Τι είναι οι σχετικοί ξάδελφοι; Χαρακτηριστικά και παραδείγματα

Ονομάζεται σχετικές ξαδέλφια (coprimos ή ξαδέρφια σε σχέση μεταξύ τους) σε οποιοδήποτε ζεύγος ακέραιων αριθμών που δεν έχουν κοινό διαχωριστή, εκτός από το 1.

Με άλλα λόγια, δύο ολόκληροι αριθμοί είναι συγγενείς ξαδέλφες, αν στις αποσυνθέσεις τους σε πρωταρχικούς αριθμούς, δεν έχουν κοινό παράγοντα.

Για παράδειγμα, αν επιλεχθούν 4 και 25, οι πρώτες αποσυνθέσεις συντελεστών του καθενός είναι 2 2 και 5 2 αντίστοιχα. Όπως εκτιμάται, αυτά δεν έχουν κανέναν κοινό παράγοντα, συνεπώς τα 4 και τα 25 είναι σχετικά ξαδέλφια.

Από την άλλη πλευρά, αν επιλέγονται τα 6 και τα 24, όταν πραγματοποιούν τις αποσυνθέσεις τους σε πρωταρχικούς παράγοντες, έχουμε 6 = 2 * 3 και 24 = 2 3 * 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτές οι δύο τελευταίες εκφράσεις έχουν τουλάχιστον έναν κοινό παράγοντα, επομένως, δεν είναι σχετικές πριμοδοτήσεις.

Σχετικά ξαδέλφια

Ένα πράγμα που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι λέγοντας ότι ένα ζευγάρι ακεραίων είναι σχετικές πριμοδοτήσεις είναι ότι αυτό δεν σημαίνει ότι οποιοδήποτε από αυτά είναι ένας πρωταρχικός αριθμός.

Επιπλέον, ο παραπάνω ορισμός μπορεί να συνοψιστεί ως εξής: δύο ακέραιοι «α» και «β» είναι σχετικά prime, αν και μόνο αν το μέγιστο κοινό διαιρέτη από αυτά είναι το ένα, δηλαδή gcd ( α, β) = 1.

Δύο άμεσα συμπεράσματα αυτού του ορισμού είναι ότι:

-Εάν το "a" (ή "b") είναι ένας prime number, τότε το mcd (a, b) = 1.

-Αν τα "a" και "b" είναι πρωταρχικοί αριθμοί, τότε mcd (a, b) = 1.

Δηλαδή, αν τουλάχιστον ένας από τους επιλεγμένους αριθμούς είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, τότε απευθείας το ζευγάρι των αριθμών είναι σχετικές πριμοδοτήσεις.

Άλλα χαρακτηριστικά

Άλλα αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται για να διαπιστωθεί εάν δύο αριθμοί είναι σχετικοί πριμοδότες είναι:

-Εάν δύο ακέραιοι είναι διαδοχικοί τότε αυτοί είναι σχετικοί ξάδελφοι.

-Δύο φυσικοί αριθμοί "a" και "b" είναι σχετικοί πριμοδοτήσεις εάν και μόνο αν οι αριθμοί "(2 ^ α) -1" και "(2 ^ b) -1".

-Οι δύο ακέραιοι αριθμοί "a" και "b" είναι σχετικοί πριμοδοτήσεις εάν και μόνο αν σχεδιάσουμε το σημείο (a, b) στο καρτεσιανό επίπεδο και κατασκευάσουμε τη γραμμή που διέρχεται από την προέλευση (0,0) και (a , β), αυτό δεν περιέχει σημεία με ολόκληρες συντεταγμένες.

Παραδείγματα

1.- Εξετάστε τους ακεραίους 5 και 12. Οι πρώτες αποσυνθέσεις συντελεστών και των δύο αριθμών είναι: 5 και 2 * 3 αντίστοιχα. Συμπερασματικά, το gcd (5,12) = 1, ως εκ τούτου, το 5 και το 12 είναι σχετικές αρχικές τιμές.

2.- Αφήστε τους αριθμούς -4 και 6. Στη συνέχεια -4 = -2 2 και 6 = 2 * 3, έτσι ώστε η οθόνη LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Το συμπέρασμα 4 και 6 δεν είναι σχετικά ξαδέλφια.

Αν προχωρήσουμε για να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από τα διατεταγμένα ζεύγη (4,6) και (0,0), και να καθορίσει την εξίσωση της γραμμής αυτής, μπορεί να διαπιστώσει ότι αυτή διέρχεται από το σημείο (-2,3).

Και πάλι συμπεραίνεται ότι το -4 και το 6 δεν είναι σχετικά ξαδέλφια.

3.- Οι αριθμοί 7 και 44 είναι σχετικοί πριμοδοτήσεις και μπορούν να ολοκληρωθούν γρήγορα χάρη στα παραπάνω, αφού ο 7 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός.

4.- Εξετάστε τους αριθμούς 345 και 346. Όντας δύο διαδοχικοί αριθμοί επαληθεύεται ότι mcd (345,346) = 1, επομένως τα 345 και 346 είναι σχετικές αρχικές τιμές.

5.- Αν ληφθούν υπόψη οι αριθμοί 147 και 74, τότε πρόκειται για συγγενείς ξαδέλφες, αφού 147 = 3 * 7 2 και 74 = 2 * 37, επομένως η gcd (147.74) = 1.

6.- Οι αριθμοί 4 και 9 είναι σχετικοί πριμοδοτήσεις. Για να καταδειχθεί αυτό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο δεύτερος χαρακτηρισμός που αναφέρθηκε παραπάνω. Στην πραγματικότητα, 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 και 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Αριθμοί που λαμβάνεται είναι 15 και 511. Οι αποσυνθέσεις παραγοντοποίηση από αυτούς τους αριθμούς είναι 3 * 5 7 * 73 αντίστοιχα, έτσι ώστε gcd (15.511) = 1.

Όπως βλέπετε, η χρήση του δεύτερου χαρακτηρισμού είναι ένα μακρύτερο και πιο επίπονο έργο απ 'ό, τι να το ελέγξουμε άμεσα.

7.- Εξετάστε τους αριθμούς -22 και -27. Στη συνέχεια, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ξαναγραφούν ως εξής: -22 = -2 * 11 και -27 = -3³. Επομένως, το gcd (-22, -27) = 1, έτσι -22 και -27 είναι σχετικές πρώτες.

Αναφορές

1. Barrantes, Η., Diaz, Ρ., Murillo, Μ. & Soto, Α. (1998). Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών. EUNED.
2. Bourdon, Ρ. L. (1843). Αριθμητικά στοιχεία. Βιβλιοπωλείο των Λόρδων και Παιδιών Υιοί της Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Βασικό μάθημα στη θεωρία αριθμών. Πανεπιστήμιο του Βορρά.
4. Guevara, Μ. Η. (S.f.). Το σύνολο των αριθμών. EUNED.
5. Ανώτερο Ινστιτούτο Εκπαίδευσης Δασκάλων (Ισπανία), J. L. (2004). Αριθμοί, μορφές και τόμοι στο περιβάλλον του παιδιού. Υπουργείο Παιδείας.
6. Palmer, C.I. & Bibb, S.F. (1979). Πρακτικά μαθηματικά: αριθμητική, άλγεβρα, γεωμετρία, τριγωνομετρία και κανόνας διαφάνειας (εκτύπωση εκ νέου). Επαναστροφή.
7. Rock, Ν. Μ. (2006). Η άλγεβρα είναι εύκολη! Τόσο εύκολο. Ομάδα Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). Άλγεβρα. Εκπαίδευση Pearson.
9. Szecsei, D. (2006). Βασικό μαθηματικό και προ-άλγεβρα (εικονογραφημένη έκδοση). Καριέρα Τύπου.
10. Toral, C., & Preciado, Μ. (1985). 2ο μάθημα μαθηματικών. Συντάκτης Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, Α. & Colorado, Η. (2010). Βασικές αρχές της αριθμητικής. ELIZCOM S.A.S.