που έχει ως κέντρο την καταγωγή.

Για παράδειγμα, εάν στο σημείο P (-5,2) δίνεται μια περιστροφή 90^o, γύρω από την προέλευση και με θετική έννοια οι νέες συντεταγμένες του θα είναι (-2,5).

Με αντανάκλαση ή συμμετρία

Είναι αυτοί οι μετασχηματισμοί που αντιστρέφουν τα σημεία και τα σχήματα του επιπέδου. Αυτή η επένδυση μπορεί να είναι σε σχέση με ένα σημείο ή μπορεί επίσης να είναι σε σχέση με μια ευθεία γραμμή.

Με άλλα λόγια, σε αυτόν τον τύπο μετασχηματισμού, κάθε σημείο του αρχικού σχήματος συνδέεται με ένα άλλο σημείο (εικόνα) του ομόλογου σχήματος, με τέτοιο τρόπο ώστε το σημείο και η εικόνα του να βρίσκονται στην ίδια απόσταση από μια γραμμή που ονομάζεται άξονας συμμετρίας..

Έτσι, το αριστερό μέρος του σχήματος θα είναι μια αντανάκλαση του δεξιού μέρους, χωρίς να αλλάζει το σχήμα ή τις διαστάσεις του. Η συμμετρία μετατρέπει ένα σχήμα σε άλλο, αν και στην αντίθετη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Η συμμετρία είναι παρούσα σε πολλές απόψεις, όπως σε μερικά φυτά (ηλίανθος), ζώα (παγώνι) και φυσικά φαινόμενα (νιφάδες χιονιού). Ο άνθρωπος το αντανακλά στο πρόσωπό του, που θεωρείται παράγοντας ομορφιάς. Η αντανάκλαση ή η συμμετρία μπορεί να είναι δύο τύπων:

Κεντρική συμμετρία

Είναι αυτός ο μετασχηματισμός που συμβαίνει σε σχέση με ένα σημείο, στο οποίο ο αριθμός μπορεί να αλλάξει τον προσανατολισμό του. Κάθε σημείο του αρχικού σχήματος και της εικόνας του βρίσκονται στην ίδια απόσταση από ένα σημείο Ο, που ονομάζεται κέντρο συμμετρίας. Η συμμετρία είναι κεντρική όταν:

- Τόσο το σημείο όσο και η εικόνα και το κέντρο του ανήκουν στην ίδια γραμμή.

- Με περιστροφή 180^o κέντρο O παίρνετε ένα ποσό ίσο με το πρωτότυπο.

- Οι κινήσεις του αρχικού σχήματος είναι παράλληλες με τις διαδρομές του σχηματιζόμενου σχήματος.

- Η αίσθηση του αριθμού δεν αλλάζει, θα είναι πάντοτε δεξιόστροφη.

Αυτός ο μετασχηματισμός συμβαίνει σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας, όπου κάθε σημείο του αρχικού σχήματος συνδέεται με ένα άλλο σημείο της εικόνας και αυτά βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα συμμετρίας. Η συμμετρία είναι αξονική όταν:

- Το τμήμα που ενώνει ένα σημείο με την εικόνα του είναι κάθετο στον άξονα συμμετρίας του.

- Οι αριθμοί αλλάζουν κατεύθυνση σε σχέση με τη στροφή ή δεξιόστροφα.

- Όταν διαιρούμε το σχήμα με μια κεντρική γραμμή (άξονας συμμετρίας), ένα από τα μισά που προκύπτουν ταιριάζει πλήρως με ένα άλλο μισό.

Σύνθεση

Μια σύνθεση ισομετρικών μετασχηματισμών αναφέρεται στην διαδοχική εφαρμογή ισομετρικών μετασχηματισμών στο ίδιο σχήμα.

Σύνθεση μιας μετάφρασης

Η σύνθεση δύο μεταφράσεων οδηγεί σε μια άλλη μετάφραση. Όταν γίνεται στο επίπεδο, στον οριζόντιο άξονα (x) αλλάζουν μόνο οι συντεταγμένες αυτού του άξονα, ενώ οι συντεταγμένες του κατακόρυφου άξονα (y) παραμένουν οι ίδιες και αντίστροφα.

Σύνθεση μιας περιστροφής

Η σύνθεση των δύο στροφών με το ίδιο κέντρο οδηγεί σε μια άλλη στροφή, η οποία έχει το ίδιο κέντρο και του οποίου το πλάτος θα είναι το άθροισμα των μεγεθών των δύο στροφών.

Εάν το κέντρο οι στροφές έχουν διαφορετικό κέντρο, η τομή του διχοτόμου δύο τμημάτων παρόμοιων σημείων θα είναι το κέντρο στροφής.

Σύνθεση συμμετρίας

Σε αυτή την περίπτωση, η σύνθεση θα εξαρτηθεί από τον τρόπο εφαρμογής της:

- Αν η ίδια συμμετρία εφαρμοστεί δύο φορές, το αποτέλεσμα θα είναι ταυτότητα.

- Εάν εφαρμόζονται δύο συμμετρίες σε σχέση με δύο παράλληλους άξονες, το αποτέλεσμα θα είναι μια μετάφραση και η μετατόπισή του θα είναι διπλάσια από αυτές των αξόνων:

- Εάν εφαρμόζονται δύο συμμετρίες σε σχέση με δύο άξονες που κόβονται στο σημείο O (κέντρο), θα επιτευχθεί περιστροφή με κέντρο στο O και η γωνία του θα είναι διπλάσια από τη γωνία που σχηματίζουν οι άξονες:

Αναφορές

1. V Burgués, J.F. (1988). Υλικά για την κατασκευή γεωμετρίας. Μαδρίτη: Σύνθεση.
2. Cesar Calavera, Ι. J. (2013). Τεχνικό Σχέδιο II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
3. Coxeter, Η. (1971). Βασικές αρχές της γεωμετρίας Μεξικό: Limusa-Wiley.
4. Coxford, Α. (1971). Γεωμετρία Μια προσέγγιση μετασχηματισμού. ΗΠΑ: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, R.S. (2005). Εισαγωγή και τυποποίηση στη διδασκαλία των άκαμπτων μετασχηματισμών στο περιβάλλον CABRI.
6. , Ρ. J. (1996). Η ομάδα ισόμετρων αεροπλάνων. Μαδρίτη: Σύνθεση.
7. Suarez, Α. C. (2010). Μετασχηματισμοί στο επίπεδο. Γκούραμπο, Πουέρτο Ρίκο: AMCT .