Συνθετική μέθοδος διαίρεσης και επίλυση ασκήσεων

Το συνθετική διαίρεση είναι ένας απλός τρόπος διαίρεσης ενός πολυώνυμου P (x) από οποιαδήποτε μορφή d (x) = x - c. Είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο, διότι, εκτός από μας επιτρέπει να χωρίζουν πολυώνυμα, επιτρέπει επίσης την αξιολόγηση ενός P (x) πολυώνυμο σε οποιοδήποτε αριθμό γ, ο οποίος με τη σειρά του μας λέει ακριβώς αν ο αριθμός είναι μηδέν ή όχι το πολυώνυμο.

Χάρη στον αλγόριθμο διαίρεσης, γνωρίζουμε ότι αν έχουμε δύο πολυώνυμα P (x) και d (x) δεν είναι σταθερές, υπάρχουν πολυώνυμα q (x) και r (x) Η μοναδική έτσι ώστε να ισχύει ότι P (x) = q (x) δ (χ) + r (x), όπου το r (x) είναι μηδέν ή είναι του βαθμού q (x). Αυτά τα πολυώνυμα είναι γνωστά ως πηλίκο και υπόλειμμα ή ανάπαυση αντίστοιχα.

Σε περιπτώσεις στις οποίες το πολυώνυμο d (x) είναι της μορφής x- c, συνθετικά διαίρεση δίνει μια σύντομη τρόπος για να βρείτε οποίοι είναι q (x) και r (x).

Ευρετήριο

• 1 Μέθοδος συνθετικής διαίρεσης
• 2 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 2.1 Παράδειγμα 1
  • 2.2 Παράδειγμα 2
  • 2.3 Παράδειγμα 3
  • 2.4 Παράδειγμα 4
• 3 Αναφορές

Συνθετική μέθοδος διαίρεσης

Έστω P (x) = a_nxⁿ+α_n-1x^n-1+... + α₁x + a₀ το πολυώνυμο που θέλουμε να διαιρέσουμε και d (x) = x-c ο διαιρέτης. Για να διαιρέσουμε με τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης, προχωρούμε ως εξής:

1- Γράφουμε τους συντελεστές του P (x) στην πρώτη σειρά. Αν δεν υπάρχει καμία ισχύς του Χ, θέτουμε το μηδέν ως συντελεστή.

2- Στη δεύτερη σειρά, στα αριστερά του a_n τοποθετήστε το c και σύρετε γραμμές διαίρεσης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

3- Μειώνουμε τον συντελεστή που οδηγεί στην τρίτη σειρά.

Στην έκφραση αυτή β_n-1= α_n

4 - πολλαπλασιάζουμε c με τον συντελεστή β_n-1 και το αποτέλεσμα είναι γραμμένο στη δεύτερη σειρά, αλλά μια στήλη στα δεξιά.

5- Προσθέτουμε τη στήλη όπου γράψαμε το προηγούμενο αποτέλεσμα και το αποτέλεσμα το βάζουμε κάτω από αυτό το άθροισμα. δηλαδή, στην ίδια στήλη, τρίτη σειρά.

Με την προσθήκη, έχουμε ως αποτέλεσμα_n-1+c * b_n-1, που για ευκολία θα καλέσουμε b_n-2

6- Θα πολλαπλασιάσουμε το c με το προηγούμενο αποτέλεσμα και θα γράψουμε το αποτέλεσμα στα δεξιά του στη δεύτερη σειρά.

7- Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 5 και 6 έως ότου φθάσουμε στον συντελεστή a₀.

8- Γράψτε την απάντηση. δηλαδή το πηλίκο και το υπόλειμμα. Καθώς πραγματοποιούμε τη διαίρεση ενός πολυωνύμου βαθμού n μεταξύ ενός πολυώνυμου βαθμού 1, έχουμε ότι το σοβαρό πηλίκο του βαθμού n-1.

Οι συντελεστές του πολυώνυμου πηλίκου θα είναι οι αριθμοί της τρίτης σειράς εκτός από τον τελευταίο, που θα είναι το υπολειμματικό πολυώνυμο ή το υπόλοιπο της διαίρεσης.

Επιλυμένες ασκήσεις

Παράδειγμα 1

Εκτελέστε την ακόλουθη διαίρεση με τη μέθοδο συνθετικής διαίρεσης:

(χ⁵+3 φορές⁴-7x³+2x²-8χ + 1): (χ + 1).

Λύση

Πρώτα γράφουμε τους συντελεστές μερίσματος ως εξής:

Στη συνέχεια γράφουμε c στην αριστερή πλευρά, στη δεύτερη σειρά, μαζί με τις γραμμές διαίρεσης. Σε αυτό το παράδειγμα c = -1.

Μειώνουμε τον κύριο συντελεστή (στην περίπτωση αυτή b_n-1 = 1) και πολλαπλασιάστε το κατά -1:

Γράφουμε το αποτέλεσμά σας στα δεξιά στη δεύτερη σειρά, όπως φαίνεται παρακάτω:

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη δεύτερη στήλη:

Πολλαπλασιάζουμε 2 κατά -1 και γράφουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη στήλη δεύτερη σειρά:

Προσθέτουμε στην τρίτη στήλη:

Προχωρούμε αναλόγως μέχρι να φτάσουμε στην τελευταία στήλη:

Έτσι, έχουμε ότι ο τελευταίος αριθμός που λαμβάνεται είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, και οι υπόλοιποι αριθμοί είναι οι συντελεστές του πηλίκου πολυώνυμο. Αυτό γράφεται ως εξής:

Αν θέλουμε να επαληθεύσουμε ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό, αρκεί να επαληθεύσουμε ότι πληρούται η ακόλουθη εξίσωση:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Επομένως, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό.

Παράδειγμα 2

Εκτελέστε την επόμενη διαίρεση των πολυωνύμων με τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης

(7χ³-x + 2): (χ + 2)

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τον όρο x² δεν φαίνεται, έτσι θα γράψουμε 0 ως συντελεστή. Έτσι, το πολυώνυμο θα ήταν 7x³+0x²-x + 2.

Γράφουμε τους συντελεστές τους σε μια σειρά, αυτό είναι:

Γράφουμε την τιμή του C = -2 στην αριστερή πλευρά στη δεύτερη σειρά και σχεδιάζουμε τις διαχωριστικές γραμμές.

Μειώνουμε τον κύριο συντελεστή b_n-1 = 7 και το πολλαπλασιάζουμε με -2, γράφοντας το αποτέλεσμα στη δεύτερη σειρά στα δεξιά.

Προσθέτουμε και συνεχίζουμε όπως εξηγήσαμε προηγουμένως, μέχρι να φτάσουμε στον τελευταίο όρο:

Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο είναι r (x) = - 52 και το πηλίκο που λαμβάνεται είναι q (x) = 7x²-14x + 27.

Παράδειγμα 3

Ένας άλλος τρόπος για να χρησιμοποιήσουμε τη συνθετική διαίρεση είναι τα εξής: ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πολυώνυμο P (x) του βαθμού n και θέλουμε να γνωρίζουμε τι είναι αξία όταν την αξιολογούμε σε x = c.

Με τον αλγόριθμο της διαίρεσης έχουμε ότι μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο P (x) με τον ακόλουθο τρόπο:

Σε αυτή την έκφραση q (x) και r (x) είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο, αντίστοιχα. Τώρα, εάν d (x) = x-c, κατά την αξιολόγηση στο c στο πολυώνυμο βρίσκουμε τα εξής:

Για αυτό πρέπει να βρούμε μόνο r (x), και αυτό μπορούμε να κάνουμε χάρη στη συνθετική διαίρεση.

Για παράδειγμα, έχουμε το πολυώνυμο P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3 φορές³+19x²-37x-37 και θέλουμε να γνωρίζουμε την αξία του όταν αξιολογήθηκε στο x = 5. Έχουμε πραγματοποιήσει τη διαίρεση μεταξύ P (x) και δ (x) = x -5 με τη μέθοδο του συνθετικού τμήματος:

Μόλις ολοκληρωθούν οι διαδικασίες, γνωρίζουμε ότι μπορούμε να γράψουμε το P (x) με τον ακόλουθο τρόπο:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179χ + 858) * (χ-5) + 4253

Επομένως, κατά την αξιολόγηση πρέπει:

Ρ (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

Ρ (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) *

Ρ (5) = 0 + 4253 = 4253

Όπως μπορούμε να δούμε, είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε τη συνθετική διαίρεση για να βρούμε την τιμή ενός πολυωνύμου όταν την αξιολογούμε στο c αντί να αντικαταστήσουμε απλά το c με το x. 

Εάν προσπαθήσαμε να αξιολογήσουμε το P (5) με τον παραδοσιακό τρόπο, θα χρειαζόταν να εκτελέσουμε κάποιους υπολογισμούς που τείνουν να γίνουν κουραστικοί.

Παράδειγμα 4

Ο αλγόριθμος διαίρεσης για πολυώνυμα ίδιο ισχύει και για πολυώνυμα με πολύπλοκες συντελεστές και, ως εκ τούτου, πρέπει η μέθοδος συνθετικό τμήμα λειτουργεί επίσης για αυτά τα πολυώνυμα. Στη συνέχεια θα δούμε ένα παράδειγμα.

Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο συνθετικής διαίρεσης για να δείξουμε ότι z = 1+ 2i είναι ένα μηδέν του πολυώνυμου P (x) = x³+ (1 + ί) χ² -(1 + 2i) χ + (15 + 5ί). δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) μεταξύ d (x) = x - z ισούται με το μηδέν.

Προχωρούμε όπως προηγουμένως: στην πρώτη σειρά γράφουμε τους συντελεστές του P (x), στη συνέχεια στη δεύτερη γράφουμε z και σχεδιάζουμε τις διαχωριστικές γραμμές.

Κάναμε τη διαίρεση όπως πριν. αυτό είναι:

Μπορούμε να δούμε ότι το υπόλειμμα είναι μηδέν. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι, z = 1+ 2i είναι ένα μηδέν του P (x).

Αναφορές

1. Baldor Aurelio. Άλγεβρα. Συντακτική ομάδα Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Γράφημα, αριθμητική, αλγεβρική 7η Εκπαίδευση Pearson.
3. Flemming W & Varserg D. Αλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Prentice Hall
4. Μάικλ Σούλιβαν. Precalculus 4th Ed. Εκπαίδευση Pearson.
5. Κόκκινο Ο Armando O. Άλγεβρα 1 6th Ed. Το Αθηναίο.