Χαρακτηριστικά μεθόδων, βήματα, παραδείγματα

Το αξιαματική μέθοδο ή που ονομάζεται επίσης Αξιωματική είναι μια τυπική διαδικασία που χρησιμοποιείται από την επιστήμη σύμφωνα με την οποία διαμορφώνονται δηλώσεις ή προτάσεις που ονομάζεται αξιώματα, συνδέονται μεταξύ τους με μια αναλογία derivability και αποτελούν τη βάση των παραδοχών ή συνθήκες μιας συγκεκριμένης συστήματος.

Αυτός ο γενικός ορισμός πρέπει να πλαισιώνεται από την εξέλιξη που είχε αυτή η μεθοδολογία σε όλη την ιστορία. Πρώτον, υπάρχει μια αρχαία μέθοδος ή περιεχόμενο, που γεννήθηκε στην Αρχαία Ελλάδα από το Ευκλείδη και αργότερα αναπτύχθηκε από τον Αριστοτέλη.

Δεύτερον, ήδη από τον δέκατο ένατο αιώνα, η εμφάνιση μιας γεωμετρίας με αξιώματα διαφορετικά από εκείνα του Ευκλείδη. Τέλος, η επίσημη ή σύγχρονη αξιωματική μέθοδος, της οποίας ο μέγιστος εκθέτης ήταν ο David Hilbert.

Πέρα από την εξέλιξή του με την πάροδο του χρόνου, αυτή η διαδικασία ήταν η βάση της deductive μεθόδου που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία και τη λογική από την οποία προέρχεται. Έχει επίσης χρησιμοποιηθεί στη φυσική, τη χημεία και τη βιολογία.

Και έχει ακόμη εφαρμοστεί στη νομική επιστήμη, την κοινωνιολογία και την πολιτική οικονομία. Ωστόσο, σήμερα η σημαντικότερη σφαίρα εφαρμογής είναι τα μαθηματικά και η συμβολική λογική και ορισμένοι κλάδοι της φυσικής όπως η θερμοδυναμική, η μηχανική, μεταξύ άλλων κλάδων.

Ευρετήριο

• 1 Χαρακτηριστικά 
  • 1.1 Παλική αξιωματική μέθοδος ή περιεχόμενο 
  • 1.2 Μη ευκλείδεια αξιωματική μέθοδος
  • 1.3 Σύγχρονη ή τυπική αξιωματική μέθοδος
• 2 βήματα 
• 3 Παραδείγματα
• 4 Αναφορές

Χαρακτηριστικά

Αν και το θεμελιώδες χαρακτηριστικό αυτής της μεθόδου είναι η διατύπωση αξιωμάτων, αυτά δεν έχουν πάντοτε εξεταστεί με τον ίδιο τρόπο.

Υπάρχουν ορισμένοι που μπορούν να οριστούν και να κατασκευαστούν με αυθαίρετο τρόπο. Και άλλοι, σύμφωνα με ένα μοντέλο στο οποίο θεωρείται η διαισθητικά εγγυημένη αλήθεια.

Προκειμένου να κατανοήσουμε συγκεκριμένα τι συνίσταται αυτή η διαφορά και τις συνέπειές της, είναι απαραίτητο να επανεξετάσουμε την εξέλιξη αυτής της μεθόδου.

Παλιά αξιωματική μέθοδος ή περιεχόμενο 

Είναι αυτή που ιδρύθηκε στην Αρχαία Ελλάδα γύρω στον 5ο αιώνα π.Χ. Η σφαίρα εφαρμογής της είναι η γεωμετρία. Το θεμελιώδες έργο αυτού του σταδίου είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδιου, αν και θεωρείται ότι πριν από αυτόν ο Πυθαγόρας είχε ήδη γεννήσει την αξιωματική μέθοδο.

Έτσι οι Έλληνες παίρνουν ορισμένα γεγονότα ως αξιώματα, χωρίς να απαιτούν λογικές αποδείξεις, δηλαδή χωρίς την ανάγκη επίδειξης, αφού γι 'αυτούς είναι μια αυτονόητη αλήθεια.

Από την πλευρά του, ο Ευκλείδης παρουσιάζει πέντε αξιώματα γεωμετρίας:

1-Δεδομένων δύο σημείων υπάρχει μια γραμμή που περιέχει ή συνδέει τους.

2-Οποιοδήποτε τμήμα μπορεί να συνεχιστεί συνεχώς σε μια απεριόριστη γραμμή και στις δύο πλευρές.

3-Μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο που έχει κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο και οποιαδήποτε ακτίνα.

Οι 4-δεξιές γωνίες είναι όλες οι ίδιες.

5-Λαμβάνοντας κάθε ευθεία γραμμή και οποιοδήποτε σημείο που δεν βρίσκεται μέσα σε αυτό, υπάρχει μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτή και που περιέχει αυτό το σημείο. Αυτό το αξίωμα είναι γνωστό, αργότερα, ως το αξίωμα των παραλλήλων και έχει διατυπωθεί επίσης ως εξής: από ένα σημείο έξω από μια γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί ένα ενιαίο παράλληλο.

Ωστόσο, τόσο ο Ευκλείδης και αργότερα μαθηματικοί συμφωνούν ότι το πέμπτο αξίωμα δεν είναι τόσο διαισθητικά σαφές και από την άλλη 4. Ακόμη και κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης προσπαθεί να συναγάγει το πέμπτο του άλλου 4, αλλά δεν είναι δυνατόν.

Αυτό έκανε τον δέκατο ένατο αιώνα, ο οποίος διατήρησε τα πέντε ήταν υποστηρικτές της Ευκλείδειας γεωμετρίας και εκείνοι που αρνήθηκαν την πέμπτη, όποιος δημιούργησε τους μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Μη ευκλείδεια αξιωματική μέθοδος

Είναι ακριβώς Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Bolyai János και Johann Karl Friedrich Gauss που βλέπουν την πιθανότητα του κτιρίου, χωρίς αντίφαση, μια γεωμετρία που προέρχεται από συστήματα εκτός από τα αξιώματα του Ευκλείδη. Αυτό καταστρέφει την πίστη στην απόλυτη ή a priori αλήθεια των αξιωμάτων και των θεωριών που απορρέουν από αυτές.

Επομένως, τα αξίωμα αρχίζουν να θεωρούνται ως σημεία εκκίνησης μιας δεδομένης θεωρίας. Επίσης, τόσο η επιλογή τους όσο και το πρόβλημα της εγκυρότητάς τους, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αρχίζουν να σχετίζονται με γεγονότα εκτός της axiomatic θεωρίας.

Με αυτόν τον τρόπο εμφανίζονται γεωμετρικές, αλγεβρικές και αριθμητικές θεωρίες που κατασκευάζονται με τη βοήθεια της αξιοματικής μεθόδου.

Αυτό το στάδιο κορυφώνεται με τη δημιουργία αξιωματικών συστημάτων για αριθμητική όπως αυτή του Giuseppe Peano το 1891, τη γεωμετρία του Δαβίδ Hubert το 1899. οι δηλώσεις και οι προκαταρκτικοί υπολογισμοί των Alfred North Whitehead και Bertrand Russell, στην Αγγλία το 1910, την αξιωματική θεωρία των συνόλων του Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo το 1908.

Σύγχρονη ή τυπική αξιωματική μέθοδος

Είναι ο David Hubert ο οποίος ξεκινά τη σύλληψη μιας επίσημης αξιωματικής μεθόδου και που οδηγεί στο αποκορύφωμά του, ο David Hilbert.

Είναι ακριβώς ο Hilbert ο οποίος μορφοποιεί την επιστημονική γλώσσα, θεωρώντας τις δηλώσεις του ως τύπους ή ακολουθίες σημείων που δεν έχουν κανένα νόημα στον εαυτό τους. Αποκτούν μόνο νόημα σε μια συγκεκριμένη ερμηνεία.

Στο "Τα βασικά της γεωμετρίας"Εξηγεί το πρώτο παράδειγμα αυτής της μεθοδολογίας. Από εδώ η γεωμετρία γίνεται μια επιστήμη των καθαρών λογικών συνεπειών, οι οποίες εξάγονται από ένα σύστημα υποθέσεων ή αξιωμάτων, καλύτερα αρθρωμένο από το ευκλείδειο σύστημα.

Αυτό συμβαίνει επειδή στο παλιό σύστημα η αξιωματική θεωρία βασίζεται στην απόδειξη των αξιωμάτων. Ενώ η βάση της επίσημης θεωρίας δίνεται από την επίδειξη της μη αντιπαράθεσης των αξιωμάτων της.

Βήματα

Η διαδικασία που διεξάγει μια αξονική δομή μέσα στις επιστημονικές θεωρίες αναγνωρίζει:

α-την επιλογή ενός ορισμένου αριθμού αξιωμάτων, δηλαδή, μια σειρά προτάσεων μιας συγκεκριμένης θεωρίας που γίνονται αποδεκτές χωρίς να χρειάζεται να αποδειχθούν.

β - οι έννοιες που αποτελούν μέρος αυτών των προτάσεων δεν καθορίζονται στο πλαίσιο της δεδομένης θεωρίας.

c - οι κανόνες καθορισμού και αφαίρεσης της δεδομένης θεωρίας καθορίζονται και επιτρέπουν την εισαγωγή νέων εννοιών εντός της θεωρίας και λογικά συνάγουν μερικές προτάσεις από άλλες.

d-οι άλλες προτάσεις της θεωρίας, δηλαδή, το θεώρημα, συνάγονται από ένα με βάση το c.

Παραδείγματα

Αυτή η μέθοδος μπορεί να επαληθευτεί μέσω της επίδειξης των δύο πιο γνωστών Euclid θεωρήματα: το θεώρημα των ποδιών και το θεώρημα ύψους..

Και οι δύο προκύπτουν από την παρατήρηση αυτού του ελληνικού γεωμέτρου ότι όταν το ύψος σχεδιάζεται σε σχέση με την υποτείνουσα εντός ενός δεξιού τριγώνου, δύο τρίγωνα εμφανίζονται περισσότερο από το αρχικό. Αυτά τα τρίγωνα είναι παρόμοια μεταξύ τους και ταυτόχρονα παρόμοια με το τρίγωνο προέλευσης. Αυτό προϋποθέτει ότι οι αντίστοιχες ομόλογες πλευρές τους είναι ανάλογες.

Μπορεί να δει κανείς ότι τα τρίγωνα σύμφωνες γωνίες ελέγξει έτσι την ομοιότητα μεταξύ των τριών τρίγωνα που συμμετέχουν σύμφωνα με το κριτήριο της ομοιότητας ΑΑΑ. Αυτό το κριτήριο υποστηρίζει ότι όταν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις ίδιες γωνίες τους, είναι παρόμοια.

Μόλις τα τρίγωνα δείξουν ότι είναι παρόμοια, μπορούν να καθοριστούν οι αναλογίες που καθορίζονται στο πρώτο θεώρημα. Δηλώνει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η μέτρηση κάθε καθετήρα είναι ένας γεωμετρικός αναλογικός μέσος όρος μεταξύ της υποτείνουσας και της προβολής του καθήτου μέσα σε αυτήν..

Το δεύτερο θεώρημα είναι εκείνο του ύψους. Προσδιορίζει ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος που σχεδιάζεται σύμφωνα με την υποτείνουσα είναι ένας γεωμετρικός αναλογικός μέσος όρος μεταξύ των τμημάτων που προσδιορίζονται από τον εν λόγω γεωμετρικό μέσο στην υποτείνουσα.

Βεβαίως και τα δύο θεωρήματα έχουν πολυάριθμες εφαρμογές σε όλο τον κόσμο όχι μόνο στον τομέα της εκπαίδευσης, αλλά και στη μηχανική, τη φυσική, τη χημεία και την αστρονομία.

Αναφορές

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Γεωμετρία, φορμαλισμός και διαίσθηση: ο David Hilbert και η επίσημη αξιωματική μέθοδος (1895-1905). Philosophy Magazine, Τόμος 39 Νουμ. 2, σελ. 121-146. Λαμβάνεται από το revistas.ucm.es.
2. Hilbert, Δαβίδ. (1918) Αξιωματική σκέψη. Στο W. Ewald, συντάκτης, από τον Kant στο Hilbert: ένα βιβλίο πηγής στην ίδρυση των μαθηματικών. Τόμος II, σελ. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 α.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Ποια είναι η αξιωματική μέθοδος; Synthese, Νοέμβριος 2011, τόμος 189, σελ. 69-85. Λήψη από το link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Εισαγωγή στη φιλοσοφία του σύγχρονου δικαίου. (σελ. 48-49). Λαμβάνεται από το books.google.com.ar.
5. Νιρένμπεργκ, Ρικάρντο. (1996) Η Αξιωματική Μέθοδος, με ανάγνωση από τον Ricardo Nirenberg, Φθινόπωρο 1996, το Πανεπιστήμιο του Albany, Project Renaissance. Λαμβάνεται από το Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert μεταξύ της επίσημης και της άτυπης πλευράς των Μαθηματικών. Manuscript vol. 38 όχι. 2, Campinas Ιούλιο / Αύγουστος 2015. Λαμβάνεται από το scielo.br.