Νόμοι του Morgan



Το λμάτια του Morgan είναι κανόνες συμπερασμάτων που χρησιμοποιούνται στην προτεινόμενη λογική, που καθορίζουν το αποτέλεσμα της άρνησης μιας διάσπασης και ενός συνδυασμού προτάσεων ή προτεινόμενων μεταβλητών. Αυτοί οι νόμοι καθορίστηκαν από τον μαθηματικό Augustus De Morgan.

Οι νόμοι του Morgan αντιπροσωπεύουν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για να αποδείξει την εγκυρότητα ενός μαθηματικού συλλογισμού. Αργότερα γενικεύθηκαν μέσα στην έννοια των συνόλων από τον μαθηματικό George Boole.

Αυτή η γενίκευση από την Boole είναι απολύτως ισοδύναμη με τους αρχικούς νόμους της Morgan, αλλά αναπτύσσεται ειδικά για σετ και όχι για προτάσεις. Αυτή η γενίκευση είναι επίσης γνωστή ως νόμοι του Morgan.

Ευρετήριο

  • 1 Ανασκόπηση της προτεινόμενης λογικής
    • 1.1 Πλάνη
    • 1.2 Προτάσεις
  • 2 Νόμους της Morgan
    • 2.1 Επίδειξη
  • 3 Σετ
    • 3.1 Ένωση, τομή και συμπληρωματικά σύνολα
  • 4 Νόμοι της Morgan για σύνολα
  • 5 Αναφορές

Ανασκόπηση της προτεινόμενης λογικής

Πριν εξετάσουμε τι ακριβώς είναι οι νόμοι του Morgan και πώς χρησιμοποιούνται, είναι χρήσιμο να θυμηθούμε κάποιες βασικές έννοιες της προτεινόμενης λογικής. (Για περισσότερες λεπτομέρειες δείτε το άρθρο της προτεινόμενης λογικής).

Στον τομέα της μαθηματικής (ή προτασιακής) λογικής, ένα συμπέρασμα είναι ένα συμπέρασμα που εκπέμπεται από ένα σύνολο εγκαταστάσεων ή υποθέσεων. Αυτό το συμπέρασμα, μαζί με τους προαναφερθέντες χώρους, οδηγεί σε αυτό που είναι γνωστό ως μαθηματικός συλλογισμός.

Η συλλογιστική αυτή πρέπει να μπορεί να αποδειχθεί ή να απορριφθεί. δηλαδή ότι δεν ισχύουν όλα τα συμπεράσματα ή τα συμπεράσματα σε ένα μαθηματικό σκεπτικό.

Πλάνη

Ένας ψευδής συμπερασμός που εκπέμπεται από ορισμένες υποθέσεις που υποτίθεται ότι είναι αληθινοί είναι γνωστός ως πλάνη. Οι πλάνες έχουν την ιδιαιτερότητα ότι είναι επιχειρήματα που φαίνονται σωστά, αλλά μαθηματικά δεν είναι.

Η φιλοσοφική λογική είναι υπεύθυνη για την ακριβή ανάπτυξη και παροχή μεθόδων μέσω των οποίων μπορεί κανείς, χωρίς οποιαδήποτε αμφισημία, να επικυρώσει ή να αντικρούσει μια μαθηματική λογική. δηλαδή, συνάγει ένα έγκυρο συμπέρασμα από τις εγκαταστάσεις. Αυτές οι μέθοδοι είναι γνωστές ως κανόνες συμπερασμάτων, των οποίων οι νόμοι της Morgan αποτελούν μέρος.

Προτάσεις

Τα βασικά στοιχεία της προτεινόμενης λογικής είναι προτάσεις. Οι προτάσεις είναι δηλώσεις για τις οποίες κάποιος μπορεί να πει αν είναι έγκυροι ή όχι, αλλά ότι δεν μπορούν να είναι αληθινοί ή ψευδείς ταυτόχρονα. Δεν πρέπει να υπάρξει ασάφεια σε αυτό το θέμα.

Ακριβώς όπως οι αριθμοί μπορούν να συνδυαστούν μέσω των πράξεων προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, οι προτάσεις μπορούν να λειτουργούν με τη βοήθεια των γνωστών συνδετικών (ή συνδετήρων) λογικών: άρνηση (¬, όχι), διάσπαση , "O"), συνδυασμό (Ʌ, "και"), υπό όρους (→, αν ... και στη συνέχεια ...).

Για να εργαστούμε γενικότερα, αντί να εξετάζουμε συγκεκριμένες προτάσεις, θεωρούμε προτασιακές μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν οποιεσδήποτε προτάσεις και συνήθως υποδηλώνονται με πεζά γράμματα p, q, r, s κ.λπ..

Μια προτεινόμενη φόρμουλα είναι ένας συνδυασμός προτεινόμενων μεταβλητών μέσω ορισμένων λογικών συνδετικών. Με άλλα λόγια, είναι μια σύνθεση προτεινόμενων μεταβλητών. Συνήθως σημειώνονται με ελληνικά γράμματα.

Λέγεται ότι ένας προτεινόμενος τύπος υπονοεί λογικά ένα άλλο όταν αυτό είναι αληθές κάθε φορά που το πρώτο είναι αληθινό. Αυτό υποδηλώνεται από:

Όταν η λογική συνέπεια ανάμεσα σε δύο προτασιακούς τύπους είναι αμοιβαία - δηλαδή, όταν η προηγούμενη συνέπεια είναι έγκυρη και στην αντίθετη κατεύθυνση - οι τύποι λέγονται λογικά ισοδύναμοι και υποδηλώνεται από

Η λογική ισοδυναμία είναι ένα είδος ισότητας μεταξύ των προτεινόμενων τύπων και επιτρέπει την αντικατάσταση του ενός για τον άλλο όταν είναι απαραίτητο.

Νόμοι του Morgan

Οι νόμοι του Morgan αποτελούνται από δύο λογικές ισοδυναμίες μεταξύ δύο προτεινόμενων μορφών, δηλαδή:

Αυτοί οι νόμοι επιτρέπουν να διαχωρίσουμε την άρνηση ενός διαχωρισμού ή ενός συνδυασμού, ως αρνητικές από τις μεταβλητές που εμπλέκονται.

Το πρώτο μπορεί να διαβάσει ως εξής: η άρνηση μιας διαταγής είναι ίση με τη σχέση των αρνητικών. Και το δεύτερο διαβάζει έτσι: η άρνηση ενός συνδυασμού είναι η αποσύνδεση των αρνητικών.

Με άλλα λόγια, η άρνηση της αποσύνδεσης δύο προτεινόμενων μεταβλητών είναι ισοδύναμη με τη σχέση των αρνητικών και των δύο μεταβλητών. Ομοίως, η άρνηση του συνδυασμού δύο προτεινόμενων μεταβλητών είναι ισοδύναμη με τη διάσπαση των αρνητικών και των δύο μεταβλητών.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η υποκατάσταση αυτής της λογικής ισοδυναμίας συμβάλλει στην απόδειξη σημαντικών αποτελεσμάτων, μαζί με τους άλλους υπάρχοντες κανόνες συμπερασμάτων. Με αυτά μπορείτε να απλοποιήσετε πολλούς προτεινόμενους τύπους, έτσι ώστε να είναι πιο χρήσιμο να εργαστούν.

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα μαθηματικής απόδειξης που χρησιμοποιεί κανόνες συμπερασμάτων, μεταξύ αυτών των νόμων της Morgan. Συγκεκριμένα, φαίνεται ότι ο τύπος:

είναι ισοδύναμο με:

Το τελευταίο είναι απλούστερο στην κατανόηση και την ανάπτυξη.

Επίδειξη

Αξίζει να σημειωθεί ότι η εγκυρότητα των νόμων της Morgan μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά. Ένας τρόπος είναι να συγκρίνετε τους πίνακες αλήθειας σας.

Σετ

Οι ίδιοι κανόνες συμπερασμού και οι έννοιες της λογικής που εφαρμόζονται στις προτάσεις, μπορούν επίσης να αναπτυχθούν εξετάζοντας σύνολα. Αυτό είναι αυτό που είναι γνωστό ως Boolean άλγεβρα, μετά από τον μαθηματικό George Boole.

Για να διαφοροποιήσουμε τις περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να αλλάξουμε τη σημείωση και τη μεταφορά σε σύνολα, όλες τις έννοιες που έχουν ήδη δει στην λογική της προτεινόμενης.

Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. Τα σύνολα υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ, Χ, ... και τα στοιχεία ενός συνόλου σημειώνονται με πεζά γράμματα a, b, c, x, κλπ. Όταν ένα στοιχείο a ανήκει σε ένα σύνολο X, συμβολίζεται με:

Όταν δεν ανήκει στο Χ, ο συμβολισμός είναι:

Ο τρόπος αναπαραγωγής των συνόλων τοποθετεί τα στοιχεία τους μέσα στα πλήκτρα. Για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών αντιπροσωπεύεται από:

Τα σύνολα μπορούν επίσης να εκπροσωπούνται χωρίς να γράφουν μια ρητή λίστα των στοιχείων τους. Μπορούν να εκφράζονται με τη μορφή :. Τα δύο σημεία διαβάζονται "έτσι ώστε". Μια μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τα στοιχεία του συνόλου είναι τοποθετημένη στα αριστερά των δύο σημείων και η ιδιότητα ή η κατάσταση που ικανοποιούν τοποθετείται στη δεξιά πλευρά. Αυτό είναι:

Για παράδειγμα, το σύνολο των ακέραιων αριθμών μεγαλύτερο από -4 μπορεί να εκφραστεί ως:

Ή ισοδύναμα και πιο συντομευμένα, όπως:

Παρομοίως, οι ακόλουθες εκφράσεις αντιπροσωπεύουν τα σύνολα ομοιόμορφων και μονών αριθμών, αντίστοιχα:

Ένωση, τομή και συμπληρώματα σετ

Στη συνέχεια θα δούμε τα ανάλογα του λογικού συνδετικού στην περίπτωση των συνόλων, τα οποία αποτελούν μέρος των βασικών λειτουργιών μεταξύ συνόλων.

Ένωση και τομή

Η ένωση και η τομή των συνόλων καθορίζονται, αντίστοιχα, με τον ακόλουθο τρόπο:

Για παράδειγμα, εξετάστε τα σύνολα:

Στη συνέχεια, πρέπει:

Συμπλήρωμα

Το συμπλήρωμα ενός συνόλου σχηματίζεται από τα στοιχεία που δεν ανήκουν σε αυτό το σύνολο (του ίδιου τύπου που αντιπροσωπεύει το πρωτότυπο). Το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α, συμβολίζεται με:

Για παράδειγμα, μέσα στους φυσικούς αριθμούς, το συμπλήρωμα του συνόλου των ζυγών αριθμών είναι αυτό των μονών αριθμών και αντιστρόφως.

Για να προσδιοριστεί το συμπλήρωμα ενός συνόλου πρέπει να είναι σαφές από την αρχή το γενικό ή κύριο σύνολο στοιχείων που εξετάζονται. Για παράδειγμα, δεν είναι ίσο να θεωρήσουμε το συμπλήρωμα ενός συνόλου για τους φυσικούς αριθμούς που αφορούν τις ορθολογικές.

Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τη σχέση ή την αναλογία που υπάρχει μεταξύ των λειτουργιών σε προκαθορισμένα σύνολα και των συνδετικών εκείνων της προτεινόμενης λογικής:

Νόμοι της Morgan για σύνολα

Τέλος, οι νόμοι της Morgan για σύνολα είναι:

Με λέξεις: το συμπλήρωμα μιας ένωσης είναι η τομή των συμπληρωμάτων και το συμπλήρωμα μιας διασταύρωσης είναι η ένωση των συμπληρωμάτων.

Μια μαθηματική απόδειξη της πρώτης ισότητας θα ήταν η εξής:

Η επίδειξη του δεύτερου είναι ανάλογη.

Αναφορές

  1. Almaguer, G. (2002). Μαθηματικά 1. Συντάκτης Limusa.
  2. Aylwin, C.U. (2011). Λογική, σύνολα και αριθμοί. Mérida - Βενεζουέλα: Συμβούλιο Δημοσιεύσεων, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, Η., Diaz, Ρ., Murillo, Μ. & Soto, Α. (1998). Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Βασικό μάθημα στη θεωρία αριθμών. Πανεπιστήμιο του Βορρά.
  5. Cofr, Α., & Tapia, L. (1995). Πώς να αναπτύξετε τη μαθηματική λογική λογική. Πανεπιστημιακό Σύνταγμα.
  6. Guevara, Μ. Η. (S.f.). Θεωρία των αριθμών. EUNED.
  7. Zaragoza, Α.Ο. (s.f.). Θεωρία αριθμών. Editorial Βιβλία Όραμα.