Μετασχηματισμένος ορισμός Laplace, ιστορία, τι είναι για, ιδιότητες



Το μεταμορφώθηκε από την Laplace έχει τα τελευταία χρόνια μεγάλη σημασία στις σπουδές μηχανικών, μαθηματικών, φυσικής, ανάμεσα σε άλλους επιστημονικούς τομείς, καθώς είναι μεγάλο ενδιαφέρον στη θεωρία, παρέχει έναν απλό τρόπο για την επίλυση των προβλημάτων που προέρχονται από την επιστήμη και την τεχνολογία.

Αρχικά ο μετασχηματισμός Laplace παρουσιάστηκε από τον Pierre-Simon Laplace στη μελέτη του σχετικά με τη θεωρία της πιθανότητας και θεωρήθηκε αρχικά ως μαθηματικό αντικείμενο απλού θεωρητικού ενδιαφέροντος.

Οι τρέχουσες αιτήσεις προκύπτουν όταν διάφοροι μαθηματικοί προσπάθησαν να δώσουν μια επίσημη αιτιολόγηση στους «επιχειρησιακούς κανόνες» που χρησιμοποίησε ο Heaviside στη μελέτη των εξισώσεων της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας.

Ευρετήριο

  • 1 Ορισμός
    • 1.1 Παραδείγματα
    • 1.2 Θεώρημα (Επαρκείς συνθήκες ύπαρξης)
    • 1.3 Μετασχηματισμός Laplace ορισμένων βασικών λειτουργιών
  • 2 Ιστορία
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Ο Oliver Heaviside
  • 3 Ιδιότητες
    • 3.1 Γραμμικότητα
    • 3.2 Θεώρημα πρώτης μετάφρασης
    • 3.3 Δεύτερο θεώρημα μετάφρασης
    • 3.4 Αλλαγή της κλίμακας
    • 3,5 μετασχηματισμό Laplace των παραγώγων
    • 3.6 Μετασχηματισμός Laplace των ολοκληρωμάτων
    • 3.7 Πολλαπλασιασμός με tn
    • 3.8 Διαίρεση από t
    • 3.9 Περιοδικές λειτουργίες
    • 3.10 Συμπεριφορά του F (s) όταν το s τείνει στο άπειρο
  • 4 Αντίστροφοι μετασχηματισμοί
    • 4.1 Άσκηση
  • 5 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Laplace
    • 5.1 Διαφορικές εξισώσεις
    • 5.2 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων
    • 5.3 Μηχανική και ηλεκτρικά κυκλώματα
  • 6 Αναφορές

Ορισμός

Έστω f μια συνάρτηση που ορίζεται για t ≥ 0. Ο μετασχηματισμός Laplace ορίζεται ως εξής:

Λέγεται ότι ο Μετασχηματισμός Laplace υπάρχει εάν το προηγούμενο ολοκληρωτικό συγκλίνει, διαφορετικά λέγεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace δεν υπάρχει.

Γενικά, για να υποδηλώσει τη συνάρτηση που κάποιος θέλει να μετασχηματίσει, χρησιμοποιούνται πεζά γράμματα και το κεφαλαίο γράμμα αντιστοιχεί στον μετασχηματισμό του. Με αυτόν τον τρόπο θα έχουμε:

Παραδείγματα

Εξετάζουμε τη συνεχή συνάρτηση f (t) = 1. Έχουμε ότι ο μετασχηματισμός της είναι:

Κάθε φορά που το ενιαίο συγκλίνει, αυτό πάντοτε προβλέπεται ότι s> 0. Διαφορετικά, s < 0, la integral diverge.

Έστω g (t) = t. Ο μετασχηματισμός Laplace σας δίνεται από

Με την ενσωμάτωση με μέρη και γνωρίζοντας ότι εσείς-st τείνει στο 0 όταν t τείνει στο άπειρο και s> 0, μαζί με το προηγούμενο παράδειγμα που έχουμε:

Το μετασχηματισμένο μπορεί ή δεν μπορεί να υπάρχει, για παράδειγμα για την συνάρτηση f (t) = 1 / t το ολοκλήρωμα ορισμό του μετασχηματισμού Laplace δεν συγκλίνει και επομένως trasformada του εκεί.

Οι επαρκείς συνθήκες για να εξασφαλιστεί ότι υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f είναι ότι το f είναι συνεχές σε μέρη για t ≥ 0 και έχει εκθετική τάξη.

Λέγεται ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε μέρη για t ≥ 0, όταν για οποιοδήποτε διάστημα [a, b] με a> 0, υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός σημείων tk, όπου f έχει ασυνέχειες και είναι συνεχής σε κάθε υποεσωτερικό [tk-1,tk].

Από την άλλη πλευρά, λέγεται ότι μια συνάρτηση είναι εκθετικής τάξης c εάν υπάρχουν πραγματικές σταθερές M> 0, c και T> 0 έτσι ώστε:

Ως παραδείγματα έχουμε ότι το f (t) = t2 είναι εκθετικής τάξης, αφού | t2| < e3t για όλα t> 0.

Με τυπικό τρόπο έχουμε το ακόλουθο θεώρημα

Θεώρημα (επαρκείς συνθήκες ύπαρξης)

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση ανά τμήμα για t> 0 και εκθετική σειρά c, τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace για s> c.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτό αποτελεί ικανή συνθήκη, δηλαδή ότι θα μπορούσε να είναι η περίπτωση όπου υπάρχει μια λειτουργία που δεν πληρούν αυτές τις προϋποθέσεις και εξακολουθεί να του Laplace μετατρέψει υπάρχει.

Ένα παράδειγμα αυτού είναι η συνάρτηση f (t) = t-1/2 που δεν είναι συνεχής σε μέρη για t ≥ 0 αλλά υπάρχει μετασχηματισμός Laplace.

Μετασχηματισμός Laplace ορισμένων βασικών λειτουργιών

Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τους μετασχηματισμούς Laplace των πιο κοινών λειτουργιών.

Ιστορία

Ο μετασχηματισμός Laplace το όνομά του από τον Pierre-Simon Laplace, Γάλλος μαθηματικός και θεωρητικός αστρονόμος που γεννήθηκε το 1749 και πέθανε το 1827. φήμη χρονιά του ήταν τέτοια που ήταν γνωστός ως ο Newton της Γαλλίας.

Το 1744 ο Leonard Euler αφιέρωσε τις σπουδές του στα ολοκληρώματα με τη μορφή

ως λύσεις των συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων, αλλά εγκατέλειψε γρήγορα αυτή την έρευνα. Αργότερα, ο Joseph Louis Lagrange, ο οποίος θαύμαζε πολύ την Euler, διερεύνησε επίσης αυτό το είδος ολοκληρωμάτων και τους συσχετίζει με τη θεωρία της πιθανότητας.

1782, Laplace

Κατά το έτος 1782 άρχισε να σπουδάζει Laplace ολοκληρώματα, όπως λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις και σύμφωνα με τους ιστορικούς, το 1785 αποφάσισε να αναδιατυπώσει το πρόβλημα, το οποίο, στη συνέχεια, σήμερα γέννησε το Μετασχηματισμοί Laplace και κατανοητό.

Αφού εισήχθη στο πεδίο της θεωρίας των πιθανοτήτων, ήταν ελάχιστα ενδιαφέρον για τους επιστήμονες της εποχής και θεωρήθηκε μόνο ως μαθηματικό αντικείμενο θεωρητικού ενδιαφέροντος.

Ο Oliver Heaviside

Ήταν στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα, όταν ο Άγγλος μηχανικός Oliver Heaviside διαπίστωσε ότι οι διαφορικές φορείς μπορούν να αντιμετωπίζονται σαν αλγεβρικό μεταβλητές, δίνοντας σύγχρονη εφαρμογή Laplace μετασχηματισμοί της.

Oliver Heaviside ήταν ένα φυσικό, ηλεκτρολόγος μηχανικός και μαθηματικός Άγγλος γεννήθηκε το 1850 και πέθανε στο Λονδίνο το 1925. Ενώ προσπαθεί να λύσει διαφορικές εξισώσεις που εφαρμόζεται με τη θεωρία των κραδασμών και μελέτες που χρησιμοποιούν Laplace, που ξεκίνησε τη διαμόρφωση σύγχρονες εφαρμογές των μετασχηματισμών Laplace.

Τα αποτελέσματα που παρουσίασε ο Heaviside εξαπλώθηκαν γρήγορα σε όλη την επιστημονική κοινότητα της εποχής, αλλά καθώς το έργο του δεν ήταν αυστηρό, επικρίθηκε γρήγορα από πιο παραδοσιακούς μαθηματικούς.

Ωστόσο, η χρησιμότητα του έργου του Heaviside στην επίλυση των εξισώσεων φυσικής έκανε τις μεθόδους του δημοφιλείς με τους φυσικούς και τους μηχανικούς.

Παρά τις οπισθοδρομήσεις, και μετά από μερικές δεκαετίες αποτυχημένων προσπαθειών, στις αρχές του εικοστού αιώνα, θα μπορούσε να δώσει μια αυστηρή αιτιολόγηση των κανόνων λειτουργίας δίνονται από Heaviside.

Αυτές οι απόπειρες εξαντλήθηκαν χάρη στις προσπάθειες διαφόρων μαθηματικών όπως οι Bromwich, Carson, van der Pol, μεταξύ άλλων..

Ιδιότητες

Μεταξύ των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Laplace, ξεχωρίζουν τα εξής:

Γραμμικότητα

Ας C1 και C2 σταθερές και f (t) και g (t) των οποίων οι λειτουργίες είναι Επεξεργασμένα Laplace F (ες) και G (s) αντίστοιχα, τότε έχουμε:

Λόγω αυτής της ιδιότητας λέγεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας γραμμικός χειριστής.

Παράδειγμα

Πρώτο μεταφραστικό θεώρημα

Εάν συμβεί:

Και το 'a' είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, τότε:

Παράδειγμα

Καθώς ο μετασχηματισμός Laplace του cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) τότε:

Δεύτερο θεώρημα μετάφρασης

Ναι

Τότε

Παράδειγμα

Αν f (t) = t ^ 3, τότε F (s) = 6 / s ^ 4. Και ως εκ τούτου, η μετατροπή του

είναι G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Αλλαγή της κλίμακας

Ναι

Και το 'a' είναι μη μηδενικό πραγματικό, πρέπει να το κάνουμε

Παράδειγμα

Εφόσον ο μετασχηματισμός του f (t) = sin (t) είναι F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) πρέπει να είναι

μετασχηματισμό των παραγώγων Laplace

Αν τα f, f ', f ", ..., f(η) είναι συνεχείς για t ≥ 0 και είναι εκθετικής τάξης και f(η)(t) είναι συνεχής σε μέρη για t ≥ 0, τότε

Μετασχηματισμός Laplace των ολοκληρωμάτων

Ναι

Τότε

Πολλαπλασιασμός με tn

Αν πρέπει

Τότε

Διαίρεση από t

Αν πρέπει

Τότε

Περιοδικές λειτουργίες

Έστω f μια περιοδική συνάρτηση με την περίοδο T> 0, δηλαδή, f (t + T) = f (t), τότε

Συμπεριφορά του F (s) όταν το s τείνει στο άπειρο

Αν f είναι συνεχής σε μέρη και με εκθετική τάξη και

Τότε

Αντίστροφοι μετασχηματισμοί

Όταν εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Laplace σε μια συνάρτηση f (t) λαμβάνουμε το F (s), το οποίο αντιπροσωπεύει αυτό το μετασχηματισμό. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πούμε ότι το f (t) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του F (s) και γράφεται ως

Γνωρίζουμε ότι οι μετασχηματισμοί Laplace του f (t) = 1 και g (t) = t είναι F (s) = 1 / s και G (s) = 1 / s2 αντιστοίχως, επομένως πρέπει να

Ορισμένοι συνηθισμένοι μετασχηματισμοί Laplace είναι οι ακόλουθοι

Επιπλέον, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι γραμμικός, δηλαδή, εκπληρώνεται αυτό

Άσκηση

Βρείτε

Για την επίλυση αυτής της άσκησης πρέπει να ταιριάξουμε τη συνάρτηση F (s) με έναν από τους προηγούμενους πίνακες. Σε αυτή την περίπτωση, αν πάρουμε n + 1 = 5 και χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα γραμμικότητας του αντίστροφου μετασχηματισμού, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με 4! Να πάρει

Για το δεύτερο αντίστροφο μετασχηματισμό εφαρμόζουμε μερικά κλάσματα για να ξαναγράψουμε τη συνάρτηση F (s) και κατόπιν την ιδιότητα της γραμμικότητας, αποκτώντας

Όπως μπορούμε να δούμε από αυτά τα παραδείγματα είναι κοινό ότι η συνάρτηση F (s) που αξιολογείται δεν συμφωνεί ακριβώς με οποιαδήποτε από τις λειτουργίες που δίνονται στον πίνακα. Για αυτές τις περιπτώσεις, όπως παρατηρείται, αρκεί να ξαναγράψουμε τη λειτουργία μέχρι να φτάσουμε στην κατάλληλη μορφή.

Εφαρμογές του μετασχηματισμού Laplace

Διαφορικές εξισώσεις

Η κύρια εφαρμογή των μετασχηματισμών Laplace είναι η επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του μετασχηματισμού ενός παραγώγου είναι σαφές ότι

Και από τα n-1 παράγωγα που αξιολογήθηκαν σε t = 0.

Αυτή η ιδιότητα καθιστά τον μετασχηματισμό πολύ χρήσιμο για την επίλυση προβλημάτων αρχικής αξίας όπου εμπλέκονται διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.

Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν πώς να χρησιμοποιήσετε το μετασχηματισμό Laplace για να επιλύσετε διαφορικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 1

Λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο πρόβλημα αρχικής τιμής

Χρησιμοποιήστε το μετασχηματισμό Laplace για να βρείτε τη λύση.

Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Laplace σε κάθε μέλος της διαφορικής εξίσωσης

Για την ιδιότητα του μετασχηματισμού ενός παραγώγου έχουμε

Με την ανάπτυξη της έκφρασης και της εκκαθάρισης Και (ες) μένουμε

Χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα για να ξαναγράψουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης που λαμβάνουμε

Τέλος, ο στόχος μας είναι να βρούμε μια συνάρτηση y (t) που να ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace μας δίνει το αποτέλεσμα

Παράδειγμα 2

Επίλυση

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό και στις δύο πλευρές της εξίσωσης και στον ξεχωριστό όρο με βάση τον όρο.

Με αυτό τον τρόπο έχουμε ως αποτέλεσμα

Αντικατάσταση με τις δεδομένες αρχικές τιμές και εκκαθάριση Y (s)

Χρησιμοποιώντας απλά κλάσματα μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής

Και εφαρμόζοντας το αντίστροφο μετασχηματισμό της Laplace μας δίνει ως αποτέλεσμα

Σε αυτά τα παραδείγματα μπορεί κανείς να καταλήξει στο λάθος συμπέρασμα ότι αυτή η μέθοδος δεν είναι πολύ καλύτερη από τις παραδοσιακές μεθόδους για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων.

Τα πλεονεκτήματα που προσφέρονται από το μετασχηματισμό Laplace είναι ότι δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούμε παραλλαγή παραμέτρων ή ανησυχία για τις διάφορες περιπτώσεις της μεθόδου αόριστων συντελεστών.

Εκτός από την επίλυση προβλημάτων αρχικής αξίας με αυτή τη μέθοδο, από την αρχή χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες, οπότε δεν είναι απαραίτητο να εκτελεστούν άλλοι υπολογισμοί για να βρεθεί η συγκεκριμένη λύση.

Συστήματα διαφορικών εξισώσεων

Ο μετασχηματισμός Laplace μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εξεύρεση λύσεων σε ταυτόχρονες συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα

Επίλυση

Με τις αρχικές συνθήκες x (0) = 8 e και (0) = 3.

Αν πρέπει

Τότε

Η επίλυση των αποτελεσμάτων σε εμάς

Και όταν εφαρμόζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε

Μηχανική και ηλεκτρικά κυκλώματα

Ο μετασχηματισμός Laplace έχει μεγάλη σημασία στη φυσική, έχει κυρίως εφαρμογές για μηχανικά και ηλεκτρικά κυκλώματα.

Ένα απλό ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία

Ένας διακόπτης, μια μπαταρία ή πηγή, ένας επαγωγέας, ένας αντιστάτης και ένας πυκνωτής. Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός παράγεται ένα ηλεκτρικό ρεύμα το οποίο δηλώνεται με i (t). Το φορτίο του πυκνωτή δηλώνεται με q (t).

Με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff, η τάση που παράγεται από την πηγή Ε στο κλειστό κύκλωμα πρέπει να είναι ίση με το άθροισμα κάθε μιας από τις σταγόνες τάσης.

Το ηλεκτρικό ρεύμα i (t) σχετίζεται με το φορτίο q (t) στον πυκνωτή από i = dq / dt. Από την άλλη πλευρά, η πτώση τάσης ορίζεται σε καθένα από τα στοιχεία ως εξής:

Η πτώση τάσης σε μια αντίσταση είναι iR = R (dq / dt)

Η πτώση τάσης σε έναν επαγωγέα είναι L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Η πτώση τάσης σε έναν πυκνωτή είναι q / C

Με αυτά τα δεδομένα και την εφαρμογή του δεύτερου νόμου Kirchhoff στο κλειστό απλό κύκλωμα, λαμβάνεται μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που περιγράφει το σύστημα και μας επιτρέπει να καθορίσουμε την τιμή του q (t).

Παράδειγμα

Ένας επαγωγέας, ένας πυκνωτής και ένας αντιστάτης συνδέονται με μια μπαταρία Ε, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο επαγωγέας είναι από 2 henries, ο πυκνωτής 0.02 farads και η αντίσταση 16 onhm. Την ώρα t = 0 το κύκλωμα είναι κλειστό. Βρείτε το φορτίο και το ρεύμα ανά πάσα στιγμή t> 0 αν E = 300 βολτ.

Έχουμε ότι η διαφορική εξίσωση που περιγράφει αυτό το κύκλωμα είναι η ακόλουθη

Όπου οι αρχικές συνθήκες είναι q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace το καταλαβαίνουμε

Και εκκαθάριση Q (t)

Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε

Αναφορές

  1. G. Holbrook, J. (1987). Μετασχηματισμός Laplace για τους μηχανικούς ηλεκτρονικών. Ασβέστη.
  2. Ruiz, L. Μ., & Hernandez, Μ. Ρ. (2006). Διαφορικές εξισώσεις και μετατροπή Laplace με εφαρμογές. Συντάκτης UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Διαφορικές εξισώσεις με εφαρμογές και ιστορικές σημειώσεις. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, Μ. R. (1991). Ο Laplace μεταμορφώνεται. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, Μ. R. (2008). Διαφορικές εξισώσεις με προβλήματα τιμών στα σύνορα. Cengage Learning Editores, S.A..