Το Θεώρημα του Bolzano, Εφαρμογές και Ασκήσεις που επιλύθηκαν

Το Θεώρημα Bolzano αναφέρει ότι, αν μια λειτουργία είναι συνεχής σε όλα τα σημεία ενός κλειστού διαστήματος [a, b] και κατέχει την εικόνα του «a» και «b» (χαμηλή λειτουργία) έχουν αντίθετα πρόσημα, τότε θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο «c» στο ανοικτό διάστημα (α, β), έτσι ώστε η λειτουργία αξιολογείται σε «c» είναι ίσο με 0.

Αυτό το θεώρημα αυτό που διατυπώνονται από τον φιλόσοφο, θεολόγο και μαθηματικός Bernard Bolzano το 1850. Αυτή η επιστήμονας, που γεννήθηκε στη σημερινή Τσεχική Δημοκρατία ήταν ένα από τα πρώτα μαθηματικοί στην ιστορία για να κάνει μια επίσημη απόδειξη των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων.

Ευρετήριο

• 1 Επεξήγηση
• 2 Επίδειξη
• 3 Τι είναι αυτό;?
• 4 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 4.1 Άσκηση 1
  • 4.2 Άσκηση 2
• 5 Αναφορές

Επεξήγηση

Το θεώρημα του Bolzano είναι επίσης γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το οποίο βοηθά στον προσδιορισμό συγκεκριμένων τιμών, ιδιαίτερα μηδενικών, ορισμένων πραγματικών λειτουργιών μιας πραγματικής μεταβλητής.

Σε ένα δεδομένο f (x) συνεχούς-που είναι, f (α) και f (β) συνδέονται με μια καμπύλη, όπου f (α) είναι κάτω από το χ-άξονα (αρνητικό), f (β) λειτουργία πάνω από τον άξονα χ (θετική), ή αντίστροφα, υπάρχουν γραφικά μια περικοπή στον χ άξονα που αντιπροσωπεύει μία ενδιάμεση τιμή «c» η οποία είναι μεταξύ «ενός» και «b», και την τιμή της f (γ) θα είναι ίσο με 0.

Αν αναλύσουμε γραφικά το θεώρημα του Bolzano, μπορούμε να γνωρίζουμε ότι για κάθε συνάρτηση f που ορίζεται συνεχώς σε ένα διάστημα [a, b], όπου f (a)_*f (b) είναι μικρότερη από 0, θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα "c" αυτής της συνάρτησης εντός του διαστήματος (a, b).

Αυτό το θεώρημα δεν καθορίζει τον αριθμό των σημείων που υπάρχουν σε αυτό το ανοιχτό διάστημα, δηλώνει μόνο ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 βαθμός.

Επίδειξη

Για να αποδείξουμε το θεώρημα του Bolzano, θεωρείται χωρίς απώλεια της γενικότητας ότι το f (a) < 0 y f(b) > 0; με αυτό τον τρόπο, μπορεί να υπάρχουν πολλές τιμές μεταξύ των "a" και "b" για τις οποίες f (x) = 0, αλλά χρειάζεται μόνο να δείξετε ότι υπάρχει ένα.

Αρχίστε με την αξιολόγηση f στο μέσον (a + b) / 2. Εάν f ((a + b) / 2) = 0 τότε η δοκιμή τελειώνει εδώ. διαφορετικά, τότε το f ((a + b) / 2) είναι θετικό ή αρνητικό.

Ένα από τα μισά του διαστήματος [a, b] επιλέγεται, έτσι ώστε τα σημάδια της λειτουργίας που αξιολογούνται στα άκρα να είναι διαφορετικά. Αυτό το νέο διάστημα θα είναι [a1, b1].

Τώρα, αν το f που αξιολογείται στο μέσον του [a1, b1] δεν είναι μηδέν, τότε εκτελείται η ίδια λειτουργία όπως προηγουμένως. δηλαδή, το μισό αυτού του διαστήματος που ικανοποιεί την κατάσταση των σημείων επιλέγεται. Να είναι αυτό το νέο διάστημα [a2, b2].

Αν συνεχίσει αυτή η διαδικασία, τότε θα ληφθούν δύο διαδοχικές an και bn, έτσι ώστε:

an αυξάνεται και το bn μειώνεται:

a ≤ a1 ≤ α2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Αν υπολογίσετε το μήκος κάθε διαστήματος [ai, bi], θα πρέπει να:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 2.

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Επομένως, το όριο όταν το n τείνει στο άπειρο του (bn-an) είναι ίσο με 0.

Χρησιμοποιώντας αυτό το an αυξάνεται και οριοθετείται και το bn μειώνεται και οριοθετείται, πρέπει να υπάρχει τιμή "c" έτσι ώστε:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Το όριο ενός είναι "c" και το όριο bn είναι επίσης "c". Επομένως, δεδομένου κάθε δ> 0, υπάρχει πάντα ένα «n» τέτοιο ώστε το διάστημα [an, bn] να περιέχεται στο διάστημα (c-δ, c + δ).

Τώρα, πρέπει να δείξουμε ότι f (c) = 0.

Αν το f (c)> 0, τότε το f είναι συνεχές, υπάρχει ε> 0 έτσι ώστε το f να είναι θετικό σε όλο το διάστημα (c-ε, c + ε). Ωστόσο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μια τιμή «n» τέτοιο ώστε f αλλάζει πρόσημο σε [ένα, δισ] και επίσης [ένα, δισ] περιέχεται μέσα (γ-ε γ + ε), η τι είναι μια αντίφαση.

Εάν f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 έτσι ώστε το f να είναι αρνητικό σε όλο το διάστημα (c-ε, c + ε). αλλά υπάρχει μια τιμή "n" έτσι ώστε το f αλλάζει να υπογράφει [an, bn]. Αποδεικνύεται ότι το [an, bn] περιέχεται μέσα στο (c-ε, c + ε), το οποίο είναι επίσης μια αντίφαση.

Επομένως, f (c) = 0 και αυτό θέλαμε να αποδείξουμε.

Γιατί είναι;?

Από τη γραφική ερμηνεία, το θεώρημα του Bolzano χρησιμοποιείται για να βρούμε τις ρίζες ή μηδενικά σε συνεχή λειτουργία, μέσω διχοτόμησης (προσέγγιση), η οποία είναι μια μέθοδος που χωρίζει πάντα αυξητική διαστήματα αναζήτηση 2.

Στη συνέχεια, πάρτε ένα διάστημα [a, c] ή [c, b] όπου εμφανίζεται η αλλαγή σημείου και επαναλάβετε τη διαδικασία μέχρι το διάστημα να είναι μικρότερο και μικρότερο, ώστε να προσεγγίσετε την τιμή που θέλετε. δηλαδή, η τιμή που κάνει η συνάρτηση 0.

Εν ολίγοις, για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano και έτσι να βρούμε τις ρίζες, να οριοθετήσουμε τα μηδενικά μιας συνάρτησης ή να δώσουμε λύση σε μια εξίσωση, ακολουθούνται τα εξής βήματα:

- Επιβεβαιώνεται εάν το f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [a, b].

- Εάν το διάστημα δεν είναι δεδομένο, πρέπει να βρεθεί εκεί όπου η λειτουργία είναι συνεχής.

- Επιβεβαιώνεται εάν τα άκρα του διαστήματος δίνουν αντίθετα σημεία όταν αξιολογούνται στο f.

- Αν δεν επιτευχθούν αντίθετες ενδείξεις, το διάστημα θα πρέπει να χωριστεί σε δύο υποδιατάγματα χρησιμοποιώντας το μέσο.

- Αξιολογήστε τη λειτουργία στο μέσον και επιβεβαιώστε ότι πληρούται η υπόθεση Bolzano, όπου f (a) _* f (b) < 0.

- Ανάλογα με το σημάδι (θετικό ή αρνητικό) της διαπιστωμένης τιμής, η διαδικασία επαναλαμβάνεται με ένα νέο δευτερεύον διάστημα μέχρις ότου εκπληρωθεί η προαναφερθείσα υπόθεση.

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Προσδιορίστε εάν η συνάρτηση f (x) = x² - 2, έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση στο διάστημα [1,2].

Λύση

Έχουμε τη συνάρτηση f (x) = x² - 2. Δεδομένου ότι είναι πολυώνυμο, σημαίνει ότι είναι συνεχής σε οποιοδήποτε διάστημα.

καλείται να καθορίσει αν έχει πραγματική λύση στο διάστημα [1, 2], έτσι ώστε τώρα το μόνο που χρειάζεται για να αντικαταστήσει τις παραμέτρους της λειτουργίας να γνωρίζει το σημάδι από αυτά και αν πληρούν την προϋπόθεση της ύπαρξης διαφορετικών:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (αρνητικό)

f (2) = 2² - 2 = 2 (θετικό)

Επομένως, το σημάδι του f (1) ≠ σημείου f (2).

Αυτό εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο "c" που ανήκει στο διάστημα [1,2], όπου f (c) = 0.

Στην περίπτωση αυτή, η τιμή του "c" μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως εξής:

x² - 2 = 0

x = ± 2.

Έτσι, √2 ≈ 1,4 ανήκει στο διάστημα [1,2] και ικανοποιεί ότι το f (√2) = 0.

Άσκηση 2

Αποδείξτε ότι η εξίσωση x⁵ + x + 1 = 0 έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.

Λύση

Πρώτα σημειώνουμε ότι f (x) = x⁵ + Το x + 1 είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, που σημαίνει ότι είναι συνεχής σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Σε αυτή την περίπτωση, δεν δίνεται κανένα διάστημα, οπότε οι τιμές θα πρέπει να επιλέγονται διαισθητικά, κατά προτίμηση κοντά στο 0, για να αξιολογηθεί η λειτουργία και να βρεθούν οι αλλαγές σημείου:

Αν χρησιμοποιείτε το διάστημα [0, 1] πρέπει να:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Καθώς δεν υπάρχει καμία αλλαγή σημείου, η διαδικασία επαναλαμβάνεται με ένα άλλο διάστημα.

Αν χρησιμοποιείτε το διάστημα [-1, 0] πρέπει να:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Σε αυτό το διάστημα υπάρχει μια αλλαγή σημείου: σημάδι του f (-1) ≠ σημείου f (0), που σημαίνει ότι η συνάρτηση f (x) = x⁵ + x + 1 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα "c" στο διάστημα [-1, 0], έτσι ώστε f (c) = 0. Με άλλα λόγια, είναι αλήθεια ότι x⁵ + x + 1 = 0 έχει μια πραγματική λύση στο διάστημα [-1,0].

Αναφορές

1. Bronshtein Ι, S. Κ. (1988). Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές ... Editorial MIR.
2. George, Α. (1994). Μαθηματικά και το μυαλό. Oxford University Press.
3. Ilin V, Ρ. Ε. (1991). Μαθηματική Ανάλυση Σε τρεις τόμους ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Δάσκαλοι δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Τόμος ΙΙ. MAD.
5. Mateos, Μ. L. (2013). Βασικές ιδιότητες της ανάλυσης στον R. Editores, 20 Δεκεμβρίου.
6. Piskunov, Ν. (1980). Διαφορικός και ολοκληρωμένος υπολογισμός ...
7. Sydsaeter Κ, Η. Ρ. (2005). Μαθηματικά για Οικονομική Ανάλυση. Felix Varela.
8. William Η. Barker, R. Η. (S.f.). Συνεχής συμμετρία: Από το Euclid μέχρι τον Klein. American Mathematical Soc.