Διδασκαλία διωνυμίου θεωρήματος και παραδείγματα

Το διωνυμικό θεώρημα είναι μια εξίσωση που μας λέει πώς να αναπτύξουμε μια έκφραση της φόρμας (a + b)ⁿ για κάποιο φυσικό αριθμό n. Ένα διωνύμιο δεν είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα δύο στοιχείων, όπως (a + b). Επίσης μας επιτρέπει να γνωρίζουμε για έναν όρο που δίνεται από ένα^kβ^n-k ποιος είναι ο συντελεστής που συμβαίνει με αυτό.

Αυτό το θεώρημα συνήθως αποδίδεται στον Άγγλο εφευρέτη, φυσικό και μαθηματικό Sir Isaac Newton. ωστόσο, έχουν βρεθεί αρκετά αρχεία που δείχνουν ότι στη Μέση Ανατολή η ύπαρξή της ήταν ήδη γνωστή γύρω στο έτος 1000.

Ευρετήριο

• 1 συνδυαστικούς αριθμούς
• 2 Επίδειξη
• 3 Παραδείγματα
  • 3.1 Ταυτότητα 1
  • 3.2 Ταυτότητα 2
• 4 Μια άλλη επίδειξη
  • 4.1 Επίδειξη με επαγωγή
• 5 Περιέργεια
• 6 Αναφορές

Συνδυαστικοί αριθμοί

Το διωνυμικό θεώρημα μας λέει μαθηματικά τα εξής:

Στην έκφραση αυτή a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και n είναι ένας φυσικός αριθμός.

Πριν δώσουμε τη διαδήλωση, ας δούμε μερικές βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες.

Ο συνδυαστικός αριθμός ή συνδυασμοί του n σε k εκφράζεται ως εξής:

Αυτή η φόρμα εκφράζει την αξία του πόσων υποσυνόλων με στοιχεία k μπορεί να επιλεγεί από ένα σύνολο στοιχείων n. Η αλγεβρική έκφρασή του δίνεται από:

Ας δούμε ένα παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ομάδα από επτά μπάλες, δύο από τις οποίες είναι κόκκινες και οι υπόλοιπες μπλε.

Θέλουμε να μάθουμε πόσους τρόπους μπορούμε να τους παραγγείλουμε στη σειρά. Ένας τρόπος θα ήταν να τοποθετήσετε τα δύο κόκκινα στην πρώτη και τη δεύτερη θέση, και τα υπόλοιπα μπάλες στις υπόλοιπες θέσεις.

Παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, θα μπορούσαμε να δώσουμε τις κόκκινες μπάλες την πρώτη και την τελευταία θέση αντίστοιχα και να καταλάβουμε τους υπόλοιπους με μπλε μπάλες.

Τώρα, ένας αποτελεσματικός τρόπος για να μετρήσετε πόσους τρόπους μπορούμε να παραγγείλουμε τις μπάλες στη σειρά χρησιμοποιεί τους συνδυαστικούς αριθμούς. Μπορούμε να δούμε κάθε θέση ως στοιχείο του ακόλουθου συνόλου:

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο μόνο να επιλέξετε ένα υποσύνολο από δύο στοιχεία, στα οποία κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία αντιπροσωπεύει τη θέση που θα καταλαμβάνουν οι κόκκινες μπάλες. Μπορούμε να κάνουμε αυτήν την επιλογή σύμφωνα με τη σχέση που δίνεται από:

Με αυτόν τον τρόπο, έχουμε ότι υπάρχουν 21 τρόποι για να ταξινομήσετε αυτές τις μπάλες.

Η γενική ιδέα αυτού του παραδείγματος θα είναι πολύ χρήσιμη στην επίδειξη του διωνυμικού θεώρημα. Ας δούμε μια συγκεκριμένη περίπτωση: αν n = 4, έχουμε (a + b)⁴, που δεν είναι τίποτα περισσότερο από:

Όταν αναπτύσσουμε αυτό το προϊόν, έχουμε το άθροισμα των όρων που προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας ένα στοιχείο καθενός από τους τέσσερις παράγοντες (α + β). Έτσι, θα έχουμε όρους που θα έχουν τη μορφή:

Αν θέλαμε να πάρουμε τον όρο της φόρμας⁴, απλά πολλαπλασιάστε με τον εξής τρόπο:

Σημειώστε ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος απόκτησης αυτού του στοιχείου. αλλά τι συμβαίνει εάν τώρα αναζητήσουμε τον όρο της φόρμας²β²? Δεδομένου ότι τα "a" και "b" είναι πραγματικοί αριθμοί και επομένως ο commutative νόμος είναι έγκυρος, έχουμε έναν τρόπο να αποκτήσουμε αυτόν τον όρο να πολλαπλασιάζεται με τα μέλη όπως υποδεικνύεται από τα βέλη.

Η εκτέλεση όλων αυτών των πράξεων είναι συνήθως κάπως κουραστική, αλλά εάν δούμε τον όρο «α» ως συνδυασμό όπου θέλουμε να μάθουμε πόσοι τρόποι μπορούμε να επιλέξουμε δύο «α» από ένα σύνολο τεσσάρων παραγόντων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδέα του προηγούμενου παραδείγματος. Έτσι, έχουμε τα εξής:

Γνωρίζουμε λοιπόν ότι στην τελική εξέλιξη της έκφρασης (a + b)⁴ θα έχουμε ακριβώς 6α²β². Χρησιμοποιώντας την ίδια ιδέα για τα άλλα στοιχεία, πρέπει:

Στη συνέχεια προσθέτουμε τις εκφράσεις που ελήφθησαν προηγουμένως και πρέπει:

Είναι επίσημη επίδειξη για τη γενική περίπτωση στην οποία το "n" είναι φυσικός αριθμός.

Επίδειξη

Σημειώστε ότι οι όροι που παραμένουν κατά την ανάπτυξη (a + b)ⁿ έχουν τη μορφή^kβ^n-k, όπου k = 0,1, ..., n. Χρησιμοποιώντας την ιδέα του προηγούμενου παραδείγματος, έχουμε τον τρόπο να επιλέξουμε μεταβλητές "k" "a" από τους συντελεστές "n" είναι:

Επιλέγοντας με αυτόν τον τρόπο, επιλέγουμε αυτόματα τις μεταβλητές n-k "b". Από αυτό προκύπτει ότι:

Παραδείγματα

Λαμβάνοντας υπόψη (α + β)⁵, Ποια θα είναι η ανάπτυξή της?

Με το διωνυμικό θεώρημα πρέπει:

Το διωνυμικό θεώρημα είναι πολύ χρήσιμο εάν έχουμε μια έκφραση στην οποία θέλουμε να μάθουμε ποιος είναι ο συντελεστής ενός συγκεκριμένου όρου χωρίς να χρειάζεται να εκτελέσει την πλήρη ανάπτυξη. Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε την ακόλουθη ερώτηση: Ποιος είναι ο συντελεστής του x⁷και⁹ στην ανάπτυξη των (x + y)¹⁶?

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι ο συντελεστής είναι:

Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν: ποιος είναι ο συντελεστής x⁵και⁸ στην ανάπτυξη (3x-7y)¹³?

Αρχικά ξαναγράφουμε την έκφραση με βολικό τρόπο. αυτό είναι:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι ο επιθυμητός συντελεστής είναι όταν έχουμε k = 5

Ένα άλλο παράδειγμα των χρήσεων αυτού του θεώρημα είναι η επίδειξη ορισμένων κοινών ταυτοτήτων, όπως αυτές που αναφέρονται παρακάτω.

Ταυτότητα 1

Αν "n" είναι ένας φυσικός αριθμός, πρέπει να:

Για τη διαδήλωση χρησιμοποιούμε το διωνυμικό θεώρημα, όπου τόσο το "a" όσο και το "b" παίρνουν την τιμή 1. Τότε έχουμε:

Με αυτόν τον τρόπο αποδείξαμε την πρώτη ταυτότητα.

Ταυτότητα 2

Αν το "n" είναι φυσικός αριθμός, τότε

Με το διωνυμικό θεώρημα πρέπει:

Μια άλλη επίδειξη

Μπορούμε να κάνουμε μια διαφορετική επίδειξη για το διωνυμικό θεώρημα χρησιμοποιώντας την επαγωγική μέθοδο και την ταυτότητα pascal, που μας λέει ότι αν "n" και "k" είναι θετικοί ακέραιοι που πληρούν n ≥ k τότε:

Επίδειξη με επαγωγή

Πρώτα ας δούμε ότι η επαγωγική βάση πληρούται. Αν n = 1, πρέπει να:

Πράγματι, βλέπουμε ότι έχει εκπληρωθεί. Τώρα, αφήστε n = j έτσι ώστε να εκπληρωθεί:

Θέλουμε να δούμε ότι για n = j + 1 πληρούται ότι:

Έτσι, πρέπει:

Με την υπόθεση γνωρίζουμε ότι:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη διανεμητική ιδιότητα:

Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε κάθε ένα από τα σύνολα που έχουμε:

Τώρα, εάν συγκεντρωθούμε με έναν βολικό τρόπο, πρέπει:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Pascal, πρέπει:

Τέλος, σημειώστε ότι:

Επομένως, βλέπουμε ότι το διωνυμικό θεώρημα πληρούται για όλα τα "n" που ανήκουν στον φυσικό αριθμό, και με αυτό το τέλος των δοκιμών.

Αξιοσημείωτα

Ο συνδυαστικός αριθμός (nk) ονομάζεται επίσης διωνυμικός συντελεστής επειδή είναι ακριβώς ο συντελεστής που εμφανίζεται στην ανάπτυξη του διωνυμικού (a + b)ⁿ.

Ο Isaac Newton έδωσε μια γενίκευση αυτού του θεωρήματος για την περίπτωση στην οποία ο εκθέτης είναι ένας πραγματικός αριθμός. αυτό το θεώρημα είναι γνωστό ως διωνυμικό θεώρημα του Newton.

Ήδη στην αρχαιότητα αυτό το αποτέλεσμα ήταν γνωστό για τη συγκεκριμένη περίπτωση στην οποία n = 2. Αυτή η περίπτωση αναφέρεται στο Στοιχεία του Ευκλείδη.

Αναφορές

1. Johnsonbaugh Richard. Διακριτά Μαθηματικά PHH
2. Kenneth.H. Διακριτά Μαθηματικά και οι Εφαρμογές της. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Διακριτά Μαθηματικά. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Διακριτά και Συνδυαστικά Μαθηματικά. Άντισον-Γουέσλι Ιμπρεοαμερικανα
5. Verde Star Luis ... Διακριτά Μαθηματικά και Combinatoria.Anthropos