Αλγεβρική λογική (με επιλυμένες ασκήσεις)

Το αλγεβρική λογική ουσιαστικά συνίσταται στην επικοινωνία ενός μαθηματικού επιχειρήματος μέσω μιας ειδικής γλώσσας, η οποία την καθιστά αυστηρότερη και γενικότερη, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές μεταβλητές και λειτουργίες που ορίζονται μεταξύ τους. Ένα χαρακτηριστικό των μαθηματικών είναι η λογική αυστηρότητα και η αφηρημένη τάση που χρησιμοποιείται στα επιχειρήματά της.

Γι 'αυτό είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη σωστή "γραμματική" που πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε αυτό το γράψιμο. Επιπλέον, η αλγεβρική λογική αποφεύγει αμφισημίες στην αιτιολόγηση ενός μαθηματικού επιχειρήματος, το οποίο είναι απαραίτητο για να δείξει οποιοδήποτε αποτέλεσμα στα μαθηματικά.

Ευρετήριο

• 1 Αλγεβρικές μεταβλητές
• 2 Αλγεβρικές εκφράσεις
  • 2.1 Παραδείγματα
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Πρώτη άσκηση
  • 3.2 Δεύτερη άσκηση
  • 3.3 Τρίτη άσκηση
• 4 Αναφορές

Αλγεβρικές μεταβλητές

Μια αλγεβρική μεταβλητή είναι απλά μια μεταβλητή (ένα γράμμα ή ένα σύμβολο) που αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο.

Για παράδειγμα, τα γράμματα x, y, z χρησιμοποιούνται συνήθως για να αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς που ικανοποιούν μια δεδομένη εξίσωση. τα γράμματα p, q r, για να αντιπροσωπεύσουν προτασιακούς τύπους (ή τα αντίστοιχα κεφαλαία τους για να αντιπροσωπεύουν συγκεκριμένες προτάσεις). και τα γράμματα Α, Β, Χ, κ.λπ., για να αντιπροσωπεύουν σύνολα.

Ο όρος "μεταβλητή" υπογραμμίζει ότι το συγκεκριμένο αντικείμενο δεν είναι σταθερό, αλλά ποικίλλει. Αυτή είναι η περίπτωση μιας εξίσωσης, στην οποία οι μεταβλητές χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των λύσεων που είναι αρχικά άγνωστες.

Σε γενικές γραμμές, μια αλγεβρική μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γράμμα που αντιπροσωπεύει κάποιο αντικείμενο, είτε είναι σταθερό είτε όχι.

Ακριβώς όπως οι αλγεβρικές μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύουν μαθηματικά αντικείμενα, μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε σύμβολα για να αναπαριστούμε μαθηματικές πράξεις.

Για παράδειγμα, το σύμβολο "+" αντιπροσωπεύει τη λειτουργία "αθροίσματος". Άλλα παραδείγματα είναι οι διαφορετικές συμβολικές σημειώσεις του λογικού συνδετικού στην περίπτωση προτάσεων και συνόλων.

Αλγεβρικές εκφράσεις

Μια αλγεβρική έκφραση είναι ένας συνδυασμός αλγεβρικών μεταβλητών μέσω προηγουμένως καθορισμένων λειτουργιών. Παραδείγματα αυτών είναι οι βασικές λειτουργίες της προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης μεταξύ αριθμών ή λογικής συνδετικότητας σε προτάσεις και σύνολα.

Η αλγεβρική συλλογιστική είναι υπεύθυνη για την έκφραση ενός συλλογιστικού ή μαθηματικού επιχειρήματος μέσω αλγεβρικών εκφράσεων.

Αυτή η μορφή έκφρασης συμβάλλει στην απλούστευση και συντόμευση της γραφής, καθώς χρησιμοποιεί συμβολικές σημειώσεις και μας επιτρέπει να κατανοήσουμε καλύτερα τη συλλογιστική, παρουσιάζοντάς την με πιο σαφή και ακριβέστερο τρόπο.

Παραδείγματα

Ας δούμε μερικά παραδείγματα που δείχνουν πώς χρησιμοποιείται η αλγεβρική λογική. Πολύ τακτικά χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων λογικής και λογικής, όπως θα δούμε σύντομα.

Εξετάστε τη γνωστή μαθηματική πρόταση "το άθροισμα των δύο αριθμών είναι μεταβλητό". Ας δούμε πώς αυτή η πρόταση μπορεί να εκφράσει αλγεβρικά: δίνονται δύο αριθμοί «a» και «b», το οποίο σημαίνει ότι αυτή η πρόταση είναι ότι α + β = β + α.

Η συλλογιστική που χρησιμοποιείται για να ερμηνεύσει την αρχική πρόταση και να την εκφράσει με αλγεβρικό τρόπο είναι μια αλγεβρική λογική.

Μπορούμε επίσης να αναφέρουμε την περίφημη έκφραση «τη σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν», το οποίο αναφέρεται στο προϊόν δύο αριθμών είναι αντιμεταθετική επίσης, και αλγεβρικά εκφράζεται ως axb = BXA.

Αναλόγως μπορεί να εκφραστεί (και μάλιστα εκφρασμένη) αλγεβρικά τα συσχετιστική και διανομής ιδιότητες για το άθροισμα και το προϊόν, στο οποίο περιλαμβάνονται το αφαίρεσης και της διαίρεσης.

Αυτός ο τύπος αιτιολογίας καλύπτει μια πολύ ευρεία γλώσσα και χρησιμοποιείται σε πολλά και διαφορετικά πλαίσια. Ανάλογα με κάθε περίπτωση, σε αυτά τα πλαίσια πρέπει να αναγνωρίσουμε τα πρότυπα, να ερμηνεύσουμε τις δηλώσεις και να γενικεύσουμε και να επισημοποιήσουμε την έκφρασή τους με αλγεβρικό τρόπο, παρέχοντας μια έγκυρη και διαδοχική συλλογιστική.

Επιλυμένες ασκήσεις

Τα παρακάτω είναι μερικά λογικά προβλήματα, τα οποία θα λύσουμε χρησιμοποιώντας μια αλγεβρική λογική:

Πρώτη άσκηση

Ποιος είναι ο αριθμός που, αφαιρώντας το μισό, είναι ίσος με έναν?

Λύση

Για να λύσουμε αυτό το είδος ασκήσεων είναι πολύ χρήσιμο να αντιπροσωπεύουμε την τιμή που θέλουμε να καθορίσουμε μέσω μιας μεταβλητής. Σε αυτή την περίπτωση θέλουμε να βρούμε έναν αριθμό που αφαιρώντας το μισό, οδηγεί στον αριθμό ένα. Σημειώστε για x τον αριθμό που ζητήσατε.

«Αφαίρεση μισό» νοείται ένας αριθμός μεταξύ του 2 Έτσι διαιρούν το παραπάνω μπορεί να εκφραστεί αλγεβρικά ως x / 2 = 1, και το πρόβλημα μειώνει την επίλυση μιας εξίσωσης, η οποία στην περίπτωση αυτή είναι γραμμική και εύκολο να λυθεί. Με την εκκαθάριση x λαμβάνουμε ότι η λύση είναι x = 2.

Συμπερασματικά, 2 είναι ο αριθμός που με την αφαίρεση του μισού είναι ίση με 1.

Δεύτερη άσκηση

Πόσα λεπτά έχουν μείνει μέχρι τα μεσάνυχτα αν λείπουν 10 λεπτά 5/3 ό, τι λείπει τώρα?

Λύση

Σημειώστε με "z" τον αριθμό των λεπτών που απομένουν μέχρι τα μεσάνυχτα (μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε άλλο γράμμα). Αυτό σημαίνει ότι μόλις λείπουν τα "ζ" λεπτά για τα μεσάνυχτα. Αυτό σημαίνει ότι για 10 λεπτά λείπουν τα "z + 10" λεπτά για τα μεσάνυχτα, και αυτό αντιστοιχεί στα 5/3 του τι λείπει τώρα. δηλαδή, (5/3) z.

Στη συνέχεια, το πρόβλημα μειώνεται για να επιλυθεί η εξίσωση z + 10 = (5/3) z. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας κατά 3, παίρνετε την εξίσωση 3ζ + 30 = 5ζ.

Τώρα, με την ομαδοποίηση της μεταβλητής "z" στη μία πλευρά της ισότητας, λαμβάνουμε ότι 2z = 15, πράγμα που σημαίνει ότι z = 15.

Συνεπώς, απομένουν 15 λεπτά μέχρι τα μεσάνυχτα.

Τρίτη άσκηση

Σε μια φυλή που ασκεί ανταλλαγή, υπάρχουν αυτές οι ισοδυναμίες:

- Ένα δόρυ και ένα κολιέ ανταλλάσσονται για ασπίδα.

- Ένα δόρυ είναι ισοδύναμο με ένα μαχαίρι και ένα κολιέ.

- Δύο ασπίδες ανταλλάσσονται για τρεις μονάδες μαχαιριών.

Πόσα κολάρα είναι ισοδύναμο δόρυ;?

Λύση

Sean:

Co = ένα κολιέ

L = ένα δόρυ

E = ασπίδα

Cu = μαχαίρι

Έπειτα έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

Co + L = Ε

L = Co + Cu

2Ε = 3Cu

Έτσι, το πρόβλημα μειώνεται στην επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων. Παρά το ότι έχουμε περισσότερα άγνωστα από τις εξισώσεις, αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί, αφού δεν μας ζητούν μια συγκεκριμένη λύση αλλά μία από τις μεταβλητές που εξαρτώνται από την άλλη. Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να εκφράσουμε αποκλειστικά το "Co" σε λειτουργία του "L".

Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε ότι Cu = L - Co. Αντικαθιστώντας στην τρίτη έχουμε την E = (3L - 3Co) / 2. Τέλος, υποκαθιστώντας την πρώτη εξίσωση και την απλοποίησή της, αποκτάμε ότι 5Co = L; δηλαδή, ότι ένα δόρυ ισοδυναμεί με πέντε κολάρα.

Αναφορές

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J.W. (2013). Μαθηματικά: μια προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων για τους δασκάλους της βασικής εκπαίδευσης. López Mateos Editores.
2. Πηγές, Α. (2016). ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Εισαγωγή στον υπολογισμό. Lulu.com.
3. García Rua, J. & Martínez Sánchez, J. Μ. (1997). Βασικά στοιχειώδη μαθηματικά. Υπουργείο Παιδείας.
4. Rees, Ρ. Κ. (1986). Άλγεβρα. Επαναστροφή.
5. Rock, Ν. Μ. (2006). Η άλγεβρα είναι εύκολη! Τόσο εύκολο. Ομάδα Rock Press.
6. Smith, S.A. (2000). Άλγεβρα. Εκπαίδευση Pearson.
7. Szecsei, D. (2006). Βασικό μαθηματικό και προ-άλγεβρα (εικονογραφημένη έκδοση). Καριέρα Τύπου.