Bayes Θεώρημα εξήγηση, εφαρμογές, ασκήσεις



Το Θεώρημα Bayes είναι μια διαδικασία που μας επιτρέπει να εκφράσουμε την υπό όρους πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος A δεδομένου Β, από την άποψη της κατανομής πιθανότητας του γεγονότος Β που δίνεται Α και της κατανομής πιθανότητας μόνο Α.

Το θεώρημα αυτό είναι πολύ χρήσιμο, γιατί χάρη σ 'αυτόν μπορεί να αφορά την πιθανότητα ότι ένα γεγονός Α συμβαίνει γνωρίζοντας ότι συνέβη Β, με την πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο, δηλαδή Β συμβαίνει δοθεί.

Το θεώρημα του Bayes ήταν μια ασημένια πρόταση από τον Αιδεσιμότατο Thomas Bayes, έναν αγγλικό θεολόγο του δέκατου όγδοου αιώνα ο οποίος ήταν επίσης μαθηματικός. Ήταν συγγραφέας πολλών έργων στη θεολογία, αλλά είναι επί του παρόντος γνωστός για μερικά μαθηματικά μαθήματα, μεταξύ των οποίων το προαναφερθέν θεώρημα Bayes ξεχωρίζει ως το κύριο αποτέλεσμα..

Bayes ασχολήθηκε με αυτό το θεώρημα σε ένα έγγραφο με τίτλο «Ένα δοκίμιο για την επίλυση ενός προβλήματος στο δόγμα της πιθανότητες» (Μια μελέτη για την επίλυση ενός προβλήματος στο δόγμα της πιθανότητες), που δημοσιεύθηκε το 1763, και για τα οποία έχουν αναπτύξει μεγάλες Μελέτες με εφαρμογές σε διάφορους τομείς γνώσης.

Ευρετήριο

  • 1 Επεξήγηση
  • 2 Εφαρμογές του θεωρήματος Bayes
    • 2.1 Επιλυθείσες ασκήσεις
  • 3 Αναφορές

Επεξήγηση

Πρώτον, για την περαιτέρω κατανόηση αυτού του θεωρήματος, είναι απαραίτητες ορισμένες βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, ειδικά το θεώρημα πολλαπλασιασμού για την υπό όρους πιθανότητα, το οποίο δηλώνει ότι

Για Ε και Α αυθαίρετα συμβάντα ενός χώρου δειγμάτων S.

Και ο ορισμός των κατατμήσεων, που μας λέει ότι αν έχουμε A1 ,Α2,..., Αn τα γεγονότα ενός δείγματος χώρου S, αυτά θα σχηματίσουν ένα διαμέρισμα του S, εάν το Αi είναι αμοιβαία αποκλειστικά και η ένωσή τους είναι S.

Έχοντας αυτό, ας B είναι ένα άλλο γεγονός. Τότε μπορούμε να δούμε το Β ως

Όπου το Αi που διασταυρώνονται με το Β είναι αμοιβαία αποκλειστικά γεγονότα.

Και κατά συνέπεια,

Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το θεώρημα πολλαπλασιασμού

Από την άλλη πλευρά, η υπό όρους πιθανότητα του Ai που δίδεται Β ορίζεται από

Αντικαθιστώντας κατάλληλα πρέπει για κάθε i

Εφαρμογές του θεωρήματος Bayes

Χάρη σε αυτό το αποτέλεσμα, οι ερευνητικές ομάδες και οι διάφορες εταιρίες κατάφεραν να βελτιώσουν τα συστήματα που βασίζονται στη γνώση.

Για παράδειγμα, στη μελέτη των ασθενειών, θεώρημα του Bayes μπορεί να βοηθήσει να διακρίνουν την πιθανότητα ότι η νόσος βρίσκεται σε μια ομάδα ανθρώπων με ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό, λαμβάνοντας ως τιμές δεδομένων γενική νόσο και την επικράτηση τέτοιων χαρακτηριστικών ανθρώπους τόσο υγιείς όσο και άρρωστους.

Από την άλλη πλευρά, στον κόσμο των υψηλών τεχνολογιών, έχει επηρεάσει τις μεγάλες εταιρείες που έχουν αναπτύξει, χάρη σε αυτό το αποτέλεσμα, το λογισμικό "Based on Knowledge".

Ως καθημερινό παράδειγμα έχουμε τον βοηθό του Microsoft Office. Το θεώρημα Bayes βοηθά το λογισμικό να εκτιμήσει τα προβλήματα που παρουσιάζει ο χρήστης και να καθορίσει ποιες συμβουλές πρέπει να παρέχει και έτσι να είναι σε θέση να προσφέρει καλύτερη εξυπηρέτηση σύμφωνα με τις συνήθειες του χρήστη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο τύπος αυτός αγνοήθηκε μέχρι πρόσφατα, αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι όταν το αποτέλεσμα αυτό αναπτύχθηκε πριν από 200 χρόνια, δεν υπήρξε πρακτική χρήση γι 'αυτά. Ωστόσο, στην εποχή μας, χάρη στις μεγάλες τεχνολογικές εξελίξεις, οι επιστήμονες έχουν επιτύχει τρόπους να θέσουν σε εφαρμογή αυτό το αποτέλεσμα.

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Μια κυψελοειδής εταιρεία διαθέτει δύο μηχανές Α και Β. Το 54% των κινητών τηλεφώνων που παράγονται κατασκευάζονται από τη μηχανή Α και τα υπόλοιπα από τη μηχανή Β. Δεν παράγονται όλα τα κινητά τηλέφωνα σε καλή κατάσταση.

Το ποσοστό των ελαττωματικών κινητών τηλεφώνων που κατασκευάζονται από το Α είναι 0,2 και από το Β είναι 0,5. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα κινητό τηλέφωνο του εν λόγω εργοστασίου είναι ελαττωματικό; Ποια είναι η πιθανότητα ότι, γνωρίζοντας ότι ένα κινητό τηλέφωνο είναι ελαττωματικό, προέρχεται από τη μηχανή Α?

Λύση

Εδώ, έχετε ένα πείραμα που γίνεται σε δύο μέρη. στο πρώτο μέρος συμβαίνουν τα γεγονότα:

A: κινητό τηλέφωνο κατασκευασμένο από το μηχάνημα A.

B: κινητό τηλέφωνο κατασκευασμένο από το μηχάνημα Β.

Δεδομένου ότι το μηχάνημα Α παράγει το 54% των κινητών τηλεφώνων και το υπόλοιπο παράγεται από τη μηχανή Β, η μηχανή Β παράγει το 46% των κινητών τηλεφώνων. Οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων δίνονται, δηλαδή:

Ρ (Α) = 0,54.

Ρ (Β) = 0,46.

Τα συμβάντα του δεύτερου μέρους του πειράματος είναι:

D: ελαττωματικό κελί.

E: μη ελαττωματικά κύτταρα.

Όπως αναφέρεται στη δήλωση, οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων εξαρτώνται από το αποτέλεσμα που προέκυψε στο πρώτο μέρος:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις πιθανότητες των συμπληρωμάτων αυτών των συμβάντων, δηλαδή:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

και

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Τώρα, το συμβάν D μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πολλαπλασιασμού για πιθανότητα υπό όρους, προκύπτει:

Με ποιον απαντά το πρώτο ερώτημα.

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε μόνο το P (A | D), για το οποίο ισχύει το Θεώρημα Bayes:

Χάρη στο Θεώρημα Bayes, μπορούμε να πούμε ότι η πιθανότητα ότι ένα κινητό τηλέφωνο κατασκευάστηκε από τη μηχανή Α, γνωρίζοντας ότι το κινητό τηλέφωνο είναι ελαττωματικό, είναι 0.319.

Άσκηση 2

Τρία κιβώτια περιέχουν λευκές και μαύρες μπάλες. Η σύνθεση καθενός από αυτά είναι ως ακολούθως: U1 = 3Β, 1Ν, U2 = 2Β, 2Ν, U3 = 1Β, 3Ν.

Ένα από τα κουτιά επιλέγεται τυχαία και από αυτό εξάγεται μια τυχαία σφαίρα, η οποία αποδεικνύεται λευκός. Ποιο είναι το πιο πιθανό κουτί που επιλέξατε?

Λύση

Μέσω των U1, U2 και U3, θα εκπροσωπήσουμε επίσης το επιλεγμένο πλαίσιο.

Αυτά τα γεγονότα είναι ένα χώρισμα του S και επαλήθευσε ότι P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 ως η επιλογή του κουτιού είναι τυχαία.

Αν B = η εκχυλισμένη μπάλα είναι άσπρη, θα έχουμε P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) .

Αυτό που θέλουμε να αποκτήσει είναι η πιθανότητα ότι η μπάλα έχει αφαιρεθεί από το πλαίσιο Ui γνωρίζοντας ότι η μπάλα ήταν λευκό, δηλαδή, P (Ui | Β), και να δούμε ποια από τις τρεις τιμές ήταν το υψηλότερο να ακούσω τι box ήταν πιθανότατα η εξαγωγή της λευκής μπάλας.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bayes στο πρώτο από τα πλαίσια:

Και για τα άλλα δύο:

P (U2 | B) = 2/6 και P (U3 | B) = 1/6.

Στη συνέχεια, το πρώτο από τα κουτιά είναι αυτό που έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει επιλεγεί για την εξόρυξη της λευκής μπάλας.

Αναφορές

  1. Κάι Λάι Τσούνγκ Θεωρία στοιχειωδών προνομίων με στοχαστικές διεργασίες. Springer-Verlag Νέα Υόρκη Inc.
  2. Kenneth.H. Διακριτά Μαθηματικά και οι Εφαρμογές της. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Πιθανότητες και Στατιστικές Εφαρμογές. S.A. ΜΕΞΙΚΑ ΑΛΜΑΜΠΡΑ.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Διακριτά Μαθηματικά Επίλυση Προβλημάτων. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Θεωρία και Προβλήματα Πιθανότητας. McGRAW-HILL.