Θεώρημα του Chebyshov, τι αποτελείται από εφαρμογές και παραδείγματα



Το Θεώρημα του Chebyshov (ή της ανισότητας του Chebyshov) είναι ένα από τα πιο σημαντικά κλασικά αποτελέσματα της θεωρίας της πιθανότητας. Επιτρέπει την εκτίμηση της πιθανότητας ενός συμβάντος που περιγράφεται από την άποψη μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, παρέχοντας μια διάσταση που δεν εξαρτάται από τη διανομή της τυχαίας μεταβλητής αλλά από τη διακύμανση του Χ.

Το θεώρημα το όνομά του από τη ρωσική μαθηματικός Chebyshev Pafnuty (επίσης γράφεται ως Chebychev ή Tchebycheff), ο οποίος, αν και δεν είναι η πρώτη που προφέρω αυτό το θεώρημα, ήταν ο πρώτος που θα δώσει μια επίδειξη το 1867.

Αυτή η ανισότητα, ή εκείνες που σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά τους αποκαλούνται ανισότητες Chebyshov, χρησιμοποιείται κυρίως για την προσέγγιση των πιθανοτήτων με τον υπολογισμό των διαστάσεων.

Ευρετήριο

  • 1 Από τι συνίσταται;?
  • 2 Εφαρμογές και παραδείγματα
    • 2.1 Πιθανότητες δέσμευσης
    • 2.2 Επίδειξη των θεωρημάτων ορίων
    • 2.3 Μέγεθος δείγματος
  • 3 Ανισότητες τύπου Chebyshov
  • 4 Αναφορές

Από τι συνίσταται;?

Στη μελέτη της θεωρίας της πιθανότητας συμβαίνει ότι εάν γνωρίζουμε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή - ή μαθηματική προσδοκία E (X) - και τη διαφορά Var (X), εφ 'όσον τα εν λόγω ποσά υπάρχουν. Ωστόσο, η αμοιβαιότητα δεν είναι απαραιτήτως αλήθεια.

Δηλαδή, γνωρίζοντας Ε (Χ) και Var (X) δεν μπορεί να πάρει οπωσδήποτε τη συνάρτηση κατανομής της Χ, έτσι ώστε οι ποσότητες P (| X |> k) για κάποιο k> 0, είναι πολύ δύσκολο να αποκτηθούν. Όμως, χάρη στην Chebyshev ανισότητα είναι δυνατόν να εκτιμηθεί η πιθανότητα τυχαίας μεταβλητής.

Το θεώρημα του Chebyshov μας λέει ότι αν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ πάνω από ένα χώρο δείγματος S με μια συνάρτηση πιθανότητας p και αν k> 0 τότε:

Εφαρμογές και παραδείγματα

Μεταξύ των πολλών εφαρμογών που διαθέτει το θεώρημα του Chebyshov, μπορούν να αναφερθούν τα εξής:

Οριοθέτηση πιθανοτήτων

Αυτή είναι η πιο κοινή εφαρμογή και χρησιμοποιείται για να δώσει ένα άνω φράγμα για P (| Χ-Ε (Χ) | ≥k) όπου k> 0, μόνο η διακύμανση και την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Χ, χωρίς να γνωρίζει την συνάρτηση πιθανότητας.

Παράδειγμα 1

Υποθέστε ότι ο αριθμός των προϊόντων που παράγονται σε μια εταιρεία κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο των 50.

Αν γνωρίζουμε ότι η διακύμανση μιας εβδομάδας παραγωγής είναι ίση με 25, τότε τι μπορούμε να πούμε για την πιθανότητα ότι αυτή την εβδομάδα η παραγωγή θα διαφέρει κατά περισσότερο από 10 από τον μέσο όρο?

Λύση

Εφαρμόζοντας την ανισότητα του Chebyshov πρέπει:

Από αυτό μπορούμε να αποκτήσουμε ότι η πιθανότητα ότι κατά την εβδομάδα παραγωγής ο αριθμός των αντικειμένων υπερβαίνει τα 10 έως το μέσο όρο είναι το πολύ 1/4.

Παρουσίαση των θεωρημάτων ορίων

Η ανισότητα του Chebyshov παίζει σημαντικό ρόλο στην επίδειξη των σημαντικότερων θεωρημάτων ορίων. Για παράδειγμα, έχουμε τα εξής:

Αδύναμος νόμος μεγάλων αριθμών

Ο νόμος αυτός ορίζει ότι, δεδομένης μιας ακολουθίας X1, X2, ..., Xn, ... ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών με την ίδια μέση κατανομή E (Xi) = μ και διακύμανση Var (X) = σ2, και ένα γνωστό μέσο δείγμα:

Στη συνέχεια για k> 0 πρέπει να:

Ή, ισοδύναμα:

Επίδειξη

Ας δούμε πρώτα τα εξής:

Δεδομένου ότι τα Χ1, Χ2, ..., Χη είναι ανεξάρτητα, προκύπτει ότι:

Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να επιβεβαιώσουμε τα εξής:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Chebyshov, πρέπει:

Τέλος, το θεώρημα προκύπτει από το γεγονός ότι το όριο στα δεξιά είναι μηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η δοκιμή έγινε μόνο για την περίπτωση στην οποία υπάρχει η διακύμανση του Xi. δηλαδή, δεν αποκλίνει. Επομένως παρατηρούμε ότι το θεώρημα είναι πάντα αληθές αν υπάρχει E (Xi).

Θεώρημα όριο Chebyshov

Αν X1, X2, ..., Xn, ... είναι μια διαδοχή ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, έτσι ώστε να υπάρχουν κάποιες C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Επίδειξη

Καθώς η διαδοχή των μεταβλητών είναι ομοιόμορφα οριοθετημένη, έχουμε Var (Sn) ≤ C / n, για όλα τα φυσικά n. Αλλά ξέρουμε ότι:

Κάνοντας n τείνει προς το άπειρο, τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Δεδομένου ότι η πιθανότητα δεν μπορεί να υπερβεί την τιμή του 1, επιτυγχάνεται το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ως συνέπεια αυτού του θεώρου θα μπορούσαμε να αναφέρουμε τη συγκεκριμένη περίπτωση του Bernoulli.

Εάν ένα πείραμα επαναλαμβάνεται η φορές ανεξαρτήτως με δύο δυνατά αποτελέσματα (επιτυχίας και αποτυχίας), όπου το ρ είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε πείραμα και το Χ είναι η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των επιτυχιών, τότε για κάθε k> 0 θα πρέπει να:

Μέγεθος δείγματος

Από την άποψη της διακύμανσης, ανισότητα Chebyshev μας επιτρέπει να βρούμε ένα μέγεθος n του δείγματος η οποία είναι επαρκής για να εξασφαλίσει ότι η πιθανότητα ότι | Sn-μ |> = συμβαίνει k είναι τόσο μικρό όσο είναι επιθυμητό, ​​καθιστώντας δυνατή την προσέγγιση η μέση.

Ακριβώς, αφήστε X1, X2, ... Xn να είναι ένα δείγμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών μεγέθους n και ας υποθέσουμε ότι E (Xi) = μ και η απόκλιση σ2. Στη συνέχεια, λόγω της ανισότητας του Chebyshov, πρέπει:

Παράδειγμα

Υποθέστε ότι τα X1, X2, ... Xn είναι ένα δείγμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με τη διανομή Bernoulli, έτσι ώστε να πάρουν την τιμή 1 με πιθανότητα p = 0,5.

Ποιο θα πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος ώστε να είναι σε θέση να εγγυηθεί ότι η πιθανότητα ότι η διαφορά μεταξύ της αριθμητικής μέσης τιμής Sn και της αναμενόμενης τιμής της (μεγαλύτερη από 0,1) είναι μικρότερη ή ίση με 0. 01?

Λύση

Έχουμε ότι E (X) = μ = p = 0.5 και ότι Var (X) = σ2= ρ (1-ρ) = 0,25. Για την ανισότητα Chebyshov, για κάθε k> 0 πρέπει να:

Τώρα, λαμβάνοντας k = 0,1 και δ = 0,01, πρέπει να:

Με τον τρόπο αυτό συμπεραίνεται ότι απαιτείται μέγεθος δείγματος τουλάχιστον 2500 για να εξασφαλιστεί ότι η πιθανότητα του γεγονότος | Sn - 0.5 |> = 0.1 είναι μικρότερη από 0,01.

Ανισότητες τύπου Chebyshov

Υπάρχουν διάφορες ανισότητες που σχετίζονται με την ανισότητα του Chebyshov. Μία από τις πιο γνωστές είναι η ανισότητα Markov:

Σε αυτή την έκφραση το Χ είναι μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή με k, r> 0.

Η ανισότητα Markov μπορεί να λάβει διάφορες μορφές. Για παράδειγμα, ας Y είναι μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή (έτσι P (Y> = 0) = 1) και υποθέστε ότι E (Y) = μ υπάρχει. Ας υποθέσουμε επίσης ότι (Ε (Υ))r= μr υπάρχει για κάποιο ακέραιο r> 1. Στη συνέχεια:

Μια άλλη ανισότητα είναι αυτή του Gauss, η οποία μας λέει ότι δεδομένης μιας unimodal τυχαίας μεταβλητής Χ με τη λειτουργία στο μηδέν, τότε για k> 0,

Αναφορές

  1. Κάι Λάι Τσούνγκ Θεωρία στοιχειωδών προνομίων με στοχαστικές διεργασίες. Springer-Verlag Νέα Υόρκη Inc.
  2. Kenneth.H. Διακριτά Μαθηματικά και οι Εφαρμογές της. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Πιθανότητες και Στατιστικές Εφαρμογές. S.A. ΜΕΞΙΚΑ ΑΛΜΑΜΠΡΑ.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Διακριτά Μαθηματικά Επίλυση Προβλημάτων. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Θεωρία και Προβλήματα Πιθανότητας. McGRAW-HILL.