Τα Παραδείγματα του Θεωρήματος του Varignon και οι Ασκήσεις Επίλυσης



Το Το θεώρημα του Varignon διαπιστώνει ότι εάν σε οποιοδήποτε τετράπλευρο οποιοδήποτε σημείο συνδέεται συνεχώς με τις πλευρές, παράγεται ένα παραλληλόγραμμο. Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Pierre Varignon και δημοσιεύθηκε το 1731 στο βιβλίο Στοιχεία των μαθηματικών".

Η δημοσίευση του βιβλίου έγινε χρόνια μετά το θάνατό του. Δεδομένου ότι ο Varignon ήταν εκείνος που παρουσίασε αυτό το θεώρημα, το παραλληλόγραμμο ονομάζεται μετά από αυτόν. Το θεώρημα βασίζεται στην Ευκλείδεια γεωμετρία και παρουσιάζει τις γεωμετρικές σχέσεις των τετράπλευρων.

Ευρετήριο

  • 1 Τι είναι το θεώρημα Varignon;?
  • 2 Παραδείγματα
    • 2.1 Πρώτο παράδειγμα
    • 2.2 Δεύτερο παράδειγμα
  • 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
    • 3.1 Άσκηση 1
    • 3.2 Άσκηση 2
    • 3.3 Άσκηση 3
  • 4 Αναφορές

Τι είναι το θεώρημα του Varignon;?

Ο Varignon ισχυρίστηκε ότι ένα σχήμα που ορίζεται από τα μεσαία σημεία ενός τετράπλευρου θα οδηγεί πάντοτε σε ένα παραλληλόγραμμο και η περιοχή αυτού θα είναι πάντα η μισή περιοχή του τετράπλευρου εάν είναι επίπεδη και κυρτή. Για παράδειγμα:

Στο σχήμα μπορούμε να δούμε ένα τετράπλευρο με μια περιοχή Χ, όπου τα μεσαία σημεία των πλευρών αντιπροσωπεύονται από Ε, Γ, Γ και Η και, όταν ενωθούν, σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Η περιοχή του τετράπλευρου θα είναι το άθροισμα των περιοχών των τριγώνων που σχηματίζονται και το ήμισυ αυτού αντιστοιχεί στην περιοχή του παραλληλογράμμου.

Δεδομένου ότι η περιοχή του παραλληλογράμμου είναι το ήμισυ της περιοχής του τετράπλευρου, μπορεί να προσδιοριστεί η περίμετρος αυτού του παραλληλογράμμου.

Έτσι, η περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων του τετράπλευρου. αυτό συμβαίνει επειδή το διάμεσο του τετράπλευρου θα είναι οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου.

Από την άλλη πλευρά, αν τα μήκη των διαγωνίων του τετράπλευρου είναι ακριβώς τα ίδια, το παραλληλόγραμμο θα είναι ένα διαμάντι. Για παράδειγμα:

Από την εικόνα μπορεί να φανεί ότι, με τη σύνδεση των μέσων σημείων των πλευρών του τετράπλευρου, αποκτάται ρομπότ. Από την άλλη πλευρά, αν οι διαγώνιες του τετράπλευρου είναι κάθετες, το παραλληλόγραμμο θα είναι ένα ορθογώνιο.

Επίσης, το παραλληλόγραμμο θα είναι τετράγωνο όταν το τετράπλευρο έχει τις διαγώνιες με το ίδιο μήκος και είναι επίσης κάθετο.

Το θεώρημα όχι μόνο εκπληρώνεται σε επίπεδα τετράδα, αλλά υλοποιείται και σε χωρική γεωμετρία ή σε μεγάλες διαστάσεις. δηλαδή σε εκείνα τα τετράποδα που δεν είναι κυρτά. Ένα παράδειγμα αυτού μπορεί να είναι ένα οκτάεδρο, όπου τα μεσαία σημεία είναι τα κεντροειδή του κάθε προσώπου και σχηματίζουν ένα παραλληλεπίπεδο.

Με αυτό τον τρόπο, με την ένωση των μεσαίων σημείων διαφορετικών μορφών, μπορούν να ληφθούν παράλληλα γραφήματα. Ένας απλός τρόπος για να εξακριβώσετε αν αυτό είναι πραγματικά αλήθεια είναι ότι οι αντίθετες πλευρές πρέπει να είναι παράλληλες όταν επεκτείνονται.

Παραδείγματα

Πρώτο παράδειγμα

Παράταση των αντίθετων πλευρών για να δείξει ότι πρόκειται για ένα παραλληλόγραμμο:

Δεύτερο παράδειγμα

Συνδυάζοντας τα μεσαία σημεία ενός διαμαντιού αποκτάμε ένα ορθογώνιο:

Το θεώρημα χρησιμοποιείται στην ένωση σημείων που ευρίσκονται στη μέση των πλευρών ενός τετράπλευρου και μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί και για άλλους τύπους σημείων, όπως σε ένα τρισέστατο, πενταπλάσιο ή ακόμα και έναν άπειρο αριθμό τμημάτων ( nth), προκειμένου να χωρίσουν τις πλευρές οποιουδήποτε τετράπλευρου σε τμήματα που είναι ανάλογα.

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Έχουμε στην εικόνα ένα τετράπλευρο ABCD της περιοχής Ζ, όπου τα μεσαία σημεία των πλευρών αυτού είναι το PQSR. Ελέγξτε ότι σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο του Varignon.

Λύση

Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι κατά την ένωση των σημείων PQSR σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο του Varignon, ακριβώς επειδή στη δήλωση δίδονται τα μεσαία σημεία ενός τετράπλευρου.

Για να το δείξουμε αυτό, τα μεσαία σημεία PQSR είναι ενωμένα, έτσι μπορεί να φανεί ότι σχηματίζεται ένα άλλο τετράπλευρο. Για να δείξετε ότι πρόκειται για ένα παραλληλόγραμμο, πρέπει απλώς να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή από το σημείο C στο σημείο Α, έτσι ώστε να μπορείτε να δείτε ότι η CA είναι παράλληλη με την PQ και την RS.

Ομοίως, με την επέκταση των πλευρών PQRS μπορεί να σημειωθεί ότι οι PQ και RS είναι παράλληλες, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Άσκηση 2

Έχει ένα ορθογώνιο έτσι ώστε τα μήκη όλων των πλευρών του να είναι ίσα. Όταν ενώνει τα μεσαία σημεία αυτών των πλευρών σχηματίζεται ένα ρομβο ABCD, το οποίο χωρίζεται από δύο διαγώνιες AC = 7cm και BD = 10cm, οι οποίες συμπίπτουν με τις μετρήσεις των πλευρών του ορθογωνίου. Προσδιορίστε τις περιοχές διαμαντιού και ορθογωνίου.

Λύση

Υπενθυμίζοντας ότι η περιοχή του προκύπτοντος παραλληλογράμμου είναι το ήμισυ του τετράπλευρου, μπορείτε να προσδιορίσετε την περιοχή αυτών γνωρίζοντας ότι το μέτρο των διαγωνίων συμπίπτει με τις πλευρές του ορθογωνίου. Έτσι πρέπει να:

AB = D

CD = d

Αορθογώνιο = (ΑΒ * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Αρομπότ = A ορθογώνιο / 2

Αρομπότ = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Άσκηση 3

Έχουμε στην εικόνα ένα τετράπλευρο που έχει την ένωση των σημείων EFGH, δίνονται τα μήκη των τμημάτων. Προσδιορίστε αν η σύνδεση του EFGH είναι παράλληλο.

ΑΒ = 2.4 CG = 3.06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3.94 ΗΑ = 2.77

Λύση

Δεδομένου του μήκους των τμημάτων, είναι δυνατόν να εξακριβωθεί αν υπάρχει αναλογικότητα μεταξύ των τμημάτων. δηλαδή, μπορούμε να γνωρίζουμε εάν αυτές είναι παράλληλες, συνδέοντας τα τμήματα του τετράπλευρου με τον ακόλουθο τρόπο:

- ΑΕ / ΕΒ = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Στη συνέχεια ελέγχεται η αναλογικότητα, δεδομένου ότι:

AE / EB = ΑΗ / ΗΟ = CF / FB = CG / GD

Ομοίως, όταν σχεδιάζουμε μια γραμμή από το σημείο Β στο σημείο Δ, μπορούμε να δούμε ότι η ΕΗ είναι παράλληλη με την BD, ακριβώς όπως η BD είναι παράλληλη με την FG. Από την άλλη πλευρά, το EF είναι παράλληλο με το GH.

Με τον τρόπο αυτό μπορεί να διαπιστωθεί ότι το EFGH είναι ένα παραλληλόγραμμο, επειδή οι αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες.

Αναφορές

  1. Ανδρες, Τ. (2010). Μαθηματική Ολυμπιάδα Tresure. Springer. Νέα Υόρκη.
  2. Barbosa, J.L. (2006). Επίπεδη Ευκλείδεια Γεωμετρία. SBM. Ρίο ντε Τζανέιρο.
  3. Howar, Ε. (1969). Μελέτη Γεωμετρικών Μελετών. Μεξικό: Ισπανόφωνος - Αμερικανός.
  4. Ramo, G. Ρ. (1998). Άγνωστες λύσεις στα προβλήματα του Fermat-Torricelli. ISBN - Ανεξάρτητη εργασία.
  5. Vera, F. (1943). Στοιχεία Γεωμετρίας. Μπογκοτά.
  6. Villiers, Μ. (1996). Ορισμένες Περιπέτειες στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Νότια Αφρική.