Ιστορία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, βασικές έννοιες και παραδείγματα

Το Ευκλείδεια γεωμετρία αντιστοιχεί στη μελέτη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών χώρων όπου ικανοποιούνται τα αξιώματα του Ευκλείδη. Ενώ αυτός ο όρος χρησιμοποιείται μερικές φορές για να καλύψει γεωμετρίες που έχουν ανώτερες διαστάσεις με παρόμοιες ιδιότητες, είναι συνήθως συνώνυμη με την κλασική γεωμετρία ή την επίπεδη γεωμετρία..

Τον τρίτο αιώνα α. Γ. Ο Ευκλείδης και οι μαθητές του έγραψαν το Στοιχεία, ένα έργο που περιλάμβανε τη μαθηματική γνώση του χρόνου που ήταν εφοδιασμένη με μια λογική-παραπλανητική δομή. Από τότε, η γεωμετρία έχει γίνει μια επιστήμη, αρχικά για την επίλυση κλασικών προβλημάτων και έχει εξελιχθεί σε μια διαμορφωτική επιστήμη που βοηθά στη λογική.

Ευρετήριο

• 1 Ιστορία
• 2 Βασικές έννοιες
  • 2.1 Κοινές έννοιες
  • 2.2 Θέματα ή αξιώματα
• 3 Παραδείγματα
  • 3.1 Πρώτο παράδειγμα
  • 3.2 Δεύτερο παράδειγμα
  • 3.3 Τρίτο παράδειγμα
• 4 Αναφορές

Ιστορία

Για να μιλήσουμε για την ιστορία της Ευκλείδειας γεωμετρίας, είναι απαραίτητο να ξεκινήσουμε με τον Ευκλείδη της Αλεξάνδρειας και το Στοιχεία.

Όταν η Αίγυπτος ήταν στα χέρια του Πτολεμαίου Α, μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου, ξεκίνησε το έργο του σε ένα σχολείο στην Αλεξάνδρεια.

Μεταξύ των σοφών που δίδαξαν στο σχολείο ήταν ο Ευκλείδης. Θεωρείται ότι το γέννημά του χρονολογείται περίπου από 325 α. Γ. Και ο θάνατος του 265 α. Γ. Μπορούμε να γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι πήγε στο σχολείο του Πλάτωνα.

Για περισσότερο από τριάντα χρόνια ο Ευκλείδης διδάσκει στην Αλεξάνδρεια, χτίζοντας τα διάσημα στοιχεία του: άρχισε να γράφει μια εξαντλητική περιγραφή των μαθηματικών της εποχής του. Οι διδαχές του Ευκλείδη παρήγαγαν εξαιρετικούς μαθητές, όπως ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος της Πέργας.

Ο Ευκλείδης ήταν υπεύθυνος για τη δομή των ανόμοιων ανακαλύψεων των κλασικών Ελλήνων στην Στοιχεία, αλλά σε αντίθεση με τους προκατόχους του, δεν περιορίζεται στην επιβεβαίωση ότι ένα θεώρημα είναι αληθινό. Ο Ευκλείδης προσφέρει μια επίδειξη.

Το Στοιχεία Είναι μια συλλογή δεκατριών βιβλίων. Μετά τη Βίβλο, είναι το πιο δημοσιευμένο βιβλίο, με περισσότερες από χίλιες εκδόσεις.

Το Στοιχεία είναι το αριστούργημα του Ευκλείδη στον τομέα της γεωμετρίας και προσφέρει μια οριστική αντιμετώπιση της γεωμετρίας των δύο διαστάσεων (του επιπέδου) και των τριών διαστάσεων (χώρου), που είναι η προέλευση αυτού που τώρα γνωρίζουμε ως Ευκλείδεια γεωμετρία.

Βασικές έννοιες

Τα στοιχεία αποτελούνται από ορισμούς, κοινές έννοιες και αξιώματα (ή αξίωμα) που ακολουθούνται από θεωρήματα, κατασκευές και διαδηλώσεις.

- Ένα σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρη.

- Μια γραμμή είναι ένα μήκος που δεν έχει πλάτος.

- Μια ευθεία γραμμή είναι αυτή που βρίσκεται εξίσου σε σχέση με τα σημεία που βρίσκονται σε αυτό.

- Αν οι δύο γραμμές είναι κομμένες έτσι ώστε οι γειτονικές γωνίες να είναι ίσες, οι γωνίες καλούνται ευθεία και οι γραμμές καλούνται κάθετες..

- Παράλληλες γραμμές είναι εκείνες που, στο ίδιο επίπεδο, δεν κόβονται ποτέ.

Μετά από αυτούς και άλλους ορισμούς, η Euclid παρουσιάζει έναν κατάλογο πέντε αξιωματικών και πέντε εννοιών.

Κοινές έννοιες

- Δύο πράγματα που είναι ίσα με ένα τρίτο, είναι ίσα μεταξύ τους.

- Αν τα ίδια πράγματα προστίθενται στα ίδια πράγματα, τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.

- Εάν τα ίδια πράγματα αφαιρεθούν από τα ίδια πράγματα, τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.

- Τα πράγματα που ταιριάζουν μεταξύ τους είναι ίσα μεταξύ τους.

- Το σύνολο είναι μεγαλύτερο από ένα μέρος.

Θέματα ή αξιώματα

- Για δύο διαφορετικά σημεία περνά μία και μόνο μία γραμμή.

- Οι ευθείες γραμμές μπορούν να επεκταθούν επ 'αόριστον.

- Μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα.

- Όλες οι γωνίες είναι ίδιες.

- Αν μια ευθεία γραμμή διασχίζει δύο ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εσωτερικές γωνίες της ίδιας πλευράς να προστίθενται σε λιγότερες από δύο ορθές γωνίες, τότε οι δύο γραμμές θα διασταυρώνονται από εκείνη την πλευρά.

Αυτό το τελευταίο αξίωμα είναι γνωστό ως ο ισχυρισμός των παραλλήλων και αναδιατυπώθηκε ως εξής: "Για ένα σημείο έξω από μια γραμμή, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα παράλληλο με τη δεδομένη γραμμή".

Παραδείγματα

Στη συνέχεια, ορισμένα θεωρήματα του Στοιχεία θα χρησιμεύσουν για να δείξουν τις ιδιότητες των γεωμετρικών χώρων όπου πληρούνται τα πέντε αξιώματα του Euclid. Επιπλέον, θα απεικονίσουν την λογική-deductive λογική που χρησιμοποιείται από αυτόν τον μαθηματικό.

Πρώτο παράδειγμα

Πρόταση 1.4. (LAL)

Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι ίση, τότε οι άλλες πλευρές και οι άλλες γωνίες είναι ίσες.

Επίδειξη

Αφήστε τα ABC και A'B'C να είναι δύο τρίγωνα με AB = A'B ', AC = A'C' και τις γωνίες BAC και B'A'C 'ίσες. Μετακινήστε στο τρίγωνο A'B'C 'έτσι ώστε το A'B' να συμπίπτει με το AB και η γωνία B'A'C να συμπίπτει με τη γωνία BAC.

Στη συνέχεια, η γραμμή A'C 'συμπίπτει με τη γραμμή AC, έτσι ώστε το C' να συμπίπτει με το C. Στη συνέχεια, από το postulate 1, η γραμμή BC πρέπει να συμπίπτει με τη γραμμή B'C '. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν και, κατά συνέπεια, οι γωνίες και οι πλευρές τους είναι ίσες.

Δεύτερο παράδειγμα

Πρόταση 1.5. (Pons Asinorum)

Εάν ένα τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, τότε οι γωνίες απέναντι από αυτές τις πλευρές είναι ίσες.

Επίδειξη

Υποθέστε ότι το τρίγωνο ABC έχει ίσες πλευρές AB και AC.

Στη συνέχεια, τα τρίγωνα ABD και ACD έχουν δύο ίσες πλευρές και οι γωνίες μεταξύ τους είναι ίσες. Έτσι, με την πρόταση 1.4, οι γωνίες ABD και ACD είναι ίσες.

Τρίτο παράδειγμα

Πρόταση 1.31

Μπορείτε να δημιουργήσετε μια γραμμή παράλληλη με μια γραμμή που δίνεται από ένα δεδομένο σημείο.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Έχοντας μια γραμμή L και ένα σημείο P, τραβιέται μια ευθεία γραμμή M που διέρχεται από το P και κόβει σε L. Κατόπιν μια ευθεία γραμμή N τραβιέται από το P που κόβει στο L. Τώρα, εντοπίζουμε από P ένα ευθύ N που κόβει στο M, σχηματίζοντας μια γωνία ίση με αυτή που σχηματίζει το L με το Μ.

Επιβεβαίωση

Το N είναι παράλληλο με το L.

Επίδειξη

Υποθέστε ότι οι L και N δεν είναι παράλληλες και τέμνονται σε ένα σημείο A. Αφήνω B να είναι ένα σημείο στο L πέρα ​​από το A. Θεωρήστε τη γραμμή O που διέρχεται από τα B και P. Στη συνέχεια, το O κόβεται σε M σχηματίζοντας γωνίες που προσθέτουν λιγότερα από δύο ευθεία.

Στη συνέχεια, μέχρι 1,5 η γραμμή O πρέπει να κόψει στη γραμμή L στην άλλη πλευρά του M, έτσι L και O τέμνονται σε δύο σημεία, πράγμα που αντιφάσκει με τον postulate 1. Συνεπώς, L και N πρέπει να είναι παράλληλα.

Αναφορές

1. Στοιχεία Γεωμετρίας. Εθνικό Αυτόνομο Πανεπιστήμιο του Μεξικού
2. Ευκλείδης Τα πρώτα έξι βιβλία και το ενδέκατο και δωδέκατο στοιχείο του Ευκλείδη
3. Eugenio Filloy Yague. Διδακτική και ιστορία ευκλείδειας γεωμετρίας. Ιβηροαμερικανική συντακτική ομάδα
4. K.Ribnikov. Ιστορία των Μαθηματικών Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Βενεζουέλα Γ. Σύνταξη.