Θεώρημα Moivre για το τι συνίσταται, επίδειξη και επιλυμένες ασκήσεις

Το Θεώρημα Moivre εφαρμόζει τις θεμελιώδεις διαδικασίες της άλγεβρας, όπως οι εξουσίες και η εξόρυξη των ριζών σε σύνθετους αριθμούς. Το θεώρημα διατυπώθηκε από τον διάσημο γαλλικό μαθηματικό Abraham de Moivre (1730), ο οποίος συνέδεσε πολύπλοκους αριθμούς με τριγωνομετρία.

Αβραάμ Moivre κάνει αυτή τη συσχέτιση με τις εκφράσεις του ημιτόνου και συνημιτόνου. Αυτό το είδος του μαθηματικού τύπου που δημιουργούνται μέσω των οποίων είναι δυνατόν να θέσω ένα μιγαδικό αριθμό z στο n δύναμη, η οποία είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος 1.

Ευρετήριο

• 1 Ποιο είναι το θεώρημα Moivre;?
• 2 Επίδειξη
  • 2.1 Επαγωγική βάση
  • 2.2 Επαγωγική υπόθεση
  • 2.3 Έλεγχος
  • 2.4 Αρνητικός ακέραιος αριθμός
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Υπολογισμός των θετικών δυνάμεων
  • 3.2 Υπολογισμός των αρνητικών δυνάμεων
• 4 Αναφορές

Ποιο είναι το θεώρημα Moivre;?

Το θεώρημα Moivre δηλώνει τα εξής:

Αν έχετε έναν περίπλοκο αριθμό στην πολική μορφή z = r_Τυ, όπου το r είναι ο συντελεστής του μιγαδικού αριθμού z και η γωνία ɵ ονομάζεται πλάτος ή επιχειρήματος οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού με 0 ≤ ɵ ≤ 2π, για τον υπολογισμό του n-th δύναμη δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάζεται με το ίδιο Ν-φορές? δηλαδή, δεν είναι απαραίτητο να κάνετε το ακόλουθο προϊόν:

Ζⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ń *} r_{Ń *} r_{Τυ * ... *} r_Τυ   n-φορές.

Αντίθετα, το θεώρημα λέει ότι γραπτώς z στην τριγωνομετρική μορφή της, για τον υπολογισμό του n-οστή δύναμη εργαζόμαστε ως εξής:

Αν z = r (cos Ń + i _* sin Ń) τότε zⁿ = rⁿ (cos n * t + i _* sin n * Ń).

Για παράδειγμα, αν n = 2, τότε z² = r²[cos 2 (þ) + i sin 2 (þ)]. Αν έχετε n = 3, τότε z³ = z² _* z. Επιπλέον:

z³ = r²[cos 2 (t) + i sin 2 (t)] _* r [cos 2 (þ) + i sin 2 (þ)] = r³[cos 3 (t) + i sin 3 (t)].

Με αυτό τον τρόπο, οι τριγωνομετρικές αναλογίες του ημιτονοειδούς και του συνημιτονίου μπορούν να ληφθούν για πολλαπλάσια γωνίας, εφόσον είναι γνωστές οι τριγωνομετρικές αναλογίες της γωνίας..

Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε ακριβέστερες και λιγότερο συγκεχυμένες εκφράσεις για την nη ρίζα ενός σύνθετου αριθμού z, έτσι ώστε zⁿ = 1.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα του Moivre χρησιμοποιείται η αρχή της μαθηματικής επαγωγής: εάν ένας ακέραιος «α» έχει μια ιδιότητα «Ρ», και αν για οποιονδήποτε ακέραιο «η» μεγαλύτερο από «ένα» που έχει την ιδιότητα «Ρ» είναι υποστηρίζει ότι n + 1 έχει επίσης το «Ρ» στη συνέχεια όλους τους αριθμούς μεγαλύτερο από ή ίσο ακέραιοι «α» έχουν το ακίνητο «P» ανήκει.

Επίδειξη

Με αυτόν τον τρόπο, η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται με τα ακόλουθα βήματα:

Επαγωγική βάση

Πρώτα ελέγξτε για n = 1.

Όπως το z¹ = (r (cos ı + i _* sen Ń))¹ = r¹ (cos ı + i _* sen Ń)¹ = r¹ [cos (1_* Ń) + i _* sen (1_* Þ)], έχουμε ότι για το n = 1 το θεωρήματα πληρούται.

Επαγωγική υπόθεση

Θεωρούμε ότι ο τύπος είναι αληθής για κάποιο θετικό ακέραιο, δηλαδή, n = k.

z^k = (r (cos ı + i _* sen Ń))^k  = r^k (cos k t + i _* sen k Ń).

Έλεγχος

Αποδεικνύεται ότι ισχύει για n = k + 1.

Όπως το z^{k + 1}= z^k _* z, τότε z^{k + 1} = (r (cos ı + i _* sen Ń))^{k + 1} = r^k (cos kt + i _* sen kı) _*  r (cos þ + i_* senı).

Στη συνέχεια οι εκφράσεις πολλαπλασιάζονται:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kt)_*(συν) + (συν kt)_*(ί_*senı) + (ί _* sen kı)_*(costi) + (ί _* sen kı)_*(ί_* senı)).

Για μια στιγμή ο παράγοντας r αγνοείται^{k + 1},  και ο κοινός παράγοντας i αφαιρείται:

(cos kt)_*(συν) + i (cos k)_*(sin t) + i (sen k t)_*(costi) + i²(sen kıts)_*(sen).

Πώς εγώ² = -1, την αντικαθιστούμε στην έκφραση και παίρνουμε:

(cos kt)_*(συν) + i (cos k)_*(sin t) + i (sen k t)_*(κοστί) - (sen kı)_*(sen).

Τώρα το πραγματικό και το φανταστικό μέρος διατάσσονται:

(cos kt)_*(κοστί) - (sen kı)_*(sin t) + i [(sen k t)_*(συν) + (συν kt)_*(senti)].

Για την απλοποίηση της έκφρασης εφαρμόζονται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες του αθροίσματος γωνιών για το συνημίτονο και το ημίτονο, οι οποίες είναι:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen Β.

sen (Α + Β) = sin Α _* cos B - cos A _* cos B.

Σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές είναι οι γωνίες τυ και kτ. Εφαρμόζοντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες, έχουμε:

cos kτ _* costi -  sen kτη _* senı = cos (kı + Ń)

sen kτη _* cosnt + cos kt _* senı = sen (kı + Ń)

Με αυτόν τον τρόπο, η έκφραση παραμένει:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kı + Ń) + i _* sen (k t + t))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) þ] + i _* sen ((k + 1))).

Έτσι μπορεί να φανεί ότι το αποτέλεσμα ισχύει για n = k + 1. Με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, συμπεραίνεται ότι το αποτέλεσμα ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς. δηλαδή, n ≥ 1.

Ακεραίο αρνητικό

Το θεώρημα Moivre εφαρμόζεται επίσης όταν n ≤ 0. Θεωρήστε έναν αρνητικό ακέραιο "n". τότε "n" μπορεί να γραφτεί ως "-m", δηλαδή, n = -m, όπου "m" είναι θετικός ακέραιος. Επομένως:

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = (cos ı + i _* sen Ń) ^-m

Για να αποκτήσουμε θετικά τον εκθέτη "m", η έκφραση γράφεται αντίστροφα:

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = 1 ÷ (cos Ń + i _* sen Ń) ^m

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = 1 ÷ (cos mτ + i _* sen mτη)

Τώρα, χρησιμοποιείται ότι αν z = a + b * i είναι ένας σύνθετος αριθμός, τότε 1 ÷ z = a-b * i. Επομένως:

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = cos (mτ) - i _* sen (mτ).

Χρησιμοποιώντας το cos (x) = cos (-x) και το -sen (x) = sin (-x), πρέπει:

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = [cos (mτ) - i _* sen (mτ)]

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = cos (- mτ) + i _* sen (-mτ)

(cos ı + i _* sen Ń)ⁿ = cos (nt) - i _* sen (nt).

Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να πούμε ότι το θεώρημα ισχύει σε όλες τις ακέραιες τιμές του "n".

Επιλυμένες ασκήσεις

Υπολογισμός των θετικών δυνάμεων

Μια από τις πράξεις με σύνθετους αριθμούς στην πολική της μορφή είναι ο πολλαπλασιασμός μεταξύ δύο αυτών. στην περίπτωση αυτή οι ενότητες πολλαπλασιάζονται και προστίθενται τα επιχειρήματα.

Αν έχετε δύο σύνθετους αριθμούς z₁ και ζ₂ και θέλετε να υπολογίσετε (z₁* z₂)², Στη συνέχεια, ακολουθούμε τα εξής:

z₁z₂ = [r₁ (cos þ₁ + i _* sen þ₁)] * [r₂ (cos þ₂ + i _* sen þ₂)]

Η διανεμητική ιδιοκτησία εφαρμόζεται:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos þ_{1 *} cos þ₂ + i _* cos þ_{1 *} i _* sen þ₂ + i _* sen þ_{1 *} cos þ₂ + i²_* sen þ_{1 *} sen þ₂).

Ομαδοποιούνται, λαμβάνοντας τον όρο "i" ως κοινό παράγοντα έκφρασης:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos þ_{1 *} cos þ₂ + i (cos þ_{1 *} sen þ₂ + sen þ_{1 *} cos þ₂) + i²_* sen þ_{1 *} sen þ₂]

Πώς εγώ² = -1, αντικαθίσταται στην έκφραση:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos þ_{1 *} cos þ₂ + i (cos þ_{1 *} sen þ₂ + sen þ_{1 *} cos þ₂) - sen þ_{1 *} sen þ₂]

Οι πραγματικοί όροι ανασυγκροτούνται με πραγματικούς και φανταστικούς με φανταστικό:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos þ_{1 *} cos þ₂ - sen þ_{1 *} sen þ₂) + i (cos þ_{1 *} sen þ₂ + sen þ_{1 *} cos þ₂)]

Τέλος, εφαρμόζονται οι τριγωνομετρικές ιδιότητες:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (τ₁ + Τυ₂) + i sen (ť₁ + Τυ₂)].

Συμπερασματικά:

(ζ₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (τ₁ + Τυ₂) + i sen (ť₁ + Τυ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (þ₁ + Τυ₂) + i sen 2 * (þ₁ + Τυ₂)].

Άσκηση 1

Γράψτε τον σύνθετο αριθμό σε πολική μορφή αν z = - 2 -2i. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Moivre, υπολογίστε το z⁴.

Λύση

Ο σύνθετος αριθμός z = -2 -2i εκφράζεται στην ορθογώνια μορφή z = a + bi, όπου:

α = -2.

b = -2.

Γνωρίζοντας ότι η πολική μορφή είναι z = r (cos Ń + i _* sin þ), πρέπει να προσδιορίσετε την τιμή της μονάδας "r" και την τιμή του όρου "τυ". Ως r = √ (a² + b²), αντικαθίστανται οι δεδομένες τιμές:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Στη συνέχεια, για να προσδιοριστεί η τιμή του "τυ", εφαρμόζεται η ορθογώνια μορφή αυτού, η οποία δίνεται από τον τύπο:

tan þ = b ÷ a

tan t = (-2) ÷ (-2) = 1.

Όπως το μαύρισμα (τυ) = 1 και πρέπει να<0, entonces se tiene que:

Þ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Δεδομένου ότι η τιμή των "r" και "τυ" έχει ήδη ληφθεί, ο σύνθετος αριθμός z = -2 -2i μπορεί να εκφραστεί στην πολική μορφή αντικαθιστώντας τις τιμές:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + ί _* sen (5Π / 4)).

Τώρα το θεώρημα Moivre χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5 ') + i _* sen (5π)).

Άσκηση 2

Βρείτε το προϊόν των σύνθετων αριθμών εκφράζοντάς το σε πολική μορφή:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Στη συνέχεια, υπολογίστε (z1 * z2) ².

Λύση

Αρχικά δημιουργείται το προϊόν των δεδομένων αριθμών:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τις μονάδες μαζί και προσθέστε τα επιχειρήματα:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Η έκφραση είναι απλοποιημένη:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (ί_* 150 sen^o).

Τέλος, εφαρμόζεται το Θεώρημα Moivre:

(z1 * z2) 2 = (28 _* (cos 150^o + (ί_* 150 sen^o)) = 784 (cos 300)^o + (ί_* 300 sen^o)).

Υπολογισμός των αρνητικών δυνάμεων

Για να διαιρέσετε δύο σύνθετους αριθμούς z₁ και ζ₂ στην πολική της μορφή, η ενότητα χωρίζεται και τα επιχειρήματα αφαιρούνται. Έτσι, το πηλίκο είναι z₁ ÷ z₂ και εκφράζεται ως εξής:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (θ₁- Τυ₂) + i sen (ť₁ - Τυ₂)]).

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, αν θέλετε να υπολογίσετε (z1 z2 ÷) ³ πρώτη κατηγορία γίνεται και στη συνέχεια το θεώρημα χρησιμοποιείται Moivre.

Άσκηση 3

Δεδομένου:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

υπολογίστε (z1 ÷ z2) ³.

Λύση

Ακολουθώντας τα βήματα που περιγράφονται παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

(Ζ1 z2 ÷) ³ = ((4/12) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Αναφορές

1. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
2. Croucher, Μ. (S.f.). Από το Θεώρημα Moivre για τις ταυτότητες Trig. Πρόγραμμα επίδειξης Wolfram.
3. Hazewinkel, Μ. (2001). Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών.
4. Max Peters, W.L. (1972). Άλγεβρα και τριγωνομετρία.
5. Pérez, C.D. (2010). Εκπαίδευση Pearson.
6. Stanley, G. (s.f.). Γραμμική άλγεβρα Graw-Hill.
7. , Μ. (1997). Precalculus Εκπαίδευση Pearson.