Η εξίσωση, εφαρμογές και επίλυση της άσκησης του Bernoulli's Bernoulli

Το Θεώρημα Bernoulli, που περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός ρευστού σε κίνηση, είχε διατυπώσει σχετικά με τη μαθηματική και φυσική Daniel Bernoulli στο έργο του Υδροδυναμική. Σύμφωνα με την αρχή, ένα ιδανικό υγρό (χωρίς τριβή ή ιξώδες) που κυκλοφορεί από έναν κλειστό αγωγό, θα έχει μια σταθερή ενέργεια στη διαδρομή του.

Το θεώρημα μπορεί να συναχθεί από την αρχή της διατήρησης της ενέργειας και ακόμη από το δεύτερο νόμο κίνησης του Νεύτωνα. Επιπλέον, η αρχή του Bernoulli δηλώνει επίσης ότι η αύξηση της ταχύτητας ενός ρευστού σημαίνει μείωση της πίεσης στην οποία υποβάλλεται, μείωση της δυνητικής ενέργειας ή και τα δύο ταυτόχρονα.

Το θεώρημα έχει πολλές και διαφορετικές εφαρμογές, τόσο σε σχέση με τον κόσμο της επιστήμης όσο και για την καθημερινή ζωή των ανθρώπων.

Οι συνέπειές της είναι παρούσες στη δύναμη των αεροπλάνων, στις καμινάδες των σπιτιών και των βιομηχανιών, στους σωλήνες ύδρευσης, μεταξύ άλλων.

Ευρετήριο

• 1 εξίσωση Bernoulli
  • 1.1 Απλοποιημένη μορφή
• 2 Εφαρμογές
• 3 Η άσκηση λυθεί
• 4 Αναφορές

Εξίσωση Bernoulli

Αν και ο Bernoulli ήταν αυτός που συνήγαγε ότι η πίεση μειώνεται όταν η ταχύτητα ροής αυξάνεται, η αλήθεια είναι ότι ο Leonhard Euler ανέπτυξε στην πραγματικότητα την εξίσωση Bernoulli με τον τρόπο που είναι σήμερα γνωστός..

Σε κάθε περίπτωση, η εξίσωση του Bernoulli, που δεν είναι παρά η μαθηματική έκφραση του θεώρημά του, έχει ως εξής:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = σταθερή

Σε αυτήν την έκφραση, ν είναι η ταχύτητα του ρευστού μέσα από το τμήμα θεωρείται, Ƿ είναι η πυκνότητα του ρευστού, το Ρ είναι η πίεση του ρευστού, g είναι η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας, z είναι το ύψος που μετράται κατά τη διεύθυνση της βαρύτητας.

Στην εξίσωση Bernoulli, είναι σιωπηρή ότι η ενέργεια ενός ρευστού αποτελείται από τρία συστατικά:

- Ένα κινητικό στοιχείο, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της ταχύτητας με την οποία κινείται το ρευστό.

- Ένα δυναμικό ή βαρυτικό στοιχείο, το οποίο οφείλεται στο ύψος στο οποίο βρίσκεται το υγρό.

- Μια ενέργεια πίεσης, η οποία είναι αυτή που το ρευστό κατέχει ως αποτέλεσμα της πίεσης στην οποία υποβάλλεται.

Από την άλλη πλευρά, η εξίσωση Bernoulli μπορεί επίσης να εκφραστεί ως εξής:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Αυτή η τελευταία έκφραση είναι πολύ πρακτική για την ανάλυση των αλλαγών που αντιμετωπίζει ένα υγρό όταν ένα από τα στοιχεία που συνθέτουν την εξίσωση αλλάζει.

Απλοποιημένη μορφή

Σε ορισμένες περιπτώσεις η αλλαγή στον όρο ρgz της εξίσωσης Bernoulli είναι ελάχιστη σε σύγκριση με αυτήν που βιώνουν οι άλλοι όροι, οπότε είναι δυνατό να το παραμελήσουμε. Για παράδειγμα, αυτό συμβαίνει στα ρεύματα που αντιμετωπίζει ένα αεροπλάνο στην πτήση.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εξίσωση Bernoulli εκφράζεται ως εξής:

P + q = Ρ₀

Σε αυτή την έκφραση q είναι δυναμική πίεση και ισούται με v ² ∙ ƿ / 2 και P₀ είναι η λεγόμενη συνολική πίεση και είναι το άθροισμα της στατικής πίεσης P και της δυναμικής πίεσης q.

Εφαρμογές

Το θεώρημα Bernoulli έχει πολλές και ποικίλες εφαρμογές σε διαφορετικούς τομείς όπως η επιστήμη, η μηχανική, ο αθλητισμός κλπ..

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή βρίσκεται στο σχεδιασμό των καμινάδων. Οι καμινάδες είναι χτισμένες ψηλά για να επιτευχθεί μεγαλύτερη διαφορά πίεσης μεταξύ της βάσης και της εξόδου της καμινάδας, χάρη στην οποία είναι ευκολότερο να εξαχθούν τα αέρια καύσης.

Φυσικά, η εξίσωση Bernoulli ισχύει και για τη μελέτη της κίνησης των ροών υγρών στους σωλήνες. Από την εξίσωση προκύπτει ότι η μείωση της εγκάρσιας επιφάνειας του σωλήνα, προκειμένου να αυξηθεί η ταχύτητα του ρευστού που περνά διαμέσου αυτού, συνεπάγεται επίσης μείωση της πίεσης.

Η εξίσωση Bernoulli χρησιμοποιείται επίσης στην αεροπορία και στα οχήματα της Formula 1. Στην περίπτωση της αεροπορίας, το φαινόμενο Bernoulli είναι η προέλευση της υποστήριξης αεροσκαφών.

Τα πτερύγια του αεροσκάφους σχεδιάζονται με στόχο την επίτευξη μεγαλύτερης ροής αέρα στο άνω μέρος της πτέρυγας.

Έτσι, στο άνω μέρος του πτερυγίου, η ταχύτητα του αέρα είναι υψηλή και συνεπώς η χαμηλότερη πίεση. Αυτή η διαφορά πίεσης παράγει μια δύναμη που κατευθύνεται κάθετα προς τα πάνω (δύναμη ανύψωσης) που επιτρέπει στην αεροσκάφη να κρατιέται στον αέρα. Παρόμοιο αποτέλεσμα επιτυγχάνεται και στα ελερόνα των αυτοκινήτων της Formula 1.

Αποφασισμένη άσκηση

Μέσω σωλήνα με διατομή 4,2 cm² ένα ρεύμα νερού ρέει στα 5,18 m / s. Το νερό κατεβαίνει από ύψος 9,66 m σε χαμηλότερο επίπεδο με μηδενικό ύψος, ενώ η εγκάρσια επιφάνεια του σωλήνα αυξάνεται σε 7,6 cm².

α) Υπολογίστε την ταχύτητα ροής νερού στο κατώτερο επίπεδο.

β) Προσδιορίστε την πίεση στο χαμηλότερο επίπεδο γνωρίζοντας ότι η πίεση στο ανώτερο επίπεδο είναι 152000 Pa.

Λύση

α) Δεδομένου ότι η ροή πρέπει να διατηρηθεί, πληρούται ότι:

Q_{κορυφαίο επίπεδο} = Q_{χαμηλότερο επίπεδο}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 m / s. 4.2 cm² = v₂ . 7.6 cm ^²

Εκκαθάριση, παίρνετε ότι:

v₂ = 2,86 m / s

β) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli μεταξύ των δύο επιπέδων και λαμβάνοντας υπόψη ότι η πυκνότητα του νερού είναι 1000 kg / m³ , το έχετε:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Εκκαθάριση P₂ θα φτάσετε σε:

P₂ = 257926,4 Pa

Αναφορές

1. Αρχή της Bernoulli. (n.d.). Στη Βικιπαίδεια. Ανακτήθηκε στις 12 Μαΐου 2018, από το es.wikipedia.org.
2. Αρχή του Bernoulli. (n.d.). Στη Βικιπαίδεια. Ανακτήθηκε στις 12 Μαΐου 2018, από το en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Εισαγωγή στη δυναμική των υγρών. Cambridge University Press.
4. Lamb, Η. (1993). Υδροδυναμική (6η έκδ.). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Μηχανική των εφαρμοζόμενων υγρών (4η έκδοση). Μεξικό: Εκπαίδευση Pearson.