Μερίδιο:
Vector Άλγεβρα Βασικά, μεγεθών, διανύσματα
Το άλγεβρα φορέα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που είναι υπεύθυνος για τη μελέτη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, φορέων, μήτρων, διανυσματικών χώρων και των γραμμικών μετασχηματισμών τους. Σχετίζεται με τομείς όπως η μηχανική, η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, η λειτουργική ανάλυση, η έρευνα των λειτουργιών, τα γραφικά των υπολογιστών, μεταξύ άλλων..
Ένας άλλος τομέας που έχει υιοθετήσει τη γραμμική άλγεβρα είναι η φυσική, επειδή μέσα από αυτό έχει αναπτυχθεί για να μελετήσει τα φυσικά φαινόμενα, περιγράφοντάς τα μέσα από τη χρήση των φορέων. Αυτό κατέστησε δυνατή την καλύτερη κατανόηση του σύμπαντος.
Ευρετήριο
- 1 Βασικές αρχές
- 1.1 Γεωμετρικά
- 1.2 Αναλυτικά
- 1.3 Αξιωματικά
- 2 μεγεθών
- 2.1 Σκαλοειδές μέγεθος
- 2.2 Μέγεθος διάνυσμα
- 3 Τι είναι οι φορείς?
- 3.1 Ενότητα
- 3.2 Διεύθυνση
- 3.3 Αίσθηση
- 4 Ταξινόμηση των φορέων
- 4.1 Σταθερός φορέας
- 4.2 Δωρεάν φορέας
- 4.3 Διανύσματος ολίσθησης
- 5 Ιδιότητες των φορέων
- 5.1 equipolentes Διανύσματα
- 5.2 Ισοδύναμοι διανύσματα
- 5.3 Ισότητα των φορέων
- 5.4 Αντίθετα διανύσματα
- 5.5 Μοντέλο μονάδας
- 5.6 Null Vector
- 6 Στοιχεία ενός διανύσματος
- 6.1 Παραδείγματα
- 7 Λειτουργίες με διανύσματα
- 7.1 Προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων
- 7.2 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων
- 8 Αναφορές
Βασικά
Vector άλγεβρα προήλθε από τη μελέτη της quaternions (επέκταση των πραγματικών αριθμών) 1, i, j, k, καθώς και καρτεσιανή γεωμετρία προωθείται από Gibbs και Heaviside, ο οποίος συνειδητοποίησε ότι οι φορείς να χρησιμεύσει ως εργαλείο για την αντιπροσωπεύουν διάφορα φυσικά φαινόμενα.
Η αλγεβρική διάνυσμα μελετάται μέσω τριών θεμελίων:
Γεωμετρικά
Οι φορείς αντιπροσωπεύονται από γραμμές που έχουν προσανατολισμό και οι λειτουργίες όπως η προσθήκη, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός με πραγματικούς αριθμούς καθορίζονται μέσω γεωμετρικών μεθόδων.
Αναλυτικά
Η περιγραφή των διανυσμάτων και των λειτουργιών τους γίνεται με αριθμούς που ονομάζονται συστατικά. Αυτός ο τύπος περιγραφής είναι το αποτέλεσμα μιας γεωμετρικής αναπαράστασης επειδή χρησιμοποιείται ένα σύστημα συντεταγμένων.
Αxiomatically
Μια περιγραφή των διανυσμάτων γίνεται ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων ή από οποιοδήποτε τύπο γεωμετρικής παράστασης.
Η μελέτη των αριθμών στο διάστημα γίνεται μέσω της αναπαράστασής τους σε ένα σύστημα αναφοράς, το οποίο μπορεί να έχει μία ή περισσότερες διαστάσεις. Μεταξύ των κύριων συστημάτων είναι:
- Ένα μονοδιάστατο σύστημα, το οποίο είναι μια γραμμή όπου ένα σημείο (O) αντιπροσωπεύει την προέλευση και ένα άλλο σημείο (P) καθορίζει την κλίμακα (μήκος) και την κατεύθυνση του:
- Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (δισδιάστατο), το οποίο αποτελείται από δύο κάθετες γραμμές που ονομάζονται άξονας x και άξονας y και οι οποίες διέρχονται από την προέλευση σημείου (O). με αυτό τον τρόπο το αεροπλάνο χωρίζεται σε τέσσερις περιοχές που ονομάζονται τεταρτημόρια. Σε αυτή την περίπτωση ένα σημείο (P) στο επίπεδο δίνεται από τις αποστάσεις που υπάρχουν μεταξύ των αξόνων και του P.
- Πολικό σύστημα συντεταγμένων (δισδιάστατο). Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα αποτελείται από ένα σημείο O (προέλευση) που ονομάζεται πόλος και μια ακτίνα με προέλευση Ο που ονομάζεται πολικός άξονας. Σε αυτή την περίπτωση το σημείο Ρ του επιπέδου, με αναφορά στον πόλο και τον πολικό άξονα, δίνεται από τη γωνία (Ń), η οποία σχηματίζεται από την απόσταση μεταξύ της αρχής και του σημείου P.
- Ορθογώνιο τρισδιάστατο σύστημα, που σχηματίζεται από τρεις κάθετες γραμμές (x, y, z) που έχουν σαν προέλευση ένα σημείο O στο διάστημα. Δημιουργούνται τρία επίπεδα συντεταγμένων: xy, xz και yz. ο χώρος θα χωριστεί σε οκτώ περιοχές που ονομάζονται οκτάνια. Η αναφορά ενός σημείου Ρ του χώρου δίνεται από τις αποστάσεις που υπάρχουν μεταξύ των επιπέδων και του Ρ.
Μεγέθη
Ένα μέγεθος είναι μια φυσική ποσότητα που μπορεί να μετρηθεί ή να μετρηθεί μέσω μιας αριθμητικής τιμής, όπως στην περίπτωση ορισμένων φυσικών φαινομένων. Ωστόσο, είναι συχνά απαραίτητο να μπορούμε να περιγράψουμε αυτά τα φαινόμενα με άλλους παράγοντες που δεν είναι αριθμητικοί. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τα μεγέθη ταξινομούνται σε δύο τύπους:
Μεγάλο μέγεθος
Αυτές είναι οι ποσότητες που ορίζονται και αντιπροσωπεύονται αριθμητικά. δηλαδή από ένα δομοστοιχείο μαζί με μια μονάδα μέτρησης. Για παράδειγμα:
α) Χρόνος: 5 δευτερόλεπτα.
β) Μάζα: 10 kg.
γ) Όγκος: 40 ml.
δ) Θερμοκρασία: 40ºC.
Μέγεθος διάνυσμα
Αυτές είναι οι ποσότητες που ορίζονται και αντιπροσωπεύονται από ένα δομοστοιχείο μαζί με μια μονάδα, καθώς και από μια έννοια και μια κατεύθυνση. Για παράδειγμα:
α) Ταχύτητα: (5η - 3ηη) m / s.
β) Επιτάχυνση: 13 m / s2? S 45º Ε.
γ) Δύναμη: 280 Ν, 120º.
δ) Βάρος: -40 ĵ kg-f.
Τα μεγέθη του διανύσματος αντιπροσωπεύονται γραφικά από φορείς.
Τι είναι οι φορείς?
Οι φορείς είναι γραφικές παραστάσεις μεγέθους διανυσμάτων. δηλαδή, είναι τμήματα ευθείας γραμμής στα οποία το τελικό τέλος τους είναι η κορυφή ενός βέλους.
Αυτά καθορίζονται από το μήκος της μονάδας ή του τμήματος τους, την έννοιά τους που υποδεικνύεται από την άκρη του βέλους και την κατεύθυνση τους σύμφωνα με τη γραμμή στην οποία ανήκουν. Η προέλευση ενός φορέα είναι επίσης γνωστή ως σημείο εφαρμογής.
Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι τα εξής:
Ενότητα
Είναι η απόσταση από την αρχή μέχρι το τέλος ενός διανύσματος, που αντιπροσωπεύεται από έναν πραγματικό αριθμό μαζί με μια μονάδα. Για παράδειγμα:
| OM | = | A | = Α = 6 cm
Διεύθυνση
Είναι το μέτρο της γωνίας που υπάρχει μεταξύ του άξονα x (από το θετικό) και του διανύσματος, καθώς και των σημείων της καρδιάς (βόρεια, νότια, ανατολικά και δυτικά).
Αίσθηση
Δίνεται από την κεφαλή βέλους που βρίσκεται στο τέλος του διανύσματος, υποδεικνύοντας πού κατευθύνεται.
Κατανομή διανυσμάτων
Γενικά, οι φορείς ταξινομούνται ως:
Σταθερός φορέας
Είναι εκείνη του οποίου το σημείο εφαρμογής (καταγωγή) είναι σταθερό. δηλαδή ότι παραμένει συνδεδεμένο με ένα σημείο του χώρου, λόγος για τον οποίο δεν μπορεί να εκτοπιστεί σε αυτό.
Δωρεάν φορέα
Μπορεί να μετακινείται ελεύθερα στο διάστημα επειδή η προέλευσή του μετακινείται σε οποιοδήποτε σημείο χωρίς να αλλάζει την ενότητα, την αίσθηση ή την κατεύθυνση.
Συρόμενη διανύσματος
Είναι αυτός που μπορεί να μετακινήσει την καταγωγή του κατά μήκος της γραμμής δράσης του χωρίς να αλλάξει την ενότητα, την αίσθηση ή την κατεύθυνση.
Ιδιότητες διανυσμάτων
Μεταξύ των κύριων ιδιοτήτων των διανυσμάτων είναι οι εξής:
Equipolentes φορείς
Είναι αυτοί οι ελεύθεροι φορείς που έχουν την ίδια ενότητα, κατεύθυνση (ή είναι παράλληλοι) και αισθάνονται ότι ένα συρόμενο διάνυσμα ή ένα σταθερό διάνυσμα.
Ισοδύναμοι διανύσματα
Αυτό συμβαίνει όταν δύο διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση (ή είναι παράλληλες), με την ίδια έννοια και παρόλο που έχουν διαφορετικές ενότητες και σημεία εφαρμογής, προκαλούν τα ίδια αποτελέσματα.
Ισότητα των φορέων
Έχουν την ίδια ενότητα, την κατεύθυνση και την αίσθηση, παρόλο που τα σημεία εκκίνησης τους είναι διαφορετικά, πράγμα που επιτρέπει σε έναν παράλληλο φορέα να κινείται χωρίς να τον επηρεάζει..
Αντίθετα διανύσματα
Είναι αυτά που έχουν την ίδια ενότητα και κατεύθυνση, αλλά η αντίληψή τους είναι αντίθετη.
Μονάδα διανυσμάτων
Είναι εκείνο στο οποίο η μονάδα είναι ίση με τη μονάδα (1). Αυτό επιτυγχάνεται διαιρώντας τον φορέα με την ενότητα του και χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης και της αίσθησης ενός φορέα, είτε στο επίπεδο είτε στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τον βασικό ή ενοποιημένους κανονικοποιημένους φορείς, οι οποίοι είναι:
Μηδενικός φορέας
Είναι εκείνο του οποίου η ενότητα είναι ίση με 0. δηλαδή το σημείο καταγωγής τους και οι ακραίες συμπίπτουν στο ίδιο σημείο.
Στοιχεία ενός διανύσματος
Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι εκείνες οι τιμές των προβολών του διανύσματος στους άξονες του συστήματος αναφοράς. Ανάλογα με την αποσύνθεση του φορέα, η οποία μπορεί να είναι σε δύο ή τρεις διαστάσεις άξονες, θα ληφθούν δύο ή τρία συστατικά, αντίστοιχα.
Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι μπορεί να είναι θετικοί, αρνητικοί ή ακόμη και μηδενικοί (0).
Έτσι, αν είναι ένας φορέας Α, που προέρχεται από ένα ορθογώνιο σύστημα στο xy (δύο διαστάσεων) συντονισμό επίπεδο, η προεξοχή επί του άξονα χ είναι χ και η προεξοχή στον άξονα y είναι ΑΥ. Έτσι, ο φορέας θα εκφράζεται ως το άθροισμα των φορέων συστατικών του.
Παραδείγματα
Πρώτο παράδειγμα
Έχουμε ένα διάνυσμα Α που ξεκινάει από την προέλευση και δίνονται οι συντεταγμένες των άκρων του. Έτσι, ο φορέας Α = (Αx? Ακαι) = (4,5) cm.
Εάν Ένας φορέας δρα στην προέλευση ενός συστήματος συντεταγμένων τριών διαστάσεων τριγωνικό (στο χώρο) x, y, z, σε ένα άλλο σημείο (Ρ), οι προεξοχές των αξόνων τους είναι Ax, Ay και Az? Έτσι, ο φορέας θα εκφράζεται ως το άθροισμα των τριών συστατικών του φορέων.
Δεύτερο παράδειγμα
Έχουμε ένα διάνυσμα Α που ξεκινάει από την προέλευση και δίνονται οι συντεταγμένες των άκρων του. Έτσι, ο φορέας Α = (Αx? Ακαι Αz) = (4, 6, -3) cm.
Οι φορείς που έχουν τις ορθογώνιες συντεταγμένες τους μπορούν να εκφραστούν με βάση τους βασικούς τους φορείς. Για αυτό, μόνο κάθε συντεταγμένη πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αντίστοιχο φορέα μονάδας της, έτσι ώστε για το επίπεδο και το διάστημα να είναι οι εξής:
Για το αεροπλάνο: Α = Axi + Aκαιj.
Για τον χώρο: A = Axi + Aκαιj + Azk.
Λειτουργίες με διανύσματα
Υπάρχουν πολλά μεγέθη που έχουν μια ενότητα, έννοια και κατεύθυνση, όπως επιτάχυνση, ταχύτητα, μετατόπιση, δύναμη, μεταξύ άλλων..
Αυτές εφαρμόζονται σε διάφορους τομείς της επιστήμης και, για να τις εφαρμόσουν, είναι απαραίτητο σε ορισμένες περιπτώσεις να εκτελεστούν λειτουργίες όπως η προσθήκη, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και ο διαχωρισμός των φορέων και των κλιμάκων.
Προσθήκη και αφαίρεση των φορέων
Η προσθήκη και αφαίρεση των διανυσμάτων θεωρείται μια ενιαία αλγεβρική λειτουργία επειδή η αφαίρεση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα. για παράδειγμα, η αφαίρεση των φορέων Α και Ε μπορεί να εκφραστεί ως:
À - Ē = À + (- ¢)
Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εκτέλεση της προσθήκης και αφαίρεσης των διανυσμάτων: μπορούν να είναι γραφικές ή αναλυτικές.
Γραφικές μεθόδους
Χρησιμοποιείται όταν ένα διάνυσμα έχει μια ενότητα, έννοια και κατεύθυνση. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζονται γραμμές που σχηματίζουν ένα σχήμα το οποίο αργότερα βοηθάει στον προσδιορισμό του προκύπτοντος. Μεταξύ των πιο γνωστών, τα ακόλουθα ξεχωρίζουν:
Μέθοδος παραλληλογράμμου
Για να γίνει η προσθήκη ή αφαίρεση δύο διανυσμάτων, ένα σημείο επιλέγεται από κοινού στον άξονα συντεταγμένων - που θα αντιπροσωπεύει το σημείο προέλευσης των διανυσμάτων -, διατηρώντας την ενότητα, την κατεύθυνση και την κατεύθυνση..
Κατόπιν γραμμές σχεδιάζονται παράλληλα με τους φορείς για να σχηματίσουν παραλληλόγραμμο. Ο προκύπτων φορέας είναι η διαγώνια που φεύγει από το σημείο προέλευσης και των δύο διανυσμάτων μέχρι την κορυφή του παραλληλογράμμου:
Τριγωνική μέθοδος
Στη μέθοδο αυτή οι φορείς τοποθετούνται το ένα δίπλα στο άλλο, διατηρώντας τις μονάδες, τις κατευθύνσεις και τις διευθύνσεις τους. Ο προκύπτων φορέας θα είναι η ένωση της προέλευσης του πρώτου φορέα με το τέλος του δεύτερου φορέα:
Αναλυτικές μέθοδοι
Μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο ή περισσότερους φορείς διαμέσου μιας γεωμετρικής ή διανυσματικής μεθόδου:
Γεωμετρική μέθοδος
Όταν δύο φορείς σχηματίζουν ένα τρίγωνο ή παραλληλόγραμμο, το μέτρο και η κατεύθυνση του προκύπτοντος φορέα μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τους νόμους του ημιτονοειδούς και του συνημιτονίου. Έτσι, η ενότητα του προκύπτοντος φορέα, εφαρμόζοντας το νόμο του συνημιτονίου και με τη μέθοδο του τριγώνου, δίνεται από:
Σ 'αυτόν τον τύπο β είναι η γωνία αντίθετη προς την πλευρά R, και αυτή είναι ίση με 180 ° - t.
Αντίθετα, με τη μέθοδο παραλληλογράμμου η προκύπτουσα ενότητα διάνυσμα είναι:
Η κατεύθυνση του προκύπτοντος φορέα δίνεται από τη γωνία (α), η οποία σχηματίζει το προκύπτον με έναν από τους φορείς.
Με το δίκαιο του μαστού, η προσθήκη ή αφαίρεση του φορείς μπορούν επίσης να κατασκευαστούν με την μέθοδο του τριγώνου ή παραλληλογράμμου, γνωρίζοντας ότι όλες οι πλευρές τριγώνου είναι ανάλογες με τις ημίτονα των γωνιών Dapper:
Μέθοδος διάνυσμα
Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: ανάλογα με τις ορθογώνιες συντεταγμένες τους ή τους βασικούς τους φορείς.
Μπορεί να γίνει με τη μεταφορά των διανυσμάτων που πρέπει να προστεθούν ή να αφαιρεθούν στην προέλευση των συντεταγμένων και στη συνέχεια όλες οι προεξοχές σε κάθε άξονα για το επίπεδο x, και, z). Τέλος, τα συστατικά του προστίθενται αλγεβρικά. Έτσι, για το αεροπλάνο είναι:
Η ενότητα του προκύπτοντος φορέα είναι:
Ενώ για το διάστημα είναι:
Η ενότητα του προκύπτοντος φορέα είναι:
Κατά την εκτέλεση των ποσών διανυσμάτων εφαρμόζονται διάφορες ιδιότητες, οι οποίες είναι:
- Συνεταιριστική ιδιότητα: το αποτέλεσμα δεν μεταβάλλεται με την προσθήκη δύο φορέων πρώτα και στη συνέχεια με την προσθήκη ενός τρίτου φορέα.
- Επαναστατική ιδιότητα: η σειρά των διανυσμάτων δεν μεταβάλλει το αποτέλεσμα.
- Διανεμητική ιδιότητα διανυσμάτων: εάν ένα βαθμωτό πολλαπλασιάζεται επί το άθροισμα δύο διανυσμάτων, είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό της κλίμακας για κάθε διάνυσμα.
- Κλίμακα διανεμητικής ιδιότητας: εάν ένας διάνυσμα πολλαπλασιαστεί με το άθροισμα των δύο κλιμακίων, είναι ίσος με τον πολλαπλασιασμό του φορέα για κάθε κλιμακωτό.
Πολλαπλασιασμός των φορέων
Ο πολλαπλασιασμός ή το προϊόν των φορέων θα μπορούσε να γίνει ως προσθήκη ή αφαίρεση, αλλά με αυτόν τον τρόπο, χάνει το φυσικό νόημα και σχεδόν ποτέ δεν βρίσκεται μέσα στις εφαρμογές. Επομένως, γενικά τα πιο χρησιμοποιούμενα είδη προϊόντων είναι το κλιμακωτό και διανυσματικό προϊόν.
Scalar προϊόν
Είναι επίσης γνωστό ως προϊόν κουκκίδων δύο διανυσμάτων. Όταν τα δομοστοιχεία των δύο διανυσμάτων πολλαπλασιάζονται με το συνημίτονο της μικρής γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ τους, λαμβάνεται ένα βαθμιδωτό. Για να τοποθετήσετε ένα διαβαθμισμένο προϊόν μεταξύ δύο διανυσμάτων, τοποθετείται ένα σημείο μεταξύ τους και αυτό μπορεί να οριστεί ως:
Η τιμή της γωνίας που υπάρχει μεταξύ των δύο διανυσμάτων θα εξαρτηθεί από το εάν είναι παράλληλες ή κάθετες. Έτσι, πρέπει:
- Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και έχουν την ίδια αίσθηση, το συνημίτονο 0ο = 1.
- Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και έχουν αντίθετες αισθήσεις, το συνημίτονο 180º = -1.
- Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το συνημίτονο είναι 90º = 0.
Η γωνία αυτή μπορεί επίσης να υπολογιστεί γνωρίζοντας ότι:
Το κλιμακωτό προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- Επαναστατική ιδιότητα: η σειρά των διανυσμάτων δεν μεταβάλλει το κλιμακωτό.
-Διανεμητική ιδιότητα: εάν ένα βαθμωτό πολλαπλασιάζεται επί το άθροισμα δύο διανυσμάτων, είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό του κλιμακίου για κάθε διάνυσμα.
Προϊόν διάνυσμα
Ο πολλαπλασιασμός του φορέα ή το σταυροειδές προϊόν των δύο φορέων Α και Β θα οδηγήσει σε ένα νέο φορέα C και εκφράζεται χρησιμοποιώντας μια διασταύρωση μεταξύ των φορέων:
Ο νέος φορέας θα έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Με αυτόν τον τρόπο:
- Η κατεύθυνση: αυτός ο νέος φορέας θα είναι κάθετος στο επίπεδο, ο οποίος καθορίζεται από τους αρχικούς φορείς.
- Η έννοια: αυτό καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπου το διάνυσμα Α περιστρέφεται προς Β δείχνοντας την κατεύθυνση περιστροφής με τα δάκτυλα και με τον αντίχειρα επισημαίνεται η κατεύθυνση του διανύσματος.
- Η ενότητα: καθορίζεται από τον πολλαπλασιασμό των ενοτήτων των φορέων AxB, από το ημίτονο της μικρότερης γωνίας που υπάρχει μεταξύ αυτών των διανυσμάτων. Εκφράζεται:
Η τιμή της γωνίας που υπάρχει μεταξύ των δύο διανυσμάτων θα εξαρτηθεί από το εάν είναι παράλληλες ή κάθετες. Στη συνέχεια, είναι δυνατόν να επιβεβαιώσουμε τα εξής:
- Αν οι φορείς είναι παράλληλοι και έχουν την ίδια αίσθηση, η αμαρτία 0º = 0.
- Εάν οι φορείς είναι παράλληλοι και έχουν αντίθετες αισθήσεις, ημιτονοειδές 180 ° = 0.
- Εάν οι διανύσματα είναι κάθετοι, ημιτονοειδής 90º = 1.
Όταν ένα προϊόν φορέα εκφράζεται με βάση τους βασικούς φορείς του, πρέπει:
Το κλιμακωτό προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- Δεν είναι commutative: η σειρά των φορέων αλλάζει το κλιμακωτό.
- Διανεμητική ιδιότητα: εάν ένα βαθμωτό πολλαπλασιάζεται επί το άθροισμα δύο διανυσμάτων, είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό του κλιμακίου για κάθε διάνυσμα.
Αναφορές
- Altman Naomi, Μ. Κ. (2015). "Απλή γραμμική παλινδρόμηση." Μέθοδοι φύσης .
- Angel, Α. R. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson,.
- Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
- Gusiatnikov, Ρ., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr σε Vectorial στα Παραδείγματα. Μόσχα: Μιρ.
- Lay, D. C. (2007). Γραμμική άλγεβρα και οι εφαρμογές της. Εκπαίδευση Pearson.
- Llinares, J.F. (2009). Γραμμική άλγεβρα: χώρος Vector. Ευκλείδειο διανυσματικό χώρο. Πανεπιστήμιο του Αλικάντε.
- Mora, J.F. (2014). Γραμμική άλγεβρα Πατρίδα.