Ιστορικό Οκταλικού Συστήματος, Σύστημα Αρίθμησης και Μετατροπές

Το οκταδικό σύστημα είναι ένα σύστημα αριθμητικής θέσης βάσης οκτώ (8). δηλαδή αποτελείται από οκτώ ψηφία, τα οποία είναι: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7. Συνεπώς, κάθε ψηφίο ενός οκταδικό αριθμό μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή από 0 έως 7. Ο οκταδικό σχηματίζονται από τους δυαδικούς αριθμούς.

Αυτό συμβαίνει επειδή η βάση του είναι μια ακριβής ισχύς δύο (2). Δηλαδή, οι αριθμοί που ανήκουν στο οκταδικό σύστημα σχηματίζονται όταν αυτοί ομαδοποιούνται σε τρία διαδοχικά ψηφία, διατεταγμένα από τα δεξιά προς τα αριστερά, αποκτώντας με τον τρόπο αυτό την τετραγωνική τους αξία.

Ευρετήριο

• 1 Ιστορία
• 2 οκταδικό σύστημα αρίθμησης
• 3 Μετατροπή του οκταδικού συστήματος σε δεκαδικό
  • 3.1 Παράδειγμα 1
  • 3.2 Παράδειγμα 2
• 4 Μετατροπή του δεκαδικού συστήματος στο οκταδικό
  • 4.1 Παράδειγμα
• 5 Μετατροπή του οκταδικού συστήματος στο δυαδικό
• 6 Μετατροπή του δυαδικού συστήματος στο οκταδικό
• 7 Μετατροπή του οκταπλασιαστικού συστήματος σε δεκαεξαδικό και αντίστροφα
  • 7.1 Παράδειγμα
• 8 Αναφορές

Ιστορία

Το οκταδικό σύστημα έχει την προέλευσή του στην αρχαιότητα, όταν οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν τα χέρια τους για να μετρήσουν οκτώ έως οκτώ ζώα.

Για παράδειγμα, για να μετρήσετε τον αριθμό των αγελάδων σε έναν αχυρώνα, άρχισε να μετράει στο δεξί χέρι, ενώνοντας τον αντίχειρα με το μικρό δάχτυλο. τότε για να μετρήσετε το δεύτερο ζώο, ο αντίχειρας ενώθηκε με το δείκτη και ούτω καθεξής, με τα υπόλοιπα δάχτυλα του κάθε χεριού, μέχρι να συμπληρωθεί το 8.

Υπάρχει μια πιθανότητα ότι στην αρχαιότητα το οκταδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιήθηκε πριν από το δεκαδικό για να είναι σε θέση να καταμετρήσει τους διαθρησκευτικούς χώρους. δηλαδή, μετράνε όλα τα δάχτυλα εκτός από τους αντίχειρες.

Ακολούθως δημιουργήθηκε το οκταδικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο προέρχεται από το δυαδικό σύστημα, διότι χρειάζεται πολλά ψηφία για να αντιπροσωπεύει μόνο έναν αριθμό. Από τότε, δημιουργήθηκαν τα οκταγωνικά και εξαγωνικά συστήματα, τα οποία δεν απαιτούν τόσα πολλά ψηφία και μπορούν εύκολα να μετατραπούν στο δυαδικό σύστημα.

Οκταλικό σύστημα αρίθμησης

Το σύστημα οκταδικό αποτελείται από οκτώ ψηφία που κυμαίνονται από 0 έως 7. Αυτές έχουν την ίδια τιμή όπως στην περίπτωση του δεκαδικού συστήματος, αλλά οι αλλαγές σχετική τιμή της ανάλογα με τη θέση που καταλαμβάνουν. Η αξία κάθε θέσης δίνεται από τις βασικές δυνάμεις 8.

Οι θέσεις των ψηφίων σε έναν οκταδικό αριθμό έχουν τα ακόλουθα βάρη:

8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰, οκταδικό σημείο, 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, 8^-5.

Το μεγαλύτερο οκτάτο ψηφίο είναι 7. Με αυτόν τον τρόπο, όταν μετριέται αυτό το σύστημα, αυξάνεται η μονοψήφια θέση από 0 σε 7. Όταν φτάσει το 7, ανακυκλώνεται στο 0 για την επόμενη μέτρηση. με αυτόν τον τρόπο αυξάνεται η επόμενη θέση του ψηφίου. Για παράδειγμα, για να μετρήσετε ακολουθίες, στο οκταδικό σύστημα θα είναι:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Υπάρχει ένα θεμελιώδες θεώρημα που εφαρμόζεται στο οκταδικό σύστημα και εκφράζεται ως εξής:

Στην έκφραση αυτή το δι αντιπροσωπεύει το ψηφίο πολλαπλασιασμένο με την ισχύ βάσης 8, το οποίο υποδεικνύει την τιμή θέσης κάθε ψηφίου, όπως ακριβώς διατάσσεται στο δεκαδικό σύστημα.

Για παράδειγμα, έχετε τον αριθμό 543.2. Για να το πάμε στο οκταδικό σύστημα, αποσυντίθεται με τον ακόλουθο τρόπο:

Ν = Σ [(5 _* 8²) + (4 _* 8¹) + (3 _*8⁰) + (2 _*8^-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

Ν = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25_δ

Με αυτόν τον τρόπο πρέπει να 543.2_q = 354,25_δ. Ο δείκτης q υποδεικνύει ότι είναι ένας οκταδικός αριθμός ο οποίος μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύεται από τον αριθμό 8. και ο δείκτης d αναφέρεται στον δεκαδικό αριθμό, ο οποίος μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύεται από τον αριθμό 10.

Μετατροπή του οκταδικού συστήματος σε δεκαδικό

Για να μετατρέψετε έναν οκταδικό αριθμό συστήματος στο ισοδύναμο του στο δεκαδικό σύστημα, πρέπει μόνο να πολλαπλασιάσετε κάθε οκταδικό ψηφίο με την τιμή του τόπου του, ξεκινώντας από τη δεξιά.

Παράδειγμα 1

732₈ = (7_* 8²) + (3_* 8¹) + (2_* 8⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

Παράδειγμα 2

26.9₈ = (2 _*8¹) + (6_* 8⁰) + (9)_* 8^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26.9₈ = 16 + 6 + 1,125

26.9₈= 23,125₁₀

Μετατροπή του δεκαδικού συστήματος στο οκταδικό

Ένας δεκαδικός ακέραιος μπορεί να μετατραπεί σε ένα οκταδικό αριθμό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαναλαμβανόμενης διαίρεσης, όπου το δεκαδικό ακέραιος διαιρείται από οκτώ έως ότου το πηλίκο είναι ίσο με 0, και τα κατάλοιπα της κάθε διαίρεσης θα αντιπροσωπεύουν το οκταδικό αριθμό.

Τα απόβλητα ταξινομούνται από το τελευταίο στο πρώτο. δηλαδή, το πρώτο κατάλοιπο θα είναι το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του οκταδικού αριθμού. Με αυτόν τον τρόπο, το πιο σημαντικό ψηφίο θα είναι το τελευταίο κατάλοιπο.

Παράδειγμα

Οκτώλ του δεκαδικού αριθμού 266₁₀

- Διαχωρίστε τον δεκαδικό αριθμό 266 μεταξύ 8 = 266/8 = 33 + υπόλοιπο 2.

- Στη συνέχεια το 33 διαιρείται με 8 = 33/8 = 4 + υπολείμματα του 1.

- Χωρίστε 4 με 8 = 4/8 = 0 + υπόλοιπο 4.

Όπως και με την τελευταία διαίρεση επιτυγχάνεται πηλίκο μικρότερο του 1, αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα έχει βρεθεί. μόνο τα υπολείμματα πρέπει να παραγγελθούν με αντίστροφη σειρά, έτσι ώστε ο οκταδικός αριθμός του δεκαδικού 266 να είναι 412, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Μετατροπή του οκταδικού συστήματος στο δυαδικό

Η μετατροπή του οκταπλασιαστικού συστήματος στο δυαδικό σύστημα πραγματοποιείται μετατρέποντας το οκταδικό ψηφίο στο ισοδύναμο δυαδικό του ψηφίο, που αποτελείται από τρία ψηφία. Υπάρχει ένας πίνακας που δείχνει πώς μετατρέπονται τα οκτώ πιθανά ψηφία:

Από αυτές τις μετατροπές, οποιοσδήποτε αριθμός από το οκταδικό σύστημα στο δυαδικό μπορεί να αλλάξει, για παράδειγμα, για να μετατρέψει τον αριθμό 572₈ τα ισοδύναμά σας αναζητούνται στον πίνακα. Έτσι, πρέπει:

5₈ = 101

7₈= 111

2₈ = 10

Επομένως, 572₈ ισοδύναμο στο δυαδικό σύστημα με το 10111110.

Μετατροπή του δυαδικού συστήματος στο οκταδικό

Η διαδικασία μετατροπής δυαδικών ακεραίων σε οκταδικό ακέραιο είναι η αντίστροφη λειτουργία στην προηγούμενη διαδικασία.

Δηλαδή, τα δυφία του δυαδικού αριθμού ομαδοποιούνται σε δύο ομάδες τριών μπιτ, ξεκινώντας από δεξιά προς τα αριστερά. Στη συνέχεια, η μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό γίνεται με τον προηγούμενο πίνακα.

Σε ορισμένες περιπτώσεις ο δυαδικός αριθμός δεν θα έχει ομάδες των 3 bits. για να την ολοκληρώσετε, προσθέστε ένα ή δύο μηδενικά στα αριστερά της πρώτης ομάδας.

Για παράδειγμα, για να αλλάξετε τον δυαδικό αριθμό 11010110 σε οκταδικό, γίνονται τα εξής:

- Γίνονται ομάδες 3 μπιτ ξεκινώντας από το δεξιό (τελευταίο bit):

11010110

- Δεδομένου ότι η πρώτη ομάδα είναι ελλιπής, προστίθεται ένα μηδέν αριστερά:

011010110

- Η μετατροπή γίνεται από τον πίνακα:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Έτσι, ο δυαδικός αριθμός 011010110 είναι ισοδύναμος με 326₈.

Μετατροπή του οκταπλασιαστικού συστήματος σε δεκαεξαδικό και αντίστροφα

Για να αλλάξετε μια οκταδικό αριθμητικό σύστημα σε δεκαεξαδικό ή οκταδικό σε δεκαεξαδικό, είναι απαραίτητο ότι ο αριθμός μετατρέπεται πρώτα σε δυαδικό, και στη συνέχεια το επιθυμητό σύστημα.

Για αυτό υπάρχει ένας πίνακας όπου κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο εκπροσωπείται με το ισοδύναμό του στο δυαδικό σύστημα, που αποτελείται από τέσσερα ψηφία.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δυαδικός αριθμός δεν θα έχει ομάδες 4 bits. για να την ολοκληρώσετε, προσθέστε ένα ή δύο μηδενικά στα αριστερά της πρώτης ομάδας

Παράδειγμα

Μετατρέψτε τον οκταδικό αριθμό 1646 σε δεκαεξαδικό αριθμό:

- Ο αριθμός από οκταδικό σε δυαδικό μετατρέπεται

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

- Έτσι, το 1646₈ = 1110100110.

- Για να μετατρέψετε από δυαδικό σε δεκαεξαδικό, πρώτα ταξινομούνται σε μια ομάδα 4-bit, ξεκινώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά:

11 1010 0110

- Η πρώτη ομάδα συμπληρώνεται με μηδενικά, έτσι ώστε να μπορεί να έχει 4 bits:

0011 1010 0110

- Η μετατροπή του δυαδικού συστήματος στο δεκαεξαδικό γίνεται. Οι ισοδυναμίες αντικαθίστανται από τον πίνακα:

0011 = 3

1010 = Α

0110 = 6

Έτσι, ο οκταδικός αριθμός 1646 είναι ισοδύναμος με 3Α6 στο δεκαεξαδικό σύστημα.

Αναφορές

1. Bressan, Α. Ε. (1995). Εισαγωγή στα συστήματα αρίθμησης. Αργεντινής Πανεπιστήμιο Επιχειρήσεων.
2. Harris, J. Ν. (1957). Εισαγωγή στα δυαδικά και οκταπλασιαστικά συστήματα αριθμοδότησης: Lexington, Mass. Οργανισμός Τεχνικών Πληροφοριών Ενόπλων Δυνάμεων.
3. Kumar, Α. Α. (2016). Βασικές αρχές ψηφιακών κυκλωμάτων. Μάθηση Pvt.
4. Περίς, Χ. C. (2009). Λειτουργικά συστήματα Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, Ν. S. (2003). Ψηφιακά συστήματα: αρχές και εφαρμογές. Εκπαίδευση Pearson.