Μερίδιο:
Θεώρημα Θάλεων της Μιλήτου Πρώτον, Δεύτερο και Παραδείγματα
Το πρώτο και το δεύτερο Θεώρημα του Θάλεϊ της Μιλήτου βασίζονται σε προσδιοριστικά τρίγωνα από άλλα παρόμοια (πρώτο θεώρημα) ή περιφέρειες (δεύτερο θεωρητικό). Είναι πολύ χρήσιμα σε διάφορους τομείς. Για παράδειγμα, το πρώτο θεώρημα αποδείχθηκε πολύ χρήσιμο για τη μέτρηση μεγάλων δομών όταν δεν υπήρχαν εξελιγμένα όργανα μέτρησης.
Ο Θάλης της Μιλήτου ήταν Έλληνας μαθηματικός, ο οποίος έδωσε μεγάλη συμβολή στη γεωμετρία, από την οποία ξεχωρίζουν τα δύο αυτά θεωρήματα (σε ορισμένα κείμενα γράφουν επίσης ως Thales) και τις χρήσιμες εφαρμογές τους. Αυτά τα αποτελέσματα έχουν χρησιμοποιηθεί σε όλη την ιστορία και έχουν επιτρέψει την επίλυση μιας ευρείας ποικιλίας γεωμετρικών προβλημάτων.
Ευρετήριο
- 1 Πρώτο Θεώρημα Παραμυθιών
- 1.1 Εφαρμογή
- 1.2 Παραδείγματα
- 2 Δεύτερο θεώρημα των ιστοριών
- 2.1 Εφαρμογή
- 2.2 Παράδειγμα
- 3 Αναφορές
Πρώτο θεώρημα των ιστοριών
Το πρώτο θεώρημα των ιστοριών είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο το οποίο, μεταξύ άλλων, επιτρέπει την κατασκευή ενός τριγώνου παρόμοιου με ένα άλλο, γνωστό στο παρελθόν. Από εδώ προέρχονται διάφορες εκδοχές του θεωρήματος που μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλαπλά περιβάλλοντα.
Πριν δώσετε τη δήλωσή σας, θυμηθείτε κάποιες έννοιες ομοιότητας των τριγώνων. Ουσιαστικά, δύο τρίγωνα είναι παρόμοια αν οι γωνίες τους συμφωνούν (έχουν το ίδιο μέτρο). Αυτό δημιουργεί το γεγονός ότι, αν δύο τρίγωνα είναι παρόμοια, οι αντίστοιχες πλευρές τους (ή ομόλογα) είναι ανάλογες.
Το πρώτο θεώρημα του Thales δηλώνει ότι εάν σε ένα δεδομένο τρίγωνο μια ευθεία γραμμή έχει σχεδιαστεί παράλληλα με οποιαδήποτε από τις πλευρές του, το νέο τρίγωνο που λαμβάνεται θα είναι παρόμοιο με το αρχικό τρίγωνο.
Μπορείτε επίσης να πάρετε μια σχέση μεταξύ των γωνιών που σχηματίζονται, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εφαρμογή
Μεταξύ των πολλαπλών εφαρμογών της ξεχωρίζει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον και έχει να κάνει με έναν από τους τρόπους με τους οποίους πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις μεγάλων δομών στην αρχαιότητα, του χρόνου στον οποίο έζησε ο Thales και στον οποίο δεν υπήρχαν οι σύγχρονες συσκευές μέτρησης. υπάρχουν τώρα.
Λέγεται ότι αυτός ήταν ο τρόπος με τον οποίο ο Thales κατάφερε να μετρήσει την υψηλότερη πυραμίδα στην Αίγυπτο, τον Cheops. Για αυτό, ο Thales υποθέτει ότι οι αντανακλάσεις των ηλιακών ακτίνων άγγιζαν το έδαφος σχηματίζοντας παράλληλες γραμμές. Κάτω από αυτή την υπόθεση, έσφιξε μια ράβδο ή ζαχαροκάλαμο κάθετα στο έδαφος.
Στη συνέχεια χρησιμοποίησε την ομοιότητα των δύο προκύπτουν τρίγωνα, εκείνο που σχηματίζεται από το μήκος της σκιάς της πυραμίδας (που μπορεί εύκολα να υπολογιστεί) και το ύψος της πυραμίδας (άγνωστη), και η άλλη σχηματίζεται από τα μήκη της σκιάς και το ύψος της ράβδου (η οποία επίσης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί).
Χρησιμοποιώντας την αναλογικότητα μεταξύ αυτών των μηκών, μπορείτε να καθαρίσετε και να γνωρίσετε το ύψος της πυραμίδας.
Αν και η μέθοδος μέτρησης μπορεί να ρίξει ένα σφάλμα σημαντική προσέγγιση σχετικά με την ακρίβεια του ύψους και εξαρτάται από τον παραλληλισμό των ηλιακών ακτίνων (η οποία με τη σειρά της εξαρτάται από την ακριβή ώρα), πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι πρόκειται για μια πολύ έξυπνη ιδέα και παρείχε μια καλή εναλλακτική λύση για τη μέτρηση του χρόνου.
Παραδείγματα
Βρείτε την τιμή του x σε κάθε περίπτωση:
Λύση
Εδώ έχουμε δύο γραμμές που κόβονται από δύο παράλληλες γραμμές. Από το πρώτο Θεώρημα του Thales κάποιος έχει ότι οι αντίστοιχες πλευρές του είναι ανάλογες. Συγκεκριμένα:
Λύση
Εδώ έχουμε δύο τρίγωνα, ένα από αυτά σχηματίζεται από ένα τμήμα παράλληλο προς μία από τις πλευρές του άλλου (ακριβώς την πλευρά του μήκους χ). Με το πρώτο θεώρημα των Ιστοριών πρέπει να:
Δεύτερο Θεώρημα των Ιστοριών
Το δεύτερο θεώρημα του Thales καθορίζει ένα ορθογωνικό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε μια περιφέρεια σε κάθε σημείο του ιδίου.
Ένα τρίγωνο που είναι εγγεγραμμένο σε μια περιφέρεια είναι ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στην περιφέρεια,.
Συγκεκριμένα, η δεύτερη θεώρημα Τέτοιες καταστάσεις: δοθεί μια περιφέρεια του κέντρου Ο και διάμετρο AC, κάθε σημείο Β της περιφέρειας (εκτός από Α και C) καθορίζει ένα τρίγωνο ABC με ορθή γωνία Ως δικαιολογία, σημειώστε ότι τόσο η ΟΑ όσο και η OB και OC αντιστοιχούν στην ακτίνα της περιφέρειας. Επομένως, οι μετρήσεις τους είναι οι ίδιες. Από εκεί προκύπτει ότι τα τρίγωνα OAB και OCB είναι ισοσκελές, όπου Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 °. Χρησιμοποιώντας αυτό με το τρίγωνο ABC πρέπει να: 2b + 2a = 180 °. Αντίστοιχα, έχουμε ότι b + a = 90º και b + a = Σημειώστε ότι το σωστό τρίγωνο που παρέχεται από το δεύτερο θεώρημα Thales είναι ακριβώς εκείνο του οποίου η υποτείνουσα είναι ίση με τη διάμετρο της περιφέρειας. Επομένως, καθορίζεται πλήρως από το ημικύκλιο που περιέχει τα σημεία του τριγώνου. στην περίπτωση αυτή, το άνω ημικύκλιο. Σημειώστε επίσης ότι στο δεξιό τρίγωνο που αποκτήθηκε με το δεύτερο θεώρημα Thales, η υποτείνουσα διαιρείται σε δύο ίσα μέρη με την ΟΑ και την OC (την ακτίνα). Με τη σειρά του, αυτό το μέτρο είναι ίσο με το τμήμα OB (και την ακτίνα), που αντιστοιχεί στο διάμεσο του τριγώνου ABC από το Β. Με άλλα λόγια, το μήκος της διάμεσης του ορθού τριγώνου ABC που αντιστοιχεί στην κορυφή Β καθορίζεται πλήρως από το μισό της υποτείνουσας. Θυμηθείτε ότι το διάμεσο ενός τριγώνου είναι το τμήμα από μία από τις κορυφές στο μέσον της αντίθετης πλευράς. στην περίπτωση αυτή, το τμήμα BO. Ένας άλλος τρόπος να δούμε το δεύτερο θεώρημα Thales είναι μέσω ενός κύκλου που περιγράφεται σε ένα ορθό τρίγωνο. Γενικά, ένας κύκλος περιγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο αποτελείται από την περιφέρεια που διέρχεται από κάθε κορυφή του, όποτε είναι δυνατόν να το εντοπίσουμε. Ι χρησιμοποιώντας το δεύτερο θεώρημα Τέτοιες δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε ένα περιγεγραμμένο σε αυτό, της ακτίνας ίση με το μισό της υποτείνουσας και περίκεντρο (το κέντρο του κύκλου) ως το μέσο της υποτείνουσας. Μια πολύ σημαντική εφαρμογή του δεύτερου θεωρήματος των ιστοριών, και ίσως η πιο χρησιμοποιούμενη, είναι να βρούμε τις εφαπτόμενες γραμμές σε μια δεδομένη περιφέρεια, από ένα σημείο Ρ εξωτερικό προς αυτό (το γνωστό). Σημειώστε ότι δίνεται μια περιφέρεια (που στην μπλε στο παρακάτω σχήμα) και ένα εξωτερικό σημείο Ρ, υπάρχουν δύο εφαπτόμενες το πέρασμα περιφέρεια μέσω P. Sean Τ και Τ «τα σημεία επαφής, r την ακτίνα του κύκλου και ή το κέντρο. Είναι γνωστό ότι το τμήμα που πηγαίνει από το κέντρο ενός κύκλου σε ένα σημείο επαφής του, είναι κάθετο σε αυτή την εφαπτόμενη γραμμή. Στη συνέχεια, η γωνία OTP είναι ευθεία. Από αυτό που είδαμε προηγουμένως στο πρώτο θεώρημα Thales και τις διάφορες εκδοχές του, βλέπουμε ότι είναι δυνατόν να εγγραφεί το τρίγωνο OTP σε άλλη περιφέρεια (με κόκκινο χρώμα). Ανάλογα λαμβάνεται ότι το τρίγωνο OT'P μπορεί να εγγραφεί μέσα στην ίδια προηγούμενη περιφέρεια. Για το δεύτερο θεώρημα Επιπλέον Τέτοια παίρνουμε το νέο κύκλο διαμέτρου είναι ακριβώς η υποτείνουσα του τριγώνου OTP (η οποία είναι ίση με την υποτείνουσα του τριγώνου OT'P), και το κέντρο είναι το μέσο της υποτείνουσας. Για να υπολογίσουμε το κέντρο της νέας περιφέρειας, αρκεί να υπολογίσουμε το μέσον μεταξύ του κεντρικού άκρου - πούμε Μ - της αρχικής περιφέρειας (που ήδη γνωρίζουμε) και του σημείου P (το οποίο επίσης γνωρίζουμε). Στη συνέχεια, η ακτίνα θα είναι η απόσταση μεταξύ αυτού του σημείου M και P. Με την ακτίνα και το κέντρο του κόκκινου κύκλου μπορούμε να βρούμε την καρτεσιανή εξίσωσή της, την οποία θυμόμαστε δίνεται από (x-h)2 + (γ-κ)2 = γ2, όπου c είναι η ακτίνα και το σημείο (h, k) είναι το κέντρο του κύκλου. Γνωρίζοντας τώρα τις εξισώσεις και των δύο περιφερειών, μπορούμε να τις διασταυρώσουμε λύοντας το σύστημα των εξισώσεων που σχηματίζονται από αυτά, και έτσι αποκτώντας τα σημεία επαφής T και T '. Τέλος, για να γνωρίζουμε τις επιθυμητές εφαπτόμενες γραμμές, αρκεί να βρούμε την εξίσωση των ευθειών γραμμών που διέρχονται από το Τ και το Ρ και από τις Τ 'και Ρ. Εξετάστε μια περιφέρεια διαμέτρου AC, κέντρο O και ακτίνα 1 cm. Έστω B ένα σημείο στην περιφέρεια έτσι ώστε ΑΒ = AC. Πόσο μετράει το AB;? Από το δεύτερο θεώρημα Thales έχουμε ότι το τρίγωνο ABC είναι ένα ορθογώνιο και η hypotenuse αντιστοιχεί στη διάμετρο, η οποία στην περίπτωση αυτή μετρά 2 cm (η ακτίνα είναι 1 cm). Στη συνέχεια, από το Πυθαγόρειο θεώρημα πρέπει:
Περιορισμένη περιφέρεια
Εφαρμογή
Παράδειγμα
Λύση
Αναφορές