Διαδοχικά Παράγωγα (με Επίλυση Ασκήσεων)

Το διαδοχικά παράγωγα είναι τα παράγωγα μιας συνάρτησης μετά το δεύτερο παράγωγο. Η διαδικασία για τον υπολογισμό των διαδοχικών παραγώγων έχει ως εξής: έχουμε μια συνάρτηση f, την οποία μπορούμε να αντλήσουμε και έτσι να πάρουμε την παράγωγη συνάρτηση f '. Σε αυτό το παράγωγο του f μπορούμε να το αντλήσουμε και πάλι, λαμβάνοντας (f ')'.

Αυτή η νέα συνάρτηση ονομάζεται δεύτερο παράγωγο. όλα τα παράγωγα που υπολογίζονται από το δεύτερο είναι διαδοχικά. Αυτές, που ονομάζονται και ανώτερες τάξεις, έχουν μεγάλες εφαρμογές, όπως η παροχή πληροφοριών σχετικά με το γράφημα της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, το δεύτερο παράγωγο τεστ για τις σχετικές ακρότητες και τον προσδιορισμό άπειρων σειρών.

Ευρετήριο

• 1 Ορισμός
  • 1.1 Παράδειγμα 1
  • 1.2 Παράδειγμα 2
• 2 Ταχύτητα και επιτάχυνση
  • 2.1 Παράδειγμα 1
  • 2.2 Παράδειγμα 2
• 3 Εφαρμογές
  • 3.1 Ενισχυμένη παραγωγή
  • 3.2 Παράδειγμα
  • 3.3 Σχετικοί άξονες
  • 3.4 Παράδειγμα
  • 3.5 σειρά Taylor
  • 3.6 Παράδειγμα
• 4 Αναφορές

Ορισμός

Χρησιμοποιώντας τη σημείωση Leibniz, έχουμε ότι το παράγωγο μιας συνάρτησης "και" σε σχέση με το "x" είναι dy / dx. Για να εκφράσουμε το δεύτερο παράγωγο του "και" με τη χρήση του συμβόλου Leibniz, γράφουμε ως εξής:

Γενικά, μπορούμε να εκφράσουμε τα διαδοχικά παράγωγα ως ακολούθως με τη συμβολισμό Leibniz, όπου η αντιπροσωπεύει τη σειρά του παραγώγου.

Άλλες χρησιμοποιούμενες σημειώσεις είναι οι εξής:

Μερικά παραδείγματα όπου μπορούμε να δούμε τις διαφορετικές σημειώσεις είναι:

Παράδειγμα 1

Αποκτήστε όλα τα παράγωγα της συνάρτησης f που ορίζονται από:

Χρησιμοποιώντας τις συνήθεις τεχνικές παραγωγής, έχουμε ότι το παράγωγο του f είναι:

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μπορούμε να πάρουμε το δεύτερο παράγωγο, το τρίτο παράγωγο και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι το τέταρτο παράγωγο είναι μηδέν και το μηδενικό παράγωγο είναι μηδέν, οπότε πρέπει:

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το τέταρτο παράγωγο της ακόλουθης συνάρτησης:

Παρέχοντας τη δεδομένη συνάρτηση έχουμε σαν αποτέλεσμα:

Ταχύτητα και επιτάχυνση

Ένα από τα κίνητρα που οδήγησαν στην ανακάλυψη του παραγώγου ήταν η αναζήτηση του ορισμού της στιγμιαίας ταχύτητας. Ο τυπικός ορισμός είναι ο ακόλουθος:

Έστω το y = f (t) είναι μια συνάρτηση της οποίας το γράφημα περιγράφει την τροχιά ενός σωματιδίου σε μια στιγμή t, τότε η ταχύτητά του σε μια στιγμή t δίνεται από:

Μόλις ληφθεί η ταχύτητα ενός σωματιδίου, μπορούμε να υπολογίσουμε την στιγμιαία επιτάχυνση, η οποία ορίζεται ως εξής:

Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός σωματιδίου του οποίου η διαδρομή δίνεται από το y = f (t) είναι:

Παράδειγμα 1

Ένα σωματίδιο κινείται σε μια γραμμή σύμφωνα με τη λειτουργία θέσης:

Όπου "y" μετράται σε μέτρα και "t" σε δευτερόλεπτα.

- Σε ποια στιγμή η ταχύτητά σας είναι 0?

- Σε ποια στιγμή η επιτάχυνση είναι 0?

Κατά την εξαγωγή της συνάρτησης θέσης "και" έχουμε ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνσή της δίδονται αντιστοίχως από:

Προκειμένου να απαντηθεί η πρώτη ερώτηση, αρκεί να προσδιοριστεί πότε η λειτουργία v γίνεται μηδέν. αυτό είναι:

Προχωρούμε με την ακόλουθη ερώτηση αναλόγως:

Παράδειγμα 2

Ένα σωματίδιο κινείται σε μια γραμμή σύμφωνα με την ακόλουθη εξίσωση κίνησης:

Προσδιορίστε "t, y" και "v" όταν a = 0.

Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση δίνονται από

Προχωρούμε να αντλήσουμε και να αποκτήσουμε:

Κάνοντας a = 0, έχουμε:

Από το οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή του t για το a είναι ίση με το μηδέν είναι t = 1.

Στη συνέχεια, αξιολογώντας τη συνάρτηση θέσης και τη συνάρτηση ταχύτητας σε t = 1, πρέπει να:

Εφαρμογές

Παραπλανητική παράδοση

Τα διαδοχικά παράγωγα μπορούν επίσης να ληφθούν με σιωπηρή εξαγωγή.

Παράδειγμα

Λαμβάνοντας υπόψη την ακόλουθη έλλειψη, βρείτε "και":

Παίρνοντας σιωπηρά σε σχέση με το x, έχουμε:

Στη συνέχεια, επαναφέροντας σιωπηρά σε σχέση με το x, μας δίνει:

Τέλος, έχουμε:

Σχετικοί άξονες

Μια άλλη χρήση που μπορούμε να δώσουμε σε παράγωγα δεύτερης τάξης είναι στον υπολογισμό των σχετικών άκρων μιας συνάρτησης.

Η δοκιμή παράγωγο για τοπικά ακρότατα μας λέει ότι αν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα (α, b) και c εκεί είναι ένα που ανήκει στην εν λόγω περιοχή η οποία μηδενίζει f'se c (δηλαδή ότι c είναι ένα κρίσιμο σημείο), μπορεί να συμβεί μία από αυτές τις τρεις περιπτώσεις:

- Αν f '(x)> 0 για κάθε x που ανήκει στα (a, c) και f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Αν f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 για το x που ανήκει στο (c, b), τότε το f (c) είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

- Εάν το f '(x) έχει το ίδιο σύμβολο (a, c) και στο (c, b), σημαίνει ότι το f (c) δεν είναι τοπικό τελικό σημείο.

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του δεύτερου παραγώγου μπορούμε να γνωρίζουμε εάν ένας κρίσιμος αριθμός μίας συνάρτησης είναι ένα μέγιστο ή ένα τοπικό ελάχιστο, χωρίς να χρειάζεται να δούμε ποιο είναι το σημάδι της λειτουργίας στα προαναφερθέντα διαστήματα.

Το κριτήριο του δεύτερου παρασυρόμενα μας λέει ότι αν f «(γ) = 0 και f "(x) είναι συνεχής στο (α, β), προκύπτει, εάν f"(γ)> 0 τότε η f (c) είναι ένα τοπικό ελάχιστο και εάν f "(γ) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Αν f "(c) = 0, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τίποτα.

Παράδειγμα

Δεδομένης της συνάρτησης f (x) = x⁴ + (4/3) χ³ - 4x², να βρεθούν τα σχετικά μέγιστα και ελάχιστα του f που εφαρμόζουν το κριτήριο του δεύτερου παραγώγου.

Αρχικά υπολογίζουμε το f '(x) και το f' (x) και έχουμε:

f '(χ) = 4χ³ + 4x² - 8x

f "(χ) = 12χ² + 8x - 8

Τώρα, f '(x) = 0 αν και μόνο αν 4x (x + 2) (x - 1) = 0, και αυτό συμβαίνει όταν x = 0, x = 1 ή x = - 2.

Για να προσδιοριστεί εάν οι κρίσιμοι αριθμοί που λαμβάνονται είναι σχετικά ακραίες, αρκεί να αξιολογηθεί στο f "και επομένως να παρατηρήσει το σημάδι του.

f "(0) = - 8, έτσι το f (0) είναι ένα τοπικό μέγιστο.

f "(1) = 12, οπότε το f (1) είναι τοπικό ελάχιστο.

f "(- 2) = 24, έτσι το f (- 2) είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

Σειρά Taylor

Έστω f μια συνάρτηση που ορίζεται ως εξής:

Αυτή η συνάρτηση έχει ακτίνα σύγκλισης R> 0 και έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών στο (-R, R). Τα διαδοχικά παράγωγα του f μας δίνουν:

Λαμβάνοντας x = 0, μπορούμε να πάρουμε τις τιμές του c_n με βάση τα παράγωγά της ως εξής:

Αν πάρουμε n = 0 ως συνάρτηση f (δηλαδή, f ^ 0 = f), τότε μπορούμε να ξαναγράψουμε τη συνάρτηση ως εξής:

Τώρα θεωρήστε τη λειτουργία ως μια σειρά εξουσιών στο x = a:

Αν εκτελέσουμε μια ανάλογη ανάλυση με την προηγούμενη, θα πρέπει να γράψουμε τη συνάρτηση f ως:

Αυτές οι σειρές είναι γνωστές ως σειρά Taylor του f σε a. Όταν a = 0 έχουμε τη συγκεκριμένη περίπτωση που ονομάζεται σειρά Maclaurin. Αυτός ο τύπος σειράς έχει μεγάλη μαθηματική σημασία ειδικά στην αριθμητική ανάλυση, αφού χάρη σε αυτά μπορούμε να ορίσουμε λειτουργίες σε υπολογιστές όπως^x , sin (x) και cos (x).

Παράδειγμα

Πάρτε τη σειρά Maclaurin για e^x.

Σημειώστε ότι αν f (x) = e^x, τότε f^(η)(x) = e^x και f^(η)(0) = 1, γι 'αυτό και η σειρά Maclaurin είναι:

Αναφορές

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, Ε. (S.f.). Υπολογισμό. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ με την Αναλυτική Γεωμετρία. HARLA, S.A..
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός. Μεξικό: Εκπαίδευση Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Διαφορικός υπολογισμός. Υπόταση.
5. Saenz, J. (s.f.). Πλήρης Λογισμός. Υπόταση.