Διανομές διακριτών χαρακτηριστικών πιθανότητας και ασκήσεων

Το Διακριτές κατανομές πιθανότητας είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του Χ (S) = x1, x2, ..., xi, ..., όπου το Χ είναι μία διακριτή τυχαία μεταβλητή δεδομένη και S είναι ο χώρος δείγματος, η πιθανότητα αυτού του γεγονότος συμβαίνουν. Αυτή η συνάρτηση f του X (S) που ορίζεται ως f (xi) = P (X = xi) ονομάζεται μερικές φορές η συνάρτηση μάζας πιθανότητας.

Αυτή η μάζα πιθανότητας αντιπροσωπεύεται συνήθως ως πίνακας. Δεδομένου ότι το X είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, το Χ (S) έχει ένα πεπερασμένο αριθμό συμβάντων ή ένα μετρήσιμο άπειρο. Μεταξύ των πιο κοινών διακριτών κατανομών πιθανότητας έχουμε την ομοιόμορφη κατανομή, την διωνυμική κατανομή και την κατανομή Poisson.

Ευρετήριο

• 1 Χαρακτηριστικά
• 2 Τύποι
  • 2.1 Ομοιόμορφη κατανομή σε n σημεία
  • 2.2 Διωνυμική κατανομή
  • 2.3 Διανομή Poisson
  • 2.4 Υπεργομετρική κατανομή
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Πρώτη άσκηση
  • 3.2 Δεύτερη άσκηση
  • 3.3 Τρίτη άσκηση
  • 3.4 Τρίτη άσκηση
• 4 Αναφορές

Χαρακτηριστικά

Η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων πρέπει να πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

Επίσης, εάν το Χ διαρκεί μόνο ένα πεπερασμένο αριθμό τιμών (για παράδειγμα x1, x2, ..., xn), τότε p (xi) = 0 αν θ> ν και, ως εκ τούτου, η άπειρη σειρά κατάστασης b γίνεται ένα πεπερασμένες σειρές.

Αυτή η λειτουργία πληροί επίσης τις ακόλουθες ιδιότητες:

Έστω B ένα γεγονός που συνδέεται με την τυχαία μεταβλητή Χ. Αυτό σημαίνει ότι το Β περιέχεται στο Χ (S). Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι B = xi1, xi2, .... Επομένως:

Με άλλα λόγια: η πιθανότητα ενός γεγονότος Β είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων των επιμέρους αποτελεσμάτων που σχετίζονται με το Β.

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι εάν α < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Τύποι

Ομοιόμορφη κατανομή σε σημεία n

Λέγεται ότι μια τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί μια κατανομή η οποία χαρακτηρίζεται από το ότι είναι ομοιόμορφη σε n σημεία εάν κάθε τιμή αποδίδεται με την ίδια πιθανότητα. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πείραμα το οποίο έχει δύο πιθανά αποτελέσματα μπορεί να είναι η ρίψη ενός νομίσματος του οποίου δυνατά αποτελέσματα είναι πρόσωπο ή σφραγίδα, ή επιλέγοντας έναν ακέραιο των οποίων το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ζυγός αριθμός ή μονό ένα? αυτός ο τύπος πειράματος είναι γνωστός ως δοκιμές του Bernoulli.

Γενικά, τα δύο πιθανά αποτελέσματα ονομάζονται επιτυχία και αποτυχία, όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας και 1-p αυτή της αποτυχίας. Μπορούμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα x επιτυχιών σε n δοκιμές Bernoulli που είναι ανεξάρτητες το ένα από το άλλο με την ακόλουθη κατανομή.

Διωνυμική κατανομή

Αυτή η συνάρτηση αντιπροσωπεύει την πιθανότητα απόκτησης x επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, των οποίων η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι:

Το παρακάτω γράφημα αντιπροσωπεύει τη μάζα λειτουργίας της πιθανότητας για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων της διωνυμικής κατανομής.

Η ακόλουθη διανομή οφείλει το όνομά της στον γαλλικό μαθηματικό Simeon Poisson (1781-1840), ο οποίος την απέκτησε ως το όριο της διωνυμικής διανομής..

Διανομή Poisson

Λέγεται ότι μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει κατανομή Poisson της παραμέτρου λ όταν μπορεί να πάρει τις θετικές ακέραιες τιμές 0,1,2,3, ... με την ακόλουθη πιθανότητα:

Σε αυτή την έκφραση λ είναι ο μέσος αριθμός που αντιστοιχεί στα συμβάντα του συμβάντος για κάθε μονάδα χρόνου και το x είναι ο αριθμός των φορών που συμβαίνει το συμβάν.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι:

Στη συνέχεια, ένα γράφημα που αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων της κατανομής Poisson.

Σημειώστε ότι ενώ ο αριθμός των επιτυχιών είναι χαμηλή και ο αριθμός η των δοκιμών σε μια διωνυμική κατανομή είναι υψηλή, μπορούμε πάντα προσέγγιση αυτών των κατανομών να είναι περιοριστεί η κατανομή Poisson τη διωνυμική κατανομή.

Η κύρια διαφορά μεταξύ αυτών των δύο κατανομών είναι ότι, ενώ η διωνυμική εξαρτάται από δύο παραμέτρους, δηλαδή, η και ρ, η Poisson εξαρτάται μόνο από λ, το οποίο μερικές φορές ονομάζεται κατανομή έντασης.

Μέχρι τώρα έχουμε μιλήσει μόνο για κατανομές πιθανοτήτων για περιπτώσεις όπου τα διαφορετικά πειράματα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. δηλαδή όταν το αποτέλεσμα ενός δεν επηρεάζεται από κάποιο άλλο αποτέλεσμα.

Όταν συμβαίνει η περίπτωση πειραμάτων που δεν είναι ανεξάρτητα, η υπεργεθομετρική κατανομή είναι πολύ χρήσιμη.

Υπεργομετρική κατανομή

Έστω N ο συνολικός αριθμός αντικειμένων ενός πεπερασμένου συνόλου, από τα οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε το k από αυτά με κάποιο τρόπο, σχηματίζοντας ένα υποσύνολο Κ, του οποίου το συμπλήρωμα σχηματίζεται από τα υπόλοιπα στοιχεία Ν-κ.

Εάν επιλέξουμε τυχαία n αντικείμενα, η τυχαία μεταβλητή X που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αντικειμένων που ανήκουν στο Κ σε αυτές τις εκλογές έχει υπερεομετρική κατανομή των παραμέτρων N, n και k. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι:

Το ακόλουθο γράφημα αντιπροσωπεύει τη μάζα λειτουργίας της πιθανότητας για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων της υπεργεωμετρικής κατανομής.

Επιλυμένες ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα ότι ένας ραδιοβραχίονας (που έχει τεθεί σε ένα συγκεκριμένο τύπο εξοπλισμού) λειτουργεί για περισσότερες από 500 ώρες είναι 0,2. Εάν δοκιμάζονται 20 σωλήνες, ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς το k θα λειτουργήσει περισσότερο από 500 ώρες, k = 0, 1,2, ..., 20?

Λύση

Εάν X είναι ο αριθμός των σωλήνων που λειτουργούν περισσότερο από 500 ώρες, θα υποθέσουμε ότι το X έχει διωνυμική κατανομή. Τότε

Και έτσι:

Για k≥11, οι πιθανότητες είναι μικρότερες από 0,001

Έτσι μπορούμε να δούμε πώς αυξάνεται η πιθανότητα να δουλέψουν αυτά τα k πάνω από 500 ώρες μέχρι να φτάσει στη μέγιστη τιμή (με k = 4) και στη συνέχεια να αρχίσει να μειώνεται.

Δεύτερη άσκηση

Ένα κέρμα ρίχνεται 6 φορές. Όταν το αποτέλεσμα είναι ακριβό, θα πούμε ότι είναι επιτυχία. Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψουν ακριβώς δύο πρόσωπα?

Λύση

Για αυτή την περίπτωση έχουμε ότι n = 6 και τόσο η πιθανότητα επιτυχίας όσο και η αποτυχία είναι p = q = 1/2

Επομένως, η πιθανότητα να δοθούν δύο όψεις (δηλ. K = 2) είναι

Τρίτη άσκηση

Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθούν τουλάχιστον τέσσερα πρόσωπα?

Λύση

Για αυτή την περίπτωση έχουμε το k = 4, 5 ή 6

Τρίτη άσκηση

Ας υποθέσουμε ότι το 2% των αντικειμένων που παράγονται σε ένα εργοστάσιο είναι ελαττωματικά. Βρείτε την πιθανότητα P ότι υπάρχουν τρία ελαττωματικά στοιχεία σε ένα δείγμα 100 αντικειμένων.

Λύση

Για αυτή την περίπτωση θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την διωνυμική κατανομή για n = 100 και p = 0.02, λαμβάνοντας ως αποτέλεσμα:

Ωστόσο, δεδομένου ότι το p είναι μικρό, χρησιμοποιούμε την προσέγγιση Poisson με λ = np = 2. Έτσι,

Αναφορές

1. Κάι Λάι Τσούνγκ Θεωρία στοιχειωδών προνομίων με στοχαστικές διεργασίες. Springer-Verlag Νέα Υόρκη Inc.
2. Kenneth.H. Διακριτά Μαθηματικά και οι Εφαρμογές της. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Πιθανότητες και Στατιστικές Εφαρμογές. S.A. ΜΕΞΙΚΑ ΑΛΜΑΜΠΡΑ.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Διακριτά Μαθηματικά Επίλυση Προβλημάτων. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Θεωρία και Προβλήματα Πιθανότητας. McGRAW-HILL.