Οι νόμοι των εκθετών (με παραδείγματα και ασκήσεις που επιλύθηκαν)

Το νόμους των εκπροσώπων είναι εκείνες που ισχύουν για αυτόν τον αριθμό που δείχνει πόσες φορές ένας αριθμός βάσης πρέπει να πολλαπλασιαστεί από τον ίδιο. Οι εκθέτες είναι επίσης γνωστοί ως δυνάμεις. Η δύναμη είναι μια μαθηματική λειτουργία που αποτελείται από μια βάση (α), τον εκθέτη (m) και την ισχύ (b), που είναι αποτέλεσμα της πράξης.

Οι εκθέτες χρησιμοποιούνται γενικά όταν χρησιμοποιούνται πολύ μεγάλες ποσότητες, επειδή αυτές είναι απλώς συντομογραφίες που αντιπροσωπεύουν τον πολλαπλασιασμό του ίδιου αριθμού μερικές φορές. Οι εκθέτες μπορούν να είναι θετικοί και αρνητικοί.

Ευρετήριο

• 1 Επεξήγηση των νόμων των εκθετών
  • 1.1 Πρώτος νόμος: δύναμη εκθέτη ίση με 1
  • 1.2 Δεύτερος νόμος: δύναμη εκθέτη ίση με 0
  • 1.3 Τρίτος νόμος: αρνητικός εκθέτης
  • 1.4 Τέταρτος νόμος: πολλαπλασιασμός των εξουσιών με ίση βάση
  • 1.5 Πέμπτος νόμος: κατανομή των εξουσιών με ίση βάση
  • 1.6 Έκτος νόμος: πολλαπλασιασμός των εξουσιών με διαφορετική βάση
  • 1.7 Έβδομος νόμος: κατανομή των εξουσιών με διαφορετική βάση
  • 1.8 Ο όγδοος νόμος: δύναμη μιας εξουσίας
  • 1.9 Ενάτος νόμος: κλασματικός εκθέτης
• 2 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 2.1 Άσκηση 1
  • 2.2 Άσκηση 2
• 3 Αναφορές

Επεξήγηση των νόμων των εκπροσώπων

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι εκθέτες αποτελούν σύντμηση αντιπροσωπεύει τον πολλαπλασιασμό των ίδιων των αριθμών αρκετές φορές, όπου ο εκθέτης σχετίζεται μόνο με τον αριθμό του αριστερού. Για παράδειγμα:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός 2 είναι η βάση της ισχύος, η οποία πολλαπλασιάζεται 3 φορές, όπως υποδεικνύει ο εκθέτης, που βρίσκεται στην επάνω δεξιά γωνία της βάσης. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ανάγνωσης της έκφρασης: 2 ανυψωμένοι σε 3 ή επίσης 2 ανυψωμένοι στον κύβο.

Εκθέτες δείχνουν επίσης τον αριθμό των φορών που μπορεί να διαιρεθεί και να διαφοροποιηθούν αυτή η λειτουργία πολλαπλασιασμού εκθέτης παίρνει το μείον (-) μπροστά από μόνη της (αρνητικό), πράγμα που σημαίνει ότι ο εκθέτης είναι στον παρονομαστή του κλάσμα. Για παράδειγμα:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με την περίπτωση όπου η βάση είναι αρνητική, καθώς θα εξαρτηθεί από το αν ο εκθέτης είναι μονός ή ακόμα και για να καθορίσει εάν η δύναμη θα είναι θετικό ή αρνητικό. Έτσι πρέπει να:

- Εάν ο εκθέτης είναι ομοιόμορφος, η ισχύς θα είναι θετική. Για παράδειγμα:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Εάν ο εκθέτης είναι παράξενος, η ισχύς θα είναι αρνητική. Για παράδειγμα:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Υπάρχει μια ειδική περίπτωση στην οποία αν ο εκθέτης ισούται με 0, η ισχύς είναι ίση με 1. Υπάρχει επίσης η πιθανότητα ότι η βάση είναι 0. σε αυτή την περίπτωση, ανάλογα με την έκθεση, η ισχύς θα είναι απροσδιόριστη ή όχι.

Για να εκτελέσετε μαθηματικές λειτουργίες με τους εκθέτες, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε αρκετούς κανόνες ή κανόνες που διευκολύνουν την εξεύρεση λύσης για αυτές τις λειτουργίες.

Πρώτος νόμος: δύναμη εκθέτη ίση με 1

Όταν ο εκθέτης είναι 1, το αποτέλεσμα θα είναι η ίδια τιμή της βάσης: a¹ = α.

Παραδείγματα

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Δεύτερος νόμος: δύναμη εκθέτη ίση με 0

Όταν ο εκθέτης είναι 0, αν η βάση είναι μηδενική, το αποτέλεσμα θα είναι:, a⁰ = 1.

Παραδείγματα

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Τρίτος νόμος: αρνητικός εκθέτης

Δεδομένου ότι το εκθέμα είναι αρνητικό, το αποτέλεσμα θα είναι ένα κλάσμα, όπου η δύναμη θα είναι ο παρονομαστής. Για παράδειγμα, αν το m είναι θετικό, τότε a^-m = 1 / α^m.

Παραδείγματα

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Τέταρτος νόμος: πολλαπλασιασμός των εξουσιών με ίση βάση

Για να πολλαπλασιάσουμε τις δυνάμεις όπου οι βάσεις είναι ίσες και διαφορετικές από το 0, η βάση διατηρείται και οι εκθέτες προστίθενται: α^m _* αⁿ = α^{m + n}.    

Παραδείγματα

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Πέμπτος νόμος: κατανομή των εξουσιών με ίση βάση

Για να διαιρέσουμε τις δυνάμεις στις οποίες οι βάσεις είναι ίσες και διαφορετικές από το 0, η βάση διατηρείται και οι εκθέτες αφαιρούνται ως εξής: a^m / αⁿ = α^m-n.    

Παραδείγματα

- 9² / 9¹ = 9 ^(2-1) = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^(15-10) = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^(12-6) = 49⁶.

Έκτος νόμος: πολλαπλασιασμός των εξουσιών με διαφορετική βάση

Σε αυτόν τον νόμο έχουμε το αντίθετο από αυτό που εκφράζεται στο τέταρτο. δηλαδή εάν υπάρχουν διαφορετικές βάσεις αλλά με ίσους εκθέτες, οι βάσεις πολλαπλασιάζονται και ο εκθέτης διατηρείται: a^m _* β^m = (α_*β) ^m.

Παραδείγματα

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Ένας άλλος τρόπος να αναπαραστήσουμε αυτόν τον νόμο είναι όταν ένας πολλαπλασιασμός ανυψώνεται σε μια εξουσία. Έτσι, ο εκθέτης θα ανήκει σε κάθε έναν από τους όρους: (a_*β)^m= α^m_* β^m.

Παραδείγματα

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Έβδομος νόμος: κατανομή των εξουσιών με διαφορετική βάση

Αν υπάρχουν διαφορετικές βάσεις αλλά με ίσους εκθέτες, οι βάσεις διαιρούνται και ο εκθέτης διατηρείται: α^m / β^m = (α / β)^m.

Παραδείγματα

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Ομοίως, όταν ένα τμήμα είναι ανυψωμένο σε μια δύναμη, ο εκθέτης θα ανήκει σε καθέναν από τους όρους: (a / β) ^m = α^m / β^m.

Παραδείγματα

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Υπάρχει μια περίπτωση στην οποία ο εκθέτης είναι αρνητικός. Έτσι, για να είναι θετική, η αξία του αριθμητή αντιστρέφεται με την αξία του παρονομαστή, με τον ακόλουθο τρόπο:

- (α / β)^-n = (β / α)ⁿ = βⁿ / αⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Όγδοο νόμο: δύναμη μιας εξουσίας

Όταν αυτό έχει υψηλή ισχύ σε ένα άλλο -es δύναμη, δύο εκθέτες ταυτόχρονα, η βάση θα διατηρηθεί και θα πολλαπλασιάσει τις εκθέτες: (α^m)ⁿ= α^{m *n}.

Παραδείγματα

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Ενδέκατος νόμος: κλασματικός εκθέτης

Εάν η ισχύς είναι ένα κλάσμα ως εκθέτης, αυτό έχει επιλυθεί σε σε μια νιοστή ρίζα, όπου ο εκθέτης αριθμητής παραμένει και ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει το δείκτη της ρίζας:

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Υπολογίστε τις λειτουργίες μεταξύ των δυνάμεων που έχουν διαφορετικές βάσεις:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Λύση

Εφαρμόζοντας τους κανόνες των εκθετών, στον αριθμητή οι βάσεις πολλαπλασιάζονται και ο εκθέτης διατηρείται, όπως παρακάτω:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Τώρα, αφού έχουμε τις ίδιες βάσεις αλλά με διαφορετικούς εκθέτες, η βάση διατηρείται και οι εκθέτες αφαιρούνται:

 8⁴ / 8² = 8^(4-2) = 8²

Άσκηση 2

Υπολογίστε τις λειτουργίες μεταξύ των μεγάλων δυνάμεων σε άλλη ισχύ:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Λύση

Εφαρμόζοντας τους νόμους, πρέπει:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46.656

Αναφορές

1. Aponte, G. (1998). Θεμελιώδη Βασικά Μαθηματικά. Εκπαίδευση Pearson.
2. Corbalán, F. (1997). Τα μαθηματικά εφαρμόζονται στην καθημερινή ζωή.
3. Jiménez, J. R. (2009). Μαθηματικά 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Άλγεβρα και τριγωνομετρία.
5. Rees, Ρ. Κ. (1986). Επαναστροφή.