Θεωρία Θεωρήματος του Euclid, Διαδήλωση, Εφαρμογή και Ασκήσεις

Το Θεώρημα του Ευκλείδη καταδεικνύει τις ιδιότητες ενός ορθού τριγώνου, σχεδιάζοντας μια γραμμή που το χωρίζει σε δύο νέα δίκαια τρίγωνα που είναι παρόμοια μεταξύ τους και με τη σειρά τους είναι παρόμοια με το αρχικό τρίγωνο. τότε υπάρχει μια σχέση αναλογικότητας.

Ο Ευκλείδης ήταν ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς και γεωμετρικούς της αρχαίας εποχής που έκανε διάφορες διαδηλώσεις σημαντικών θεωρημάτων. Ένας από τους κυριότερους είναι αυτός που φέρει το όνομά του, το οποίο είχε ευρεία εφαρμογή.

Αυτό συνέβη επειδή, μέσα από αυτό το θεώρημα, εξηγεί με απλό τρόπο τις γεωμετρικές σχέσεις που υπάρχουν στο δεξιό τρίγωνο, όπου τα σκέλη αυτού σχετίζονται με τις προβολές τους στην υποτείνουσα.

Ευρετήριο

• 1 Φόρμες και επίδειξη
  • 1.1 Θεώρημα ύψους
  • 1.2 Θεώρημα των ποδιών
• 2 Σχέση μεταξύ των θεωρήματα του Euclid
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Παράδειγμα 1
  • 3.2 Παράδειγμα 2
• 4 Αναφορές

Τύποι και επίδειξη

θεώρημα του Ευκλείδη υποδηλώνει ότι όλα ορθογώνιο τρίγωνο, όταν μια γραμμή η οποία αντιπροσωπεύει το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή της δεξιάς γωνίας η προσοχή στο hipotenusa- δύο δεξιά τρίγωνα σχηματίζονται από το αρχικό.

Αυτά τα τρίγωνα θα είναι παρόμοια μεταξύ τους και θα είναι παρόμοια με το αρχικό τρίγωνο, πράγμα που σημαίνει ότι οι παρόμοιες πλευρές τους είναι ανάλογες μεταξύ τους:

Οι γωνίες των τριών τριγώνων είναι σύμφωνες. δηλαδή όταν περιστρέφεται σε 180 μοίρες στην κορυφή της, μια γωνία συμπίπτει με την άλλη. Αυτό σημαίνει ότι όλοι θα είναι ίσοι.

Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε επίσης να επαληθεύσετε την ομοιότητα που υπάρχει ανάμεσα στα τρία τρίγωνα, από την ισότητα των γωνιών τους. Από την ομοιότητα των τριγώνων, ο Ευκλείδης καθορίζει τις αναλογίες αυτών από δύο θεωρήματα:

- Θεώρημα ύψους.

- Θεώρημα των ποδιών.

Αυτό το θεώρημα έχει ευρεία εφαρμογή. Στην αρχαιότητα χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των υψών ή των αποστάσεων, που αντιπροσωπεύουν μια μεγάλη πρόοδο για την τριγωνομετρία.

Αυτή τη στιγμή εφαρμόζεται σε αρκετούς τομείς που βασίζονται σε μαθηματικά, όπως η μηχανική, η φυσική, η χημεία και η αστρονομία, μεταξύ πολλών άλλων περιοχών.

Θεώρημα ύψους

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος προέρχεται από τις ορθές γωνίες προς την υποτείνουσα είναι η γεωμετρική μέση αναλογική (το τετράγωνο του ύψους) μεταξύ των προεξοχών των σκελών καθορίζει την υποτείνουσα.

Δηλαδή, το τετράγωνο του ύψους θα είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό των προβαλλόμενων ποδιών που σχηματίζουν την υποτείνουσα:

h_γ² = m _* n

Επίδειξη

Λαμβάνοντας ένα τρίγωνο ABC, το οποίο είναι ένα ορθογώνιο στην κορυφή C, όταν σχεδιάζεται το ύψος παράγονται δύο παρόμοια δεξιά τρίγωνα, ADC και BCD. ως εκ τούτου, οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες:

Με τέτοιο τρόπο ώστε το ύψος h_γ που αντιστοιχεί στο CD τμήμα, αντιστοιχεί στην υποτείνουσα AB = c, οπότε πρέπει να:

Με τη σειρά του, αυτό αντιστοιχεί σε:

Εκκαθάριση της υποτινούσης (h_γ), για να πολλαπλασιάσετε τα δύο μέλη της ισότητας, πρέπει:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_γ² = m _* n

Έτσι, η αξία της υποτείνουσας δίνεται από:

Θεώρημα των ποδιών

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η έκταση του κάθε σκέλους είναι ανάλογη γεωμετρική μέση (τετράγωνο του κάθε ποδιού) μεταξύ του μέτρου της υποτείνουσας (πλήρης) και κάθε προεξοχής σχετικά με αυτό:

β² = γ _* m

α² = γ_* n

Επίδειξη

Με δεδομένο ένα τρίγωνο ABC, το οποίο είναι ένα ορθογώνιο στην κορυφή C, έτσι ώστε η υποτευσία του να είναι c, όταν σχεδιάζεται το ύψος (h), καθορίζονται οι προβολές των ποδιών α και b, τα οποία είναι τα τμήματα m και n αντίστοιχα. η υποτείνουσα.

Έτσι, έχουμε ότι το ύψος που σύρεται στο δεξιό τρίγωνο ABC παράγει δύο παρόμοια δεξιά τρίγωνα, ADC και BCD, έτσι ώστε οι αντίστοιχες πλευρές να είναι ανάλογες, όπως αυτό:

DB = n, η οποία είναι η προβολή του σκέλους CB στην υποτείνουσα.

AD = m, η οποία είναι η προβολή του άγκυρας AC για την υποτείνουσα.

Στη συνέχεια, η υποτείνουσα c καθορίζεται από το άθροισμα των ποδιών των προβολών της:

c = m + η

Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ADC και BCD, πρέπει:

Τα παραπάνω είναι τα ίδια με:

Με την εκκαθάριση του σκέλους "α" για να πολλαπλασιάσει τα δύο μέλη της ισότητας, πρέπει να:

α _* α = c _* n

α² = γ _* n

Έτσι, η αξία του σκέλους "α" δίνεται από:

Ομοίως, από την ομοιότητα των τριγώνων ACB και ADC, πρέπει:

Τα παραπάνω είναι ίσα με:

Με την εκκαθάριση του σκέλους "b" για τον πολλαπλασιασμό των δύο μελών της ισότητας, πρέπει να:

β _* b = c _* m

β² = γ _* m

Έτσι, η αξία του σκέλους "b" δίνεται από:

Σχέση μεταξύ των θεωρημάτων του Euclid

Τα θεωρήματα σχετικά με το ύψος και τα πόδια συνδέονται μεταξύ τους επειδή το μέτρο και των δύο γίνεται με σεβασμό προς την υποτείνουσα του ορθού τριγώνου.

Μέσω της σχέσης των θεωρημάτων του Euclid, μπορεί να βρεθεί και το ύψος του ύψους. αυτό είναι δυνατό με την εκκαθάριση των τιμών των m και n από το θεώρημα σκέλους και αντικαθίστανται στο θεώρημα ύψους. Με αυτό τον τρόπο, το ύψος είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό των ποδιών, διαιρούμενο με την υποτείνουσα:

β² = γ _* m

m = b² ÷ c

α² = γ _* n

n = α² ÷ c

Στο θεώρημα ύψους, m και n αντικαθίστανται:

h_γ² = m _* n

h_γ² = (β² ÷ γ) _* (α² ÷ γ)

h_γ = (β²_* α²) ÷ c

Επιλυμένες ασκήσεις

Παράδειγμα 1

Λαμβάνοντας υπόψη το τρίγωνο ABC, ορθογώνιο στο Α, καθορίστε το μέτρο του AC και του AD, αν AB = 30 cm και BD = 18 cm

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν μέτρα από τις προβλεπόμενες Hicks (BD) και ένα από τα πόδια του αρχικού τριγώνου (ΑΒ). Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να εφαρμόσετε το θεώρημα των ποδιών για να βρείτε την αξία του ποδιού BC.

ΑΒ² = BD _* Π.Χ.

(30)² = 18 _* Π.Χ.

900 = 18 _* Π.Χ.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Η αξία του CD cathetus μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας ότι BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Τώρα είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η τιμή του AC cathetus, εφαρμόζοντας και πάλι το θεώρημα των ποδιών:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Για τον προσδιορισμό της τιμής του ύψους (AD) εφαρμόζεται το θεώρημα ύψους, καθώς είναι γνωστές οι τιμές των προβαλλόμενων ποδιών CD και BD:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Παράδειγμα 2

Προσδιορίστε την τιμή του ύψους (h) ενός τριγώνου MNL, ορθογώνιο σε N, γνωρίζοντας τις μετρήσεις των τμημάτων:

NL = 10 cm

ΜΝ = 5 cm

ΡΜ = 2 cm

Λύση

Έχετε τη μέτρηση ενός από τα σκέλη που προβάλλονται στην υποτινούμενη (PM), καθώς και τις μετρήσεις των ποδιών του αρχικού τριγώνου. Με αυτό τον τρόπο, το θεώρημα των ποδιών μπορεί να εφαρμοστεί για να βρεθεί η τιμή του άλλου προβαλλόμενου σκέλους (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Όπως γνωρίζουμε ήδη την αξία των ποδιών και της υποτείνουσας, μέσω της σχέσης των θεωρήσεων του ύψους και των ποδιών, μπορεί να καθοριστεί η τιμή του ύψους:

NL = 10

ΜΝ = 5

LM = 20

h = (b²_* α²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Αναφορές

1. Braun, Ε. (2011). Χάος, fractals και παράξενα πράγματα. Ταμείο Οικονομικής Πολιτισμού.
2. Cabrera, V. Μ. (1974). Σύγχρονα Μαθηματικά, Τόμος 3.
3. Daniel Hernandez, D.P. (2014). Μαθήματα 3ου έτους Καράκας: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Ισπανική εγκυκλοπαίδεια: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R.P. (1886). Στοιχεία Γεωμετρίας του Euclid.
6. Guardeño, Α. (2000). Η κληρονομιά των μαθηματικών: από τον Ευκλείδη στον Νεύτωνα, οι ιδιοφυΐες μέσα από τα βιβλία του. Πανεπιστήμιο της Σεβίλλης.