13 Μαθήματα Σετ και Παραδείγματα

Το είδη σύνολα Μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο ίσα, πεπερασμένη και άπειρη, subcojuntos, άδειο, ασύνδετη ή διαζευκτική, ισοδύναμη μονάδα, επάλληλα ή επικαλυπτόμενες, σύμφωνες και ασύμφωνες μεταξύ άλλων. 

Ένα σετ είναι μια συλλογή αντικειμένων, αλλά είναι απαραίτητοι νέοι όροι και σύμβολα για να μιλήσουμε λογικά για σύνολα.

Στη συνηθισμένη γλώσσα, που έχει σημασία για τον κόσμο στον οποίο ζούμε ταξινομώντας τα πράγματα. Τα ισπανικά έχουν πολλές λέξεις για τέτοιες συλλογές. Για παράδειγμα, "ένα κοπάδι πτηνών", "ένα κοπάδι βοοειδών", "ένα σμήνος μελισσών" και "μια αποικία μυρμηγκιών"..

Στα μαθηματικά, κάτι παρόμοιο γίνεται όταν ταξινομούνται αριθμοί, γεωμετρικές μορφές κλπ. Τα αντικείμενα αυτών των συνόλων καλούνται στοιχεία του συνόλου.

Περιγραφή ενός συνόλου

Ένα σύνολο μπορεί να περιγραφεί με την καταγραφή όλων των στοιχείων του. Για παράδειγμα,

S = 1, 3, 5, 7, 9.

"S είναι το σύνολο των οποίων τα στοιχεία είναι 1, 3, 5, 7 και 9." Τα πέντε στοιχεία του σετ διαχωρίζονται με κόμματα και παρατίθενται μεταξύ τιράντες.

Ένα σύνολο μπορεί επίσης να οριοθετηθεί με την παρουσίαση ενός ορισμού των στοιχείων του μέσα σε παρένθεση. Έτσι, το σύνολο S παραπάνω μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

S = περιττοί ακέραιοι κάτω από 10.

Ένα σύνολο πρέπει να είναι καλά καθορισμένο. Αυτό σημαίνει ότι η περιγραφή των στοιχείων ενός σετ πρέπει να είναι ξεκάθαρη και ξεκάθαρη. Για παράδειγμα, οι ψηλοί άνθρωποι δεν είναι ένα σετ, επειδή οι άνθρωποι τείνουν να διαφωνούν με το τι σημαίνει «υψηλό». Ένα παράδειγμα ενός καλά καθορισμένου συνόλου είναι

 T = γράμματα του αλφαβήτου.

Τύποι συνόλων

1- Ίσες ομάδες

Δύο σύνολα είναι τα ίδια αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Για παράδειγμα:

• Αν A = Φωνές του αλφαβήτου και B = a, e, i, o, u λέγεται ότι A = B.
• Από την άλλη πλευρά, τα σύνολα 1, 3, 5 και 1, 2, 3 δεν είναι τα ίδια, επειδή έχουν διαφορετικά στοιχεία. Αυτό γράφεται ως 1, 3, 5 ≠ 1, 2, 3.
• Η σειρά με την οποία τα στοιχεία είναι γραμμένα μέσα στις αγκύλες δεν έχει σημασία. Για παράδειγμα, 1, 3, 5, 7, 9 = 3, 9, 7, 5, 1 = 5, 9,.
• Εάν ένα στοιχείο εμφανίζεται στη λίστα περισσότερες από μία φορές, μετράται μόνο μία φορά. Για παράδειγμα, a, a, b = a, b.

Το σύνολο a, a, b έχει μόνο τα δύο στοιχεία a και b. Η δεύτερη αναφορά του a είναι μια περιττή επανάληψη και μπορεί να αγνοηθεί. Κανονικά θεωρείται κακή παράσταση κατά την εγγραφή ενός στοιχείου περισσότερες από μία φορές.

2- Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα

Τα πεπερασμένα σύνολα είναι εκείνα στα οποία μπορούν να απαριθμηθούν ή να απαριθμηθούν όλα τα στοιχεία του σετ. Ακολουθούν δύο παραδείγματα:

• Ολόκληροι αριθμοί μεταξύ 2.000 και 2.005 = 2.001, 2.002, 2.003, 2.004
• Ολόκληροι αριθμοί μεταξύ 2.000 και 3.000 = 2.001, 2.002, 2.003, ..., 2.999

Τα τρία σημεία '...' στο δεύτερο παράδειγμα αντιπροσωπεύουν τους άλλους 995 αριθμούς στο σετ. Όλα τα στοιχεία θα μπορούσαν να καταχωρηθούν, αλλά για να εξοικονομήσουν χώρο, χρησιμοποιήθηκαν σημεία. Η σημείωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο εάν είναι απολύτως σαφές τι σημαίνει, όπως σε αυτή την περίπτωση.

Ένα σύνολο μπορεί επίσης να είναι άπειρο - το μόνο που έχει σημασία είναι ότι είναι καλά καθορισμένο. Ακολουθούν δύο παραδείγματα άπειρων συνόλων:

• Ζυγός και ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι με δύο = 2, 4, 6, 8, 10, ...
• Ολόκληροι αριθμοί μεγαλύτεροι από 2.000 = 2.001, 2.002, 2.003, 2.004, ...

Και τα δύο σύνολα είναι άπειρα, διότι ανεξάρτητα από το πόσα στοιχεία προσπαθείτε να απαριθμήσετε, υπάρχουν πάντα περισσότερα στοιχεία στο σετ που δεν μπορούν να αναγραφούν, ανεξάρτητα από το πόσο καιρό προσπαθείτε. Αυτή τη φορά τα σημεία '...' έχουν ένα ελαφρώς διαφορετικό νόημα, επειδή αντιπροσωπεύουν άπειρα πολλά στοιχεία που δεν αναφέρονται.

3- Ορίζει υποσύνολα

Ένα υποσύνολο αποτελεί μέρος ενός συνόλου.

• Παράδειγμα: Οι κουκουβάγιες είναι ένας ιδιαίτερος τύπος πουλιών, οπότε κάθε κουκουβάγια είναι επίσης πουλί. Στη γλώσσα των συνόλων, εκφράζεται λέγοντας ότι το σύνολο των κουκουβάγιων είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των πουλιών.

Ένα σύνολο S ονομάζεται υποσύνολο ενός άλλου συνόλου Τ, αν κάθε στοιχείο του S είναι ένα στοιχείο του Τ. Αυτό γράφεται ως εξής:

• S ⊂ T (Διαβάστε "S είναι ένα υποσύνολο του T")

Το νέο σύμβολο ⊂ σημαίνει «είναι ένα υποσύνολο». Έτσι owls ⊂ birds γιατί κάθε κουκουβάγια είναι πτηνό.

• Αν A = 2, 4, 6 και B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, τότε A ⊂ B,

Επειδή κάθε στοιχείο του Α είναι ένα στοιχείο του Β.

Το σύμβολο ⊄ σημαίνει "δεν είναι υποσύνολο".

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του S δεν είναι στοιχείο του Τ. Για παράδειγμα:

• Birds ⊄ ιπτάμενα πλάσματα

Επειδή μια στρουθοκαμήλου είναι ένα πουλί, αλλά δεν πετάει.

• Αν A = 0, 1, 2, 3, 4 και B = 2, 3, 4, 5, 6

Επειδή 0 ∈ A, αλλά 0 ∉ Β, διαβάζει "0 ανήκει στο σύνολο A", αλλά "0 δεν ανήκει στο σύνολο Β".

4- Κενό σύνολο

Το σύμβολο Ø αντιπροσωπεύει το κενό σύνολο, το οποίο είναι το σύνολο που δεν έχει καθόλου στοιχεία. Τίποτα σε ολόκληρο το σύμπαν δεν είναι ένα στοιχείο του Ø:

• | Ø | = 0 και X ∉ Ø, δεν έχει σημασία τι μπορεί να είναι το Χ.

Υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο, επειδή δύο κενά σύνολα έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, οπότε πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους.

5- Διασυνδεδεμένα σύνολα

Δύο σύνολα ονομάζονται disjoint αν δεν έχουν κοινά στοιχεία. Για παράδειγμα:

• Τα σύνολα S = 2, 4, 6, 8 και T = 1, 3, 5, 7 είναι διαφορετικά.

6- Ισοδύναμα σύνολα

Λέγεται ότι τα Α και Β είναι ισοδύναμες αν έχουν το ίδιο ποσό των συστατικών στοιχείων, δηλαδή, ο απόλυτος αριθμός του συνόλου Α είναι ίσος με τον αριθμό καρδινάλιος του συνόλου Β n (Α) = n (Β). Το σύμβολο που υποδηλώνει ισοδύναμο σύνολο είναι το "↔".

• Για παράδειγμα:
  A = 1, 2, 3, συνεπώς, n (A) = 3
  B = p, q, r, συνεπώς, n (B) = 3
  Επομένως, το A ↔ Β

7- Ενότητες μονάδας

Είναι ένα σετ που έχει ακριβώς ένα στοιχείο σε αυτό. Με άλλα λόγια, υπάρχει μόνο ένα στοιχείο που αποτελεί το σύνολο.

Για παράδειγμα:

• S = a
• Αφήνω B = είναι ένας πρώτος αριθμός ακόμα

Επομένως, το Β είναι μια μονάδα που έχει οριστεί επειδή υπάρχει μόνο ένας πρώτος αριθμός ο οποίος είναι ομοιόμορφος, δηλαδή 2.

8- Οικουμενική ή αναφορά σετ

Ένα καθολικό σύνολο είναι η συλλογή όλων των αντικειμένων σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο ή θεωρία. Όλα τα άλλα σύνολα σε αυτό το πλαίσιο αποτελούν υποσύνολα του καθολικού συνόλου, το οποίο ονομάζεται με το κεφαλαίο γράμμα και το cursive U.

Ο ακριβής ορισμός του U εξαρτάται από το υπό συζήτηση πλαίσιο ή θεωρία. Για παράδειγμα:

• Θα μπορούσατε να ορίσετε το U ως το σύνολο όλων των ζωντανών πραγμάτων στον πλανήτη Γη. Σε αυτή την περίπτωση, το σύνολο όλων των αιλουροειδών είναι ένα υποσύνολο του U, το σύνολο όλων των ψαριών είναι ένα άλλο υποσύνολο του U.
• Αν ορίζουμε το U ως το σύνολο όλων των ζώων στον πλανήτη γη, τότε το σύνολο όλων των αιλουροειδών είναι ένα υποσύνολο του U, το σύνολο όλων των ψαριών είναι ένα άλλο υποσύνολο του U, αλλά το σύνολο όλων των δένδρων δεν είναι υποσύνολο του U.

9- Επικαλυπτόμενα ή επικαλυπτόμενα σύνολα

Δύο σύνολα που έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο ονομάζονται επικαλυπτόμενα σύνολα.

• Παράδειγμα: Έστω X = 1, 2, 3 και Y = 3, 4, 5

Τα δύο σύνολα Χ και Υ έχουν ένα κοινό στοιχείο, τον αριθμό 3. Συνεπώς, καλούνται επικαλυπτόμενα σύνολα.

10- Συγκεκριμένα σύνολα.

Είναι εκείνα τα σύνολα στα οποία κάθε στοιχείο του Α έχει την ίδια απόσταση απόστασης με τα στοιχεία του εικόνα Β. Παράδειγμα:

• Β 2, 3, 4, 5, 6 και Α 1, 2, 3, 4, 5

Η απόσταση μεταξύ 2 και 1, 3 και 2, 4 και 3, 5 και 4, 6 και 5 είναι μία (1) μονάδα, έτσι ώστε τα Α και Β είναι σύμφωνες σύνολα.

11- Μη συναφή σύνολα

Αυτά είναι εκείνα στα οποία η ίδια σχέση απόστασης μεταξύ κάθε στοιχείου του Α δεν μπορεί να καθοριστεί με την εικόνα του στο Β. Παράδειγμα:

• Β 2, 8, 20, 100, 500 και Α 1, 2, 3, 4, 5

Η απόσταση μεταξύ: 2 και 1, 8 και 2, 20 και 3, 100 και 4, 500 και 5 είναι διαφορετική, οπότε τα Α και Β είναι μη συναφή σύνολα.

12- Ομογενή σύνολα

Όλα τα στοιχεία που απαρτίζουν το σύνολο ανήκουν στην ίδια κατηγορία, είδος ή κατηγορία. Είναι του ίδιου τύπου. Παράδειγμα:

• Β 2, 8, 20, 100, 500

Όλα τα στοιχεία του Β είναι αριθμός έτσι ώστε το σύνολο θεωρείται ομοιογενές.

13- Ετερογενή σύνολα

Τα στοιχεία που αποτελούν μέρος του συνόλου ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες. Παράδειγμα:

• Ένα z, αυτοκίνητο, π, κτίρια, μήλο

Δεν υπάρχει κατηγορία στην οποία ανήκουν όλα τα στοιχεία του συνόλου, επομένως είναι ένα ετερογενές σύνολο.

Αναφορές

1. Brown, Ρ. Et αϊ (2011). Σχήματα και διαγράμματα Venn. Μελβούρνη, Πανεπιστήμιο της Μελβούρνης.
2. Πεπερασμένο σετ. Ανακτήθηκε από: math.tutorvista.com.
3. Χουν, Λ και Hoon, Τ (2009). Μαθηματικές παραμέτρους Δευτεροβάθμιο 5 Κανονικό (ακαδημαϊκό). Σιγκαπούρη, Pearson Εκπαίδευση Νότια Ασία Pte Ld.
4. Ανακτήθηκε από: searchsecurity.techtarget.com.
5. Τύποι συνόλων Ανακτήθηκε από: math-only-math.com.