Αλγεβρικά παράγωγα (με παραδείγματα)

Το αλγεβρικά παράγωγα συνίστανται στη μελέτη του παραγώγου στη συγκεκριμένη περίπτωση των αλγεβρικών λειτουργιών. Η προέλευση της έννοιας του παραγώγου αρχίζει στην Αρχαία Ελλάδα. Η ανάπτυξη αυτής της έννοιας υποκινήθηκε από την ανάγκη επίλυσης δύο σημαντικών προβλημάτων, το ένα στη φυσική και το άλλο στα μαθηματικά.

Στη φυσική, το παράγωγο επιλύει το πρόβλημα του προσδιορισμού της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινούμενου αντικειμένου. Στα μαθηματικά, μπορείτε να βρείτε την εφαπτόμενη γραμμή σε μια καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο.

Παρόλο που υπάρχουν πραγματικά πολλά ακόμα προβλήματα που επιλύονται με τη χρήση του παραγώγου, καθώς και οι γενικεύσεις του, αποτελέσματα που ήρθαν μετά την εισαγωγή της ιδέας του.

Οι πρωτοπόροι του διαφορικού λογισμού είναι οι Newton και Leibniz. Πριν δώσουμε τον επίσημο ορισμό, θα αναπτύξουμε την ιδέα πίσω από τη μαθηματική και τη φυσική άποψη.

Ευρετήριο

• 1 Το παράγωγο ως κλίση της εφαπτόμενης γραμμής σε καμπύλη
• 2 Το παράγωγο ως στιγμιαία ταχύτητα ενός κινούμενου αντικειμένου
  • 2.1 Αλγεβρική λειτουργία
• 3 Κανόνες εξαγωγής
  • 3.1 Προέρχεται από μια σταθερά
  • 3.2 Παράγωγος ισχύος
  • 3.3 Προέρχεται από προσθήκη και αφαίρεση
  • 3.4 Παράγωγο ενός προϊόντος
  • 3.5 Προέρχεται από ένα πηλίκο
  • 3.6 Κανόνας της αλυσίδας
• 4 Αναφορές

Το παράγωγο ως κλίση της εφαπτόμενης γραμμής σε καμπύλη

Υποθέστε ότι το γράφημα μιας συνάρτησης y = f (x) είναι ένα συνεχές γράφημα (χωρίς κορυφές ή κορυφές ή διαχωρισμούς) και αφήστε το A = (a, f (a)) να είναι ένα σταθερό σημείο πάνω του. Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της συνάρτησης f στο σημείο Α.

Πάρτε οποιοδήποτε άλλο σημείο P = (x, f (x)) του γραφήματος, κοντά στο σημείο Α και τραβήξτε τη γραμμή απόσβεσης που διέρχεται από το Α και το P. Μια διαχωριστική γραμμή είναι μια γραμμή που κόβει το γράφημα μιας καμπύλης σε ένα ή περισσότερους πόντους.

Για να αποκτήσουμε την εφαπτόμενη γραμμή που θέλουμε, πρέπει να υπολογίσουμε μόνο την κλίση γιατί έχουμε ήδη ένα σημείο στη γραμμή: το σημείο Α.

Εάν μετακινήσουμε το σημείο P κατά μήκος του γραφήματος και το φέρνουμε πιο κοντά στο σημείο Α, η προαναφερθείσα μαύρη γραμμή θα πλησιάσει την εφαπτόμενη γραμμή που θέλουμε να βρούμε. Λαμβάνοντας το όριο όταν το "P τείνει στο Α", και οι δύο γραμμές θα συμπέσουν, επομένως και οι πλαγιές του.

Η κλίση της γραμμής κοπής δίνεται από

Το να λέμε ότι το Ρ προσεγγίζει το Α είναι ισοδύναμο με το ότι το "x" προσεγγίζει το "a". Έτσι, η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα του f στο σημείο Α θα είναι ίση με:

Η παραπάνω έκφραση υποδηλώνεται από το f '(a), και ορίζεται ως το παράγωγο μιας συνάρτησης f στο σημείο "a". Βλέπουμε τότε ότι αναλυτικά, το παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένα όριο, αλλά γεωμετρικά, είναι η κλίση της γραμμής εφαπτόμενη στο γράφημα της συνάρτησης στο σημείο.

Τώρα θα δούμε αυτή την ιδέα από την άποψη της φυσικής. Θα φτάσουμε στην ίδια έκφραση του προηγούμενου ορίου, αν και με διαφορετικό τρόπο, αποκτώντας την ομοφωνία του ορισμού.

Το παράγωγο ως στιγμιαία ταχύτητα ενός κινούμενου αντικειμένου

Ας δούμε ένα σύντομο παράδειγμα της στιγμιαίας ταχύτητας. Όταν λέγεται, για παράδειγμα, ότι ένα αυτοκίνητο για να φτάσει σε προορισμό το έκανε με ταχύτητα 100 χλμ. Ανά ώρα, πράγμα που σημαίνει ότι σε μία ώρα ταξίδεψε 100 χλμ..

Αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι σε όλη την ώρα το αυτοκίνητο ήταν πάντα 100 χιλιόμετρα μακριά, το ταχύμετρο του αυτοκινήτου θα μπορούσε σε μερικές στιγμές να σημειώσει λιγότερο ή περισσότερο. Αν είχε την ανάγκη να σταματήσει σε φανάρι, η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή ήταν 0 χλμ. Ωστόσο, μετά από μία ώρα, η διαδρομή ήταν 100 χλμ.

Αυτό είναι που είναι γνωστό ως μέση ταχύτητα και δίνεται από το πηλίκο της απόστασης που διανύθηκε μεταξύ του χρόνου που περάσαμε, όπως μόλις είδαμε. Η στιγμιαία ταχύτητα, από την άλλη πλευρά, είναι εκείνη που σηματοδοτεί τη βελόνα του ταχύμετρου ενός αυτοκινήτου σε ένα στιγμιαίο (χρόνο) καθορισμένο.

Ας εξετάσουμε αυτό τώρα γενικότερα. Ας υποθέσουμε ότι ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος μιας γραμμής και ότι αυτή η μετατόπιση αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση s = f (t), όπου η μεταβλητή t μετρά το χρόνο και την μεταβλητή s τη μετατόπιση, λαμβάνοντας υπόψη την αρχή της η στιγμιαία t = 0, οπότε και είναι μηδέν, δηλαδή, f (0) = 0.

Αυτή η λειτουργία f (t) είναι γνωστή ως λειτουργία θέσης.

Ζητείται μια έκφραση για την στιγμιαία ταχύτητα του αντικειμένου σε μια σταθερή στιγμή "a". Με αυτήν την ταχύτητα θα το δηλώνουμε με V (a).

Αφήνω t να είναι οποιαδήποτε στιγμή κοντά στο στιγμιότυπο "a". Στο χρονικό διάστημα μεταξύ των "a" και "t", η αλλαγή θέσης του αντικειμένου δίνεται από το f (t) -f (a).

Η μέση ταχύτητα σε αυτό το χρονικό διάστημα είναι:

Ποια είναι η προσέγγιση της στιγμιαίας ταχύτητας V (a). Αυτή η προσέγγιση θα είναι καλύτερη καθώς το t πλησιάζει το "a". Επομένως,

Παρατηρήστε ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με εκείνη που αποκτήθηκε στην προηγούμενη περίπτωση, αλλά από μια διαφορετική οπτική. Αυτό είναι αυτό που είναι γνωστό ως το παράγωγο μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο "a" και συμβολίζεται με το f '(a), όπως αναφέρεται παραπάνω.

Σημειώστε ότι κάνοντας την αλλαγή h = x-a, έχουμε ότι όταν το "x" τείνει στο "a", το "h" τείνει στο 0 και το προηγούμενο όριο μετατρέπεται (ισοδύναμα) σε:

Και οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμες, αλλά μερικές φορές είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε το ένα αντί του άλλου, ανάλογα με την περίπτωση.

Το παράγωγο μιας συνάρτησης f ορίζεται στη συνέχεια γενικότερα σε οποιοδήποτε σημείο "x" που ανήκει στον τομέα του ως

Η πιο συνηθισμένη παράσταση για την παράσταση του παραγώγου μιας συνάρτησης y = f (x) είναι αυτή που μόλις είδαμε (f 'o και'). Ωστόσο, μια άλλη ευρέως χρησιμοποιούμενη συμβολισμός είναι η συμβολισμός του Leibniz που αντιπροσωπεύεται ως οποιαδήποτε από τις ακόλουθες εκφράσεις:

Λόγω του γεγονότος ότι το παράγωγο είναι ουσιαστικά ένα όριο, μπορεί ή όχι να υπάρχει, επειδή τα όρια δεν υπάρχουν πάντα. Αν υπάρχει, λέγεται ότι η εν λόγω λειτουργία είναι διαφοροποιήσιμη στο δεδομένο σημείο.

Αλγεβρική λειτουργία

Μια αλγεβρική συνάρτηση είναι ένας συνδυασμός πολυωνύμων μέσω αθροισμάτων, αφαιρέσεων, προϊόντων, πηκτικών, δυνάμεων και ριζών.

Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση της μορφής

P_n= α_nxⁿ+ α_n-1x^n-1+ α_n-2x^n-2+... + α₂x²+ α₁x + a₀

Όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός και όλα τα a_i, με i = 0,1, ..., n, είναι λογικοί αριθμοί και a_n≠ 0 Σε αυτή την περίπτωση λέγεται ότι ο βαθμός αυτού του πολυώνυμου είναι η.

Τα παρακάτω είναι παραδείγματα αλγεβρικών λειτουργιών:

Εδώ δεν περιλαμβάνονται οι εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές λειτουργίες. Οι κανόνες της παραδοχής που θα δούμε παρακάτω ισχύουν για τις λειτουργίες εν γένει, αλλά θα περιοριστούμε και θα τις εφαρμόζουμε στην περίπτωση των αλγεβρικών λειτουργιών.

Παράκαμψη κανόνων

Προέρχεται από μια σταθερά

Δηλώνει ότι το παράγωγο μιας σταθεράς είναι μηδέν. Δηλαδή, εάν f (x) = c, τότε f '(x) = 0. Για παράδειγμα, το παράγωγο της σταθερής συνάρτησης 2 είναι ίσο με 0.

Προέρχεται από μια δύναμη

Αν f (x) = xⁿ, τότε f '(x) = nx^n-1. Για παράδειγμα, το παράγωγο του x³ Είναι 3 φορές². Ως συνέπεια αυτού, λαμβάνουμε ότι το παράγωγο της συνάρτησης ταυτότητας f (x) = x είναι f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το εξής: be f (x) = 1 / x², τότε f (x) = x^-2 και f '(x) = - 2χ^-2-1= -2x^-3.

Αυτή η ιδιότητα είναι επίσης έγκυρες ρίζες, επειδή οι ρίζες είναι ορθολογικές δυνάμεις και μπορείτε να εφαρμόσετε τα παραπάνω και σε αυτή την περίπτωση. Για παράδειγμα, το παράγωγο μιας τετραγωνικής ρίζας δίνεται από

Προέρχεται από ένα άθροισμα και μια αφαίρεση

Αν τα f και g είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σε x, τότε το άθροισμα f + g είναι επίσης διαφορετικό και ότι (f + g) '(x) = f' (x) + g '.

Ανάλογα, έχουμε ότι (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Με άλλα λόγια, το παράγωγο ενός ποσού (αφαίρεση), είναι το άθροισμα (ή αφαίρεση) των παραγώγων.

Παράδειγμα

Αν h (x) = x²+x-1, στη συνέχεια

h '(χ) = (χ²) + (χ) '- (1)' = 2χ + 1-0 = 2χ + 1.

Προέρχεται από ένα προϊόν

Εάν f και g είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις στο x, τότε το προϊόν fg είναι επίσης διαφοροποιήσιμο σε x και πληρούται αυτό

(x) = f (x) g (x) + f (x) g '(x).

Συνεπώς έχουμε ότι αν το c είναι μια σταθερά και το f είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση στο x, τότε το cf είναι επίσης διαφοροποιήσιμο στο x και (cf) '(x) = cf' (X).

Παράδειγμα

Αν f (x) = 3x (x²+1), τότε

f '(χ) = (3χ)' (χ²+1) + (3χ) (χ²+1) '= 3 (χ)' (χ²+1) + 3χ [(χ²) '+ (1)']

= 3 (1) (χ²+1) + 3χ [(2χ^2-1) + 0] = 3 (χ²+1) + 3χ (2χ) = 3χ²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Προέρχεται από ένα πηλίκο

Αν τα f και g είναι διαφοροποιήσιμα σε x και g (x) ≠ 0, τότε το f / g είναι επίσης διαφοροποιήσιμο σε x, και είναι αλήθεια ότι

Παράδειγμα: εάν h (x) = x³/ (χ²-5χ), τότε

h '(χ) = [(χ³) '(χ⁵-5χ) - (χ³) (χ⁵-5χ) '] / (χ⁵-5χ)²= [(3χ²) (χ⁵-5χ) - (χ³) (5x⁴-5)] / (χ⁵-5χ)².

Κανόνας αλυσίδας

Αυτός ο κανόνας επιτρέπει την εξαγωγή της σύνθεσης των λειτουργιών. (X) είναι διαφοροποιήσιμο σε x, και τότε η συνάρτηση σύνθεσης f (g (x)) είναι διαφοροποιήσιμη σε x και είναι ικανοποιημένη ότι το f (u) είναι διαφοροποιήσιμο στο u, yu = g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Δηλαδή, το παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης είναι το προϊόν του παραγώγου της εξωτερικής συνάρτησης (εξωτερικό παράγωγο) από το παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης (εσωτερικό παράγωγο).

Παράδειγμα

Αν f (x) = (x⁴-2x)³, τότε

f '(χ) = 3 (χ⁴-2x)²(χ⁴-2x) '= 3 (χ⁴-2x)²(4χ³-2).

Υπάρχουν επίσης αποτελέσματα για τον υπολογισμό του παραγώγου του αντιστρόφου μιας συνάρτησης, καθώς και της γενίκευσης σε παράγωγα υψηλότερης τάξης. Οι εφαρμογές είναι εκτεταμένες. Μεταξύ αυτών υπογραμμίζουν τις χρησιμότητές τους σε προβλήματα βελτιστοποίησης και μέγιστης και ελάχιστης λειτουργίας.

Αναφορές

1. Alarcon, S., González, Μ., & Quintana, Η. (2008). Διαφορικός υπολογισμός. ITM.
2. Cabrera, V. Μ. (1997). Υπολογισμός 4000. Συντάκτης Progreso.
3. Castaño, Η. F. (2005). Μαθηματικά πριν από τον υπολογισμό. Πανεπιστήμιο της Medellin.
4. Eduardo, Ν. Α. (2003). Εισαγωγή στον Υπολογισμό. Εκδόσεις κατώτατων ορίων.
5. Πηγές, Α. (2016). ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Εισαγωγή στον υπολογισμό. Lulu.com.
6. Purcell, Ε. J., Rigdon, S. Ε., & Varberg, D. Ε. (2007). Υπολογισμός. Εκπαίδευση Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Διαφορικός υπολογισμός (Δεύτερη έκδοση). Barquisimeto: Υπόταση.
8. Thomas, G. Β., & Weir, Μ. D. (2006). Υπολογισμός: πολλές μεταβλητές. Εκπαίδευση Pearson.