Θεώρημα του Lamy (με επιλυμένες ασκήσεις)

Το Θεώρημα Lamy διαπιστώνει ότι όταν ένα άκαμπτο σώμα βρίσκεται σε ισορροπία και στη δράση τριών ομοεπίπεδων δυνάμεων (δυνάμεων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο), οι γραμμές δράσης του συμπίπτουν στο ίδιο σημείο.

Το θεώρημα προέκυψε από το γαλλικό φυσικό και θρησκευόμενο Bernard Lamy και προέκυψε από το νόμο των μαστών. Χρησιμοποιείται πολύ για να βρει την τιμή μιας γωνίας, της γραμμής δράσης μιας δύναμης ή για να σχηματίσει το τρίγωνο των δυνάμεων.

Ευρετήριο

• 1 Θεώρημα Lamy
• 2 Η άσκηση λυθεί
  • 2.1 Λύση
• 3 Αναφορές

Το Θεώρημα του Lamy

Το θεώρημα δηλώνει ότι προκειμένου να εκπληρωθεί η κατάσταση ισορροπίας, οι δυνάμεις πρέπει να είναι ομοεπίπεδες. δηλαδή, το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σημείο είναι μηδέν.

Επιπλέον, όπως παρατηρείται στην ακόλουθη εικόνα, εκπληρώνεται ότι όταν παρατείνονται οι γραμμές δράσης αυτών των τριών δυνάμεων, συμφωνούν σε ένα ίδιο σημείο.

Έτσι, αν τρεις δυνάμεις που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι ταυτόχρονες, το μέγεθος κάθε δύναμης θα είναι ανάλογο με το ημίτονο της αντίθετης γωνίας, που σχηματίζονται από τις άλλες δύο δυνάμεις.

Έχουμε λοιπόν ότι το Τ1, ξεκινώντας από το ημίτονο του α, είναι ίσο με την αναλογία του Τ2 / β, που με τη σειρά του είναι ίση με την αναλογία Τ3 / τ, δηλαδή:

Συνεπώς, οι ενότητες αυτών των τριών δυνάμεων πρέπει να είναι ίσες εάν οι γωνίες που σχηματίζουν κάθε ζεύγος δυνάμεων είναι ίσες με 120 °.

Υπάρχει πιθανότητα μια από τις γωνίες να είναι αμβλεία (μέτρο μεταξύ 90 °⁰ και 180⁰). Σε αυτή την περίπτωση το ημίτονο αυτής της γωνίας θα είναι ίσο με το ημίτονο της συμπληρωματικής γωνίας (στο ζευγάρι του μετρά 180⁰).

Αποφασισμένη άσκηση

Υπάρχει ένα σύστημα που σχηματίζεται από δύο μπλοκ J και K, που κρέμονται από αρκετές χορδές που σχηματίζουν γωνίες σε σχέση με την οριζόντια, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα είναι σε ισορροπία και το μπλοκ J ζυγίζει 240 Ν. Προσδιορίστε το βάρος του μπλοκ K.

Λύση

Με την αρχή της δράσης και της αντίδρασης είναι ότι οι εντάσεις που ασκούνται στα μπλοκ 1 και 2 θα είναι ίσες με το βάρος αυτών.

Τώρα ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος κατασκευάζεται για κάθε μπλοκ και προσδιορίζει έτσι τις γωνίες που απαρτίζουν το σύστημα.

Είναι γνωστό ότι το σχοινί που πηγαίνει από Α σε Β έχει γωνία 30⁰ , έτσι ώστε η γωνία που το συμπληρώνει να είναι ίση με 60⁰ . Με αυτόν τον τρόπο φτάνετε στα 90⁰.

Από την άλλη πλευρά, όπου βρίσκεται το σημείο Α, υπάρχει γωνία 60⁰ σε σχέση με την οριζόντια. τη γωνία μεταξύ της κάθετης και της Τ_Α θα είναι = 180⁰ - 60⁰ - 90⁰ = 30⁰.

Έτσι, λαμβάνεται ότι η γωνία μεταξύ ΑΒ και BC = (30⁰ + 90⁰ + 30⁰) και (60)⁰ + 90⁰ + 60) = 150⁰ και 210⁰. Κατά την άθροιση επαληθεύεται ότι η συνολική γωνία είναι 360⁰.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα Lamy πρέπει:

Τ_Π.Χ./ sen 150⁰ = Ρ_Α/ sen 150⁰

Τ_Π.Χ. = Ρ_Α

Τ_Π.Χ. = 240Ν.

Στο σημείο C, όπου το μπλοκ είναι, έχουμε τη γωνία μεταξύ της οριζόντιας και της συμβολοσειράς BC είναι 30⁰, έτσι ώστε η συμπληρωματική γωνία να είναι ίση με 60⁰.

Από την άλλη πλευρά, έχετε μια γωνία 60⁰ στο σημείο CD. τη γωνία μεταξύ της κάθετης και της Τ_Γ θα είναι = 180⁰ - 90⁰ - 60⁰ = 30⁰.

Έτσι, λαμβάνεται ότι η γωνία στο μπλοκ Κ είναι = (30⁰ + 60⁰)

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Lamy στο σημείο Γ:

Τ_Π.Χ./ sen 150⁰ = B / sin 90⁰

Q = T_{BC *} 90 sen⁰ / sen 150⁰

Q = 240 Ν * 1 / 0,5

Q = 480 Ν.

Αναφορές

1. Andersen, Κ. (2008). Η Γεωμετρία μιας Τέχνης: Η Ιστορία της Μαθηματικής Θεωρίας της Προοπτικής από το Alberti στο Monge. Springer Science & Business Media.
2. Ferdinand Ρ. Beer, Ε. R. (2013). Μηχανική για μηχανικούς, στατική. McGraw-Hill Interamericana.
3. Francisco Español, J.C. (2015). Επίλυση προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας. Ediciones Paraninfo, S.A..
4. Graham, J. (2005). Δύναμη και κίνηση Houghton Mifflin Harcourt.
5. Harpe, Ρ. Δ. (2000). Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων. Πανεπιστήμιο του Chicago Press.
6. Ρ. Tipler και G. Μ. (2005). Φυσική για την επιστήμη και την τεχνολογία. Τόμος Ι. Βαρκελώνη: Reverté S.A..