Μαθηματική λογική προέλευση, ποιες μελέτες, τύποι



Το μαθηματική λογική ή συμβολική λογική είναι μια μαθηματική γλώσσα που περιλαμβάνει τα απαραίτητα εργαλεία με τα οποία μπορεί να επιβεβαιωθεί ή να αρνηθεί η μαθηματική λογική.

Είναι γνωστό ότι στα μαθηματικά δεν υπάρχουν αμφιβολίες. Με δεδομένο ένα μαθηματικό επιχείρημα, αυτό ισχύει ή απλά δεν είναι. Δεν μπορεί να είναι ψευδής και αληθής ταυτόχρονα.

Μια ιδιαίτερη πτυχή των μαθηματικών είναι ότι έχει μια επίσημη και αυστηρή γλώσσα μέσω της οποίας μπορεί να προσδιοριστεί η εγκυρότητα ενός συλλογισμού. Τι είναι αυτό που κάνει ασαφή τη λογική ή οποιαδήποτε μαθηματική απόδειξη; Αυτή είναι η μαθηματική λογική.

Έτσι, η λογική είναι η πειθαρχία των μαθηματικών που είναι υπεύθυνη για τη μελέτη των συλλογιστική και μαθηματικά διαδηλώσεις, και παρέχει τα εργαλεία για να είναι σε θέση να συναγάγει ένα σωστό συμπέρασμα από κάποιες προηγούμενες δηλώσεις ή προτάσεις.

Για να γίνει αυτό, κάνει χρήση αξιωμάτων και άλλων μαθηματικών πτυχών που θα αναπτυχθούν αργότερα.

Ευρετήριο

  • 1 Προέλευση και ιστορία
    • 1.1 Αριστοτέλης
  • 2 Τι μαθηματικές λογικές μελέτες?
    • 2.1 Προτάσεις
    • 2.2 Πίνακες αλήθειας
  • 3 Τύποι μαθηματικής λογικής
    • 3.1 Περιοχές
  • 4 Αναφορές

Προέλευση και ιστορία

Οι ακριβείς ημερομηνίες όσον αφορά πολλές πτυχές της μαθηματικής λογικής είναι αβέβαιες. Ωστόσο, οι περισσότερες βιβλιογραφίες για το θέμα εντοπίζουν την προέλευση αυτού στην αρχαία Ελλάδα.

Αριστοτέλης

Η αρχή της αυστηρής θεραπείας της λογικής αποδίδεται εν μέρει με τον Αριστοτέλη, ο οποίος έγραψε μια σειρά από έργα για τη λογική, που αργότερα συγκεντρώθηκαν και αναπτύχθηκε από διάφορες φιλοσόφους και επιστήμονες μέχρι τον Μεσαίωνα. Αυτό θα μπορούσε να θεωρηθεί ως "η παλιά λογική".

Στη συνέχεια, όταν είναι γνωστή ως Σύγχρονη Εποχή, Leibniz, οδηγείται από μια βαθιά επιθυμία να δημιουργήσει μια παγκόσμια γλώσσα με τη μαθηματική λογική, και άλλοι μαθηματικοί, όπως Gottlob Frege και Giuseppe Peano, κυρίως επηρέασε την ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής με μεγάλες εισφορές , μεταξύ των οποίων και τα Axioms of Peano, που διατυπώνουν τις απαραίτητες ιδιότητες των φυσικών αριθμών.

Ήταν επίσης επιρροή αυτή τη στιγμή μαθηματικοί George Boole και Georg Cantor, με σημαντική συμβολή στην θεωρία των συνόλων και την αλήθεια τους πίνακες, που τόνισε, μεταξύ άλλων, Boolean άλγεβρα (από τον George Boole) και το αξίωμα της επιλογής (από τον George Cantor).

Augustus De Morgan, επίσης, με τους γνωστούς νόμους Morgan, το ενδεχόμενο αρνήσεις, σύνδεσμοι, διαχωρισμών και των συνθηκών μεταξύ των προτάσεων, το κλειδί για την ανάπτυξη της Symbolic Logic και το διάσημο John Venn διαγράμματα Venn.

Τον 20ο αιώνα, περίπου μεταξύ 1910 και 1913, οι Bertrand Russell και Alfred North Whitehead ξεχωρίζουν με τη δημοσίευσή τους Principia mathematica, ένα σύνολο βιβλίων που συλλέγει, αναπτύσσει και αξιώνει μια σειρά αξιωμάτων και λογικών αποτελεσμάτων.

Τι μαθηματικές λογικές μελέτες?

Προτάσεις

Η μαθηματική λογική αρχίζει με τη μελέτη των προτάσεων. Μια πρόταση είναι μια διαβεβαίωση ότι μπορεί να ειπωθεί χωρίς αμφιβολία εάν είναι αλήθεια ή όχι. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα προτάσεων:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Το έτος 1930 σημειώθηκε σεισμός στην Ευρώπη.

Η πρώτη είναι μια αληθινή πρόταση και η δεύτερη είναι μια ψευδής πρόταση. Το τρίτο, αν και είναι πιθανό ότι το πρόσωπο που διαβάζει δεν ξέρει αν είναι αλήθεια ή αμέσως, είναι μια δήλωση που μπορεί να ελεγχθεί για να διαπιστωθεί αν πραγματικά συνέβη ή όχι.

Τα παρακάτω είναι παραδείγματα εκφράσεων που δεν είναι προτάσεις:

  • Είναι ξανθιά.
  • 2x = 6.
  • Ας παίξουμε!
  • Σας αρέσει ο κινηματογράφος?

Στην πρώτη πρόταση, δεν διευκρινίζεται ποια είναι "αυτή", επομένως τίποτα δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί. Στη δεύτερη πρόταση, αυτό που αντιπροσωπεύεται από το "x" δεν έχει καθοριστεί. Αν αντί να σας πω ότι 2x = 6 για κάποιο φυσικό αριθμό x, στην περίπτωση αυτή θα αντιστοιχούσε σε μια πρόταση, στην πραγματικότητα αληθινή, αφού για x = 3 είναι ικανοποιημένος.

Οι δύο τελευταίες δηλώσεις δεν αντιστοιχούν σε μια πρόταση, καθώς δεν υπάρχει τρόπος να τους αρνηθούν ή να τους επιβεβαιώσουν.

Δύο ή περισσότερες προτάσεις μπορούν να συνδυαστούν (ή να συνδεθούν) χρησιμοποιώντας τους γνωστούς συνδετικούς συνδέσμους (ή τους συνδετήρες). Αυτά είναι:

  • Άρνηση: "Δεν βρέχει".
  • Διαζύγιο: "Η Luisa αγόρασε μια λευκή ή γκρίζα τσάντα".
  • Συνασπισμός: "42= 16 και 2 × 5 = 10 ".
  • Προϋπόθεση: "Αν βρέξει, τότε δεν πηγαίνω στο γυμναστήριο σήμερα το απόγευμα".
  • Biconditional: "Πάω στο γυμναστήριο σήμερα το απόγευμα εάν και μόνο αν δεν βρέχει".

Μια πρόταση που δεν έχει καμία από τις προηγούμενες συνδετικές, ονομάζεται απλή πρόταση (ή ατομική). Για παράδειγμα, το "2 είναι μικρότερο από 4", είναι μια απλή πρόταση. Οι προτάσεις που έχουν κάποια συνδετική ονομάζονται σύνθετες προτάσεις, όπως για παράδειγμα "1 + 3 = 4 και 4 είναι ένας ζυγός αριθμός".

Οι δηλώσεις που γίνονται μέσω προτάσεων είναι συνήθως μακρές, επομένως είναι κουραστικό να τις γράψουμε πάντα όπως έχουμε δει μέχρι τώρα. Για το λόγο αυτό, χρησιμοποιείται μια συμβολική γλώσσα. Οι προτάσεις συνήθως εκπροσωπούνται με κεφαλαία γράμματα όπως Ρ, Q, R, S, κ.λπ. Και το συμβολικό συνδετικό ως εξής:

Έτσι λοιπόν

Το αμοιβαία μιας υπό όρους υπόθεσης

είναι η πρόταση

Και το αντεπιχείρηση (ή αντιστρόφως) μιας πρότασης

είναι η πρόταση

Πίνακες αλήθειας

Μια άλλη σημαντική έννοια στη λογική είναι αυτή των πινάκων αλήθειας. Οι τιμές αλήθειας μιας πρότασης είναι οι δύο επιλογές που έχετε για μια πρόταση: αλήθεια (που συμβολίζεται με V και πείτε την αξία τους αλήθεια είναι V) ή ψευδής (η οποία συμβολίζεται με F και να πω ότι η αξία του είναι πραγματικά F).

Η αξία αλήθειας μιας σύνθετης πρότασης εξαρτάται αποκλειστικά από τις αξίες αλήθειας των απλών προτάσεων που εμφανίζονται σε αυτήν.

Για να εργαστούμε γενικότερα, δεν θα εξετάσουμε συγκεκριμένες προτάσεις, αλλά προτεινόμενες μεταβλητές p, q, r, s, κ.λπ., που θα αντιπροσωπεύουν οποιεσδήποτε προτάσεις.

Με αυτές τις μεταβλητές και τους λογικούς δεσμούς οι γνωστοί προταστικοί τύποι σχηματίζονται ακριβώς όπως κατασκευάζονται σύνθετες δηλώσεις.

Εάν κάθε μία από τις μεταβλητές που εμφανίζονται σε μια προτεινόμενη φόρμουλα αντικατασταθεί από μια πρόταση, λαμβάνεται μια σύνθετη πρόταση.

Παρακάτω είναι οι πίνακες αλήθειας για λογικούς συνδέσμους:

Υπάρχουν προτασιακού φόρμουλες που λαμβάνουν μόνο την αξία V στον πίνακα αληθείας του, δηλαδή, η τελευταία στήλη του πίνακα αλήθειας έχει μόνο την αξία V. Αυτό το είδος του τύπου είναι γνωστό ως ταυτολογίες. Για παράδειγμα:

Ο παρακάτω είναι ο πίνακας αλήθειας του τύπου

Λέγεται ότι ένας τύπος α υπονοεί λογικά έναν άλλο τύπο β, αν α είναι αληθές κάθε φορά β είναι αληθινό. Δηλαδή, στον πίνακα αληθείας του α και β, όπου α σειρές έχει ένα V, β έχει επίσης μια V. Μόνο οι σχετικές σειρές όπου α έχει την τιμή V. Ο συμβολισμός για λογική επίπτωση είναι η ακόλουθη :

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις ιδιότητες των λογικών συνεπειών:

Λέγεται ότι δύο πρότυπες φόρμουλες είναι λογικά ισοδύναμες αν οι πίνακες αλήθειας τους είναι πανομοιότυποι. Η ακόλουθη παράσταση χρησιμοποιείται για να εκφράσει τη λογική ισοδυναμία:

Οι ακόλουθοι πίνακες συνοψίζουν τις ιδιότητες της λογικής ισοδυναμίας:

Είδη μαθηματικής λογικής

Υπάρχουν διάφοροι τύποι λογικής, ειδικά αν ληφθεί υπόψη η ρεαλιστική ή άτυπη λογική που δείχνει τη φιλοσοφία, μεταξύ άλλων τομέων.

Όσον αφορά τα μαθηματικά, οι τύποι λογικής θα μπορούσαν να συνοψιστούν ως εξής:

  • Τυπική ή Αριστοτελική Λογική (Αρχαία Λογική).
  • Προτεινόμενη λογική: είναι υπεύθυνη για τη μελέτη όλων όσων σχετίζονται με την εγκυρότητα των επιχειρημάτων και των προτάσεων χρησιμοποιώντας μια επίσημη γλώσσα αλλά και συμβολική.
  • Συμβολική λογική: επικεντρώνεται στη μελέτη των συνόλων και των ιδιοτήτων τους, επίσης με μια τυπική και συμβολική γλώσσα, και είναι βαθιά συνδεδεμένη με την προτεινόμενη λογική.
  • Η συνδυαστική λογική: μία από τις πιο πρόσφατα αναπτυγμένες, περιλαμβάνει αποτελέσματα που μπορούν να αναπτυχθούν με αλγόριθμους.
  • Λογικός προγραμματισμός: χρησιμοποιείται στα διάφορα πακέτα και γλώσσες προγραμματισμού.

Περιοχές

Μεταξύ των περιοχών που κάνουν χρήση της μαθηματικής λογικής τόσο απαραίτητη για την ανάπτυξη της συλλογιστικής και τα επιχειρήματά τους, τονίζουν τη φιλοσοφία, θεωρία των συνόλων, θεωρία αριθμών, αλγεβρικές εποικοδομητική μαθηματικά και γλώσσες προγραμματισμού.

Αναφορές

  1. Aylwin, C.U. (2011). Λογική, σύνολα και αριθμοί. Mérida - Βενεζουέλα: Συμβούλιο Δημοσιεύσεων, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, Η., Diaz, Ρ., Murillo, Μ. & Soto, Α. (1998). Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Βασικό μάθημα στη θεωρία αριθμών. Πανεπιστήμιο του Βορρά.
  4. Cofr, Α., & Tapia, L. (1995). Πώς να αναπτύξετε τη μαθηματική λογική λογική. Πανεπιστημιακό Σύνταγμα.
  5. Zaragoza, Α.Ο. (s.f.). Θεωρία αριθμών. Editorial Βιβλία Όραμα.