Αναλυτική γεωμετρία τι μελέτες, ιστορία, εφαρμογές

Το αναλυτική γεωμετρία μελετά τις γραμμές και τα γεωμετρικά σχήματα εφαρμόζοντας βασικές τεχνικές άλγεβρας και μαθηματική ανάλυση σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων.

Κατά συνέπεια, αναλυτική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που αναλύει λεπτομερώς όλα τα δεδομένα της γεωμετρικά σχήματα, δηλαδή, όγκο, γωνίες, περιοχή, σημεία τομής, οι αποστάσεις τους, μεταξύ άλλων.

Το θεμελιώδες χαρακτηριστικό της αναλυτικής γεωμετρίας είναι ότι επιτρέπει την αναπαράσταση των γεωμετρικών μορφών μέσω των τύπων.

Για παράδειγμα, οι κύκλοι αντιπροσωπεύονται από πολυώνυμες εξισώσεις του δεύτερου βαθμού ενώ οι γραμμές εκφράζονται με πολυωνυμικές εξισώσεις του πρώτου βαθμού.

Η αναλυτική γεωμετρία εμφανίστηκε τον δέκατο έβδομο αιώνα από την ανάγκη παροχής απαντήσεων σε προβλήματα που μέχρι τώρα δεν είχαν λύση. Είχε ως κορυφαίους εκπροσώπους René Descartes και Pierre de Fermat.

Σήμερα, πολλοί συγγραφείς τον καταδεικνύουν ως μια επαναστατική δημιουργία στην ιστορία των μαθηματικών, αφού αντιπροσωπεύει την αρχή των σύγχρονων μαθηματικών.

Ευρετήριο

• 1 Ιστορία της αναλυτικής γεωμετρίας
  • 1.1 Κύριοι εκπρόσωποι της αναλυτικής γεωμετρίας
  • 1.2 Pierre de Fermat
  • 1.3 René Descartes
• 2 Θεμελιώδη στοιχεία της αναλυτικής γεωμετρίας 
  • 2.1 Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
  • 2.2 Ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων
  • 2.3 Πολικό σύστημα συντεταγμένων 
  • 2.4 Καρτεσιανή εξίσωση της γραμμής
  • 2.5 Ευθεία γραμμή
  • 2.6 Conics
  • 2.7 Περίληψη
  • 2.8 Parabola
  • 2.9 Ελλειψη 
  • 2.10 Hyperbola
• 3 Εφαρμογές
  • 3.1 Δορυφορικό πιάτο
  • 3.2 Κρεμαστά γεφύρια
  • 3.3 Αστρονομική ανάλυση
  • 3.4 Τηλεσκόπιο Cassegrain
• 4 Αναφορές

Ιστορία της αναλυτικής γεωμετρίας

Ο όρος αναλυτική γεωμετρία εμφανίστηκε στη Γαλλία στο δέκατο έβδομο αιώνα από την ανάγκη να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα που δεν θα μπορούσε να λυθεί χρησιμοποιώντας άλγεβρα και γεωμετρία μεμονωμένα, αλλά ότι η λύση ήταν στη συνδυασμένη χρήση και των δύο.

Κύριοι εκπρόσωποι της αναλυτικής γεωμετρίας

Κατά τη διάρκεια του δέκατου έβδομου αιώνα, δύο Γάλλοι, με την ευκαιρία της ζωής, διενήργησαν έρευνες που με τον ένα ή τον άλλο τρόπο κατέληξαν στη δημιουργία αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτοί οι άνθρωποι ήταν ο Pierre de Fermat και ο René Descartes.

Προς το παρόν θεωρείται ότι ο δημιουργός της αναλυτικής γεωμετρίας ήταν ο René Descartes. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δημοσίευσε το βιβλίο του πριν από αυτό του Fermat και επίσης το βάθος με τον Descartes ασχολείται με το θέμα της αναλυτικής γεωμετρίας.

Ωστόσο, τόσο ο Fermat όσο και ο Descartes ανακάλυψαν ότι οι γραμμές και οι γεωμετρικές μορφές μπορούν να εκφράζονται με εξισώσεις και οι εξισώσεις θα μπορούσαν να εκφραστούν ως γραμμές ή γεωμετρικά σχήματα.

Σύμφωνα με τις ανακαλύψεις των δύο, μπορεί να ειπωθεί ότι και οι δύο είναι οι δημιουργοί της αναλυτικής γεωμετρίας.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat ήταν ένας Γάλλος μαθηματικός που γεννήθηκε το 1601 και πέθανε το 1665. Κατά τη διάρκεια της ζωής του μελέτησαν τη γεωμετρία του Ευκλείδη, του Απολλώνιου και του Πάππου, με σκοπό την επίλυση των προβλημάτων μέτρησης που υπήρχαν εκείνη την εποχή.

Ακολούθως αυτές οι μελέτες πυροδότησαν τη δημιουργία γεωμετρίας. Καταλήγουν να εκφράζονται στο βιβλίο του "Εισαγωγή σε επίπεδα και συμπαγή μέρη"(Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), η οποία δημοσιεύθηκε 14 χρόνια μετά το θάνατό του το 1679.

Ο Pierre de Fermat εφάρμοσε το 1623 την αναλυτική γεωμετρία στα θεωρήματα του Απολλώνιου στις γεωμετρικές θέσεις. Ήταν επίσης εκείνος που εφάρμοσε την αναλυτική γεωμετρία για πρώτη φορά στο χώρο των τριών διαστάσεων.

René Descartes

Επίσης γνωστό ως Cartesius ήταν μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος που γεννήθηκε στις 31 Μαρτίου 1596 στη Γαλλία και πέθανε το έτος 1650.

Ο René Descartes δημοσίευσε το βιβλίο του το 1637. "Ο λόγος για την ορθή οδήγηση του λόγου και την αναζήτηση της αλήθειας στην επιστήμη"Καλύτερα γνωστό ως"Η μέθοδος"Και από εκεί ο όρος αναλυτική γεωμετρία εισήχθη στον κόσμο. Ένα από τα παραρτήματά του ήταν η "Γεωμετρία".

Βασικά στοιχεία της αναλυτικής γεωμετρίας 

Η αναλυτική γεωμετρία αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Αυτό το σύστημα πήρε το όνομά του από τον René Descartes.

Δεν ήταν αυτός που τον ονόμασε ούτε που ολοκλήρωσε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, αλλά ήταν αυτός που μιλούσε για συντεταγμένες με θετικούς αριθμούς που επέτρεπαν στους μελλοντικούς μελετητές να το ολοκληρώσουν..

Το σύστημα αυτό αποτελείται από το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και το πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων

Ονομάζονται ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο που σχηματίζεται από τη γραμμή δύο αριθμητικών γραμμών κάθετων μεταξύ τους, όπου το σημείο αποκοπής συμπίπτει με το κοινό μηδέν.

Στη συνέχεια, αυτό το σύστημα θα αποτελείται από μια οριζόντια γραμμή και μια κάθετη γραμμή.

Η οριζόντια γραμμή είναι ο άξονας του Χ ή ο άξονας της τετμημένης. Η κάθετη γραμμή θα είναι ο άξονας του Υ ή ο άξονας των τεταγμένων.

Πολικό σύστημα συντεταγμένων 

Το σύστημα αυτό είναι υπεύθυνο για την επαλήθευση της σχετικής θέσης ενός σημείου σε σχέση με μια σταθερή γραμμή και ένα σταθερό σημείο στη γραμμή.

Καρτεσιανή εξίσωση της γραμμής

Αυτή η εξίσωση προκύπτει από μια γραμμή όταν είναι γνωστά δύο σημεία όπου συμβαίνει το ίδιο.

Ευθεία γραμμή

Είναι ένα που δεν αποκλίνει και συνεπώς δεν έχει καμπύλες ή γωνίες.

Conics

Είναι οι καμπύλες που ορίζονται από τις ευθείες γραμμές που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο και από τα σημεία μιας καμπύλης.

Η ελλειπτική, η περιφέρεια, η παραβολή και η υπερβολή είναι κωνικές καμπύλες. Στη συνέχεια, περιγράφεται κάθε ένα από αυτά.

Περιφέρεια

Ονομάζεται περιφέρεια στην κλειστή επίπεδη καμπύλη που σχηματίζεται από όλα τα σημεία του αεροπλάνου που ισοδυναμούν με ένα εσωτερικό σημείο, δηλαδή με το κέντρο της περιφέρειας.

Parabola

Είναι ο τόπος των σημείων του επιπέδου που είναι ισότιμος από ένα σταθερό σημείο (εστία) και μια σταθερή γραμμή (directrix). Έτσι, η κατευθυντήρια γραμμή και η εστίαση είναι αυτά που καθορίζουν την παραβολή.

Η παραβολή μπορεί να ληφθεί ως τμήμα μιας κωνικής επιφάνειας περιστροφής από ένα επίπεδο παράλληλο προς ένα γενικό σχέδιο.

Έλλειψη 

Ονομάζεται έλλειψη στην κλειστή καμπύλη που περιγράφει ένα σημείο όταν μετακινείται σε ένα επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του σε δύο (2) σταθερά σημεία (κάλεσε εστίες) να είναι σταθερό.

Hyperbola

Το Hyperbola είναι η καμπύλη που ορίζεται ως η θέση των σημείων του επιπέδου, για την οποία η διαφορά μεταξύ των αποστάσεων των δύο σταθερών σημείων (εστίες) είναι σταθερή.

Η υπερβολή έχει έναν άξονα συμμετρίας που διέρχεται από τις εστίες, που ονομάζεται εστιακός άξονας. Έχει επίσης ένα άλλο που είναι το κάθετο του τμήματος που έχει σταθερά σημεία από τα άκρα.

Εφαρμογές

Υπάρχουν ποικίλες εφαρμογές αναλυτικής γεωμετρίας σε διαφορετικές περιοχές της καθημερινής ζωής. Για παράδειγμα, μπορούμε να βρούμε την παραβολή, ένα από τα θεμελιώδη στοιχεία της αναλυτικής γεωμετρίας, σε πολλά από τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται καθημερινά σήμερα. Μερικά από αυτά τα εργαλεία είναι τα εξής:

Δορυφορικό πιάτο

Οι παραβολικές κεραίες έχουν έναν ανακλαστήρα που δημιουργείται ως συνέπεια μιας παραβολής που περιστρέφεται στον άξονα της εν λόγω κεραίας. Η επιφάνεια που παράγεται ως αποτέλεσμα αυτής της δράσης ονομάζεται παραβολοειδής.

Η δυνατότητα αυτή λέγεται παραβολοειδούς οπτική ιδιότητα ή αντανάκλαση ιδιότητες της παραβολής, και χάρη σε αυτό είναι πιθανό ότι η παραβολοειδούς αντανακλά τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που λαμβάνονται από το μηχανισμό τροφοδοσίας περιλαμβάνει την κεραία.

Κρεμαστά γεφύρια

Όταν ένα σχοινί κρατά ένα ομοιογενές βάρος, αλλά ταυτόχρονα είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το βάρος του ίδιου του σχοινιού, το αποτέλεσμα θα είναι μια παραβολή.

Αυτή η αρχή είναι απαραίτητη για την κατασκευή γεφυρών ανάρτησης, οι οποίες συνήθως υποστηρίζονται από εκτεταμένες κατασκευές από χαλύβδινα καλώδια.

Η αρχή της παραβολής σε κρεμαστές γέφυρες έχουν χρησιμοποιηθεί σε δομές, όπως το Golden Gate Bridge, που βρίσκεται στην πόλη του Σαν Φρανσίσκο, στις Ηνωμένες Πολιτείες ή τη Μεγάλη Γέφυρα Akashi Στενό, το οποίο βρίσκεται στην Ιαπωνία και ενώνει το νησί Awaji με το Honshū, κύριο νησί της χώρας αυτής.

Αστρονομική ανάλυση

Η αναλυτική γεωμετρία έχει επίσης πολύ συγκεκριμένες και καθοριστικές χρήσεις στον τομέα της αστρονομίας. Σε αυτή την περίπτωση, το στοιχείο της αναλυτικής γεωμετρίας που παίρνει το κεντρικό στάδιο είναι η έλλειψη. ο νόμος του κινήματος των πλανητών του Johannes Kepler είναι μια αντανάκλαση του.

Ο Kepler, μαθηματικός και γερμανικός αστρονόμος, διαπίστωσε ότι η ελλειψοειδής καμπύλη ήταν η καμπύλη που ταιριάζει καλύτερα στην κίνηση του Άρη. Είχε προηγουμένως προσπαθήσει κυκλικό μοτίβο COPERNICO προτείνεται, αλλά στη μέση των πειραμάτων τους κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η έλλειψη χρησιμοποιήθηκε για να σχεδιάσετε μια τέλεια παρόμοια σε τροχιά γύρω από τον πλανήτη σπουδάζουν.

Χάρη στην έλλειψη, ο Kepler μπορούσε να επιβεβαιώσει ότι οι πλανήτες κινούνταν σε ελλειπτικές τροχιές. αυτή η σκέψη ήταν η έκφραση του λεγόμενου δεύτερου νόμου του Κέπλερ.

Από αυτήν την ανακάλυψη, στη συνέχεια εμπλουτίζεται από το αγγλικό φυσικός και μαθηματικός Ισαάκ Νεύτων, orbitacionales ήταν δυνατόν να μελετήσει τις κινήσεις των πλανητών, και να αυξήσει τη γνώση που είχαμε σχετικά με το σύμπαν είμαστε μέρος.

Τηλεσκόπιο Cassegrain

Το τηλεσκόπιο Cassegrain ονομάστηκε από τον εφευρέτη του, φυσικός Laurent Cassegrain που γεννήθηκε στη Γαλλία. Σε αυτό το τηλεσκόπιο οι αρχές της αναλυτικής γεωμετρίας, διότι αποτελείται κυρίως από δύο κάτοπτρα χρησιμοποιούνται: η πρώτη είναι του κοίλου σχήματος και δορυφορικών, και η δεύτερη χαρακτηρίζεται από κυρτά και υπερβολικό.

Η θέση και η φύση αυτών των κατόπτρων επιτρέπει να μην πραγματοποιείται το ελάττωμα που είναι γνωστό ως σφαιρική εκτροπή. αυτό το ελάττωμα εμποδίζει τις ακτίνες φωτός να ανακλάται στην εστίαση ενός δεδομένου φακού.

Το τηλεσκόπιο Cassegrain είναι πολύ χρήσιμο για την πλανητική παρατήρηση, εκτός από το ότι είναι αρκετά ευπροσάρμοστο και εύκολο στη χρήση.

Αναφορές

1. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017, από britannica.com
2. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017 από το encyclopediafmath.org
3. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017, από khancademy.org
4. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017, από το wikipedia.org
5. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017, από το whitman.edu
6. Αναλυτική Γεωμετρία. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2017, από το stewartcalculus.com
7. Αναλυτική γεωμετρία αεροπλάνου. Ανακάλυψε στις 20 Οκτωβρίου 2017