Τι είναι τα τριγωνομετρικά όρια; (με επιλυμένες ασκήσεις)

Το τριγωνομετρικά όρια είναι όρια λειτουργιών έτσι ώστε αυτές οι λειτουργίες να σχηματίζονται από τριγωνομετρικές λειτουργίες.

Υπάρχουν δύο ορισμοί που πρέπει να γνωρίζουμε για να κατανοήσουμε πώς εκτελείται ο υπολογισμός ενός τριγωνομετρικού ορίου.

Αυτοί οι ορισμοί είναι:

- Όριο συνάρτησης «f» όταν «x» τείνει να «b» είναι να υπολογιστεί η τιμή στην οποία f (x) προσεγγίσεις ως «x» προσεγγίσεις «b», χωρίς την τιμή «b».

- Τριγωνομετρικές λειτουργίες: οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι οι συναρτήσεις ημιτονοειδείς, συνημιτονικές και εφαπτόμενες, που υποδηλώνονται από την αμαρτία (x), cos (x) και tan (x) αντίστοιχα.

Οι άλλες τριγωνομετρικές λειτουργίες λαμβάνονται από τις τρεις λειτουργίες που αναφέρονται παραπάνω.

Όρια λειτουργιών

Για να αποσαφηνιστεί η έννοια του ορίου μιας λειτουργίας θα προχωρήσουμε να δείξουμε μερικά παραδείγματα με απλές λειτουργίες.

- Το όριο του f (x) = 3 όταν το "x" τείνει στο "8" είναι ίσο με το "3", αφού η συνάρτηση είναι πάντα σταθερή. Ανεξάρτητα από το πόσο αξίζει το "x", η τιμή του f (x) θα είναι πάντοτε "3".

- Το όριο του f (x) = x-2 όταν το "x" τείνει στο "6" είναι "4". Από τη στιγμή που το "x" προσεγγίζει "6" τότε το "x-2" προσεγγίζει "6-2 = 4".

- Το όριο της g (x) = x² όταν «x» τείνει να «3» είναι ίσο με 9 δεδομένου ότι όταν το «χ» πλησιάζει στο «3» στη συνέχεια «x²» έρχεται πιο κοντά στο «3² = 9».

Όπως μπορεί να φανεί στα προηγούμενα παραδείγματα, ο υπολογισμός ενός ορίου συνίσταται στην αξιολόγηση της τιμής στην οποία το "χ" τείνει στη συνάρτηση και το αποτέλεσμα θα είναι η τιμή του ορίου, αν και αυτό ισχύει μόνο για τις συνεχείς λειτουργίες.

Υπάρχουν πιο περίπλοκα όρια?

Η απάντηση είναι ναι. Τα παραπάνω παραδείγματα είναι τα απλούστερα παραδείγματα ορίων. Στα βιβλία του υπολογισμού, τα κύρια όρια είναι ασκήσεις που δημιουργούν μια απροσδιοριστία ρυθμό 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ∞ ^ (0) ^ 0 (∞) ^ 0.

Αυτές οι εκφράσεις ονομάζονται απροσδιόριστες επειδή είναι εκφράσεις που δεν έχουν νόημα μαθηματικά.

Εκτός από αυτό, ανάλογα με τις λειτουργίες που εμπλέκονται στο αρχικό όριο, το αποτέλεσμα που επιτυγχάνεται για την επίλυση των απροσδιορισμών μπορεί να είναι διαφορετικό σε κάθε περίπτωση.

Παραδείγματα απλών τριγωνομετρικών ορίων

Για να επιλυθούν όρια, είναι πάντα πολύ χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα των εμπλεκόμενων λειτουργιών. Παρακάτω παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των ημιτονοειδών, συνημιτονικών και εφαπτομένων λειτουργιών.

Μερικά παραδείγματα απλών τριγωνομετρικών ορίων είναι:

- Υπολογίστε το όριο της αμαρτίας (x) όταν το "x" τείνει στο "0".

Κατά την προβολή του γραφήματος βλέπετε ότι αν το "x" πλησιάζει στο "0" (τόσο αριστερά όσο και δεξιά), τότε το ημίτονο γράφημα πλησιάζει επίσης στο "0". Επομένως, το όριο της αμαρτίας (x) όταν το "x" τείνει στο "0" είναι "0".

- Υπολογίστε το όριο του cos (x) όταν το "x" τείνει στο "0".

Παρατηρώντας το συνημίτονο γράφημα, μπορεί να φανεί ότι όταν το "x" είναι κοντά στο "0" τότε το γράφημα συνημίτονου είναι κοντά στο "1". Αυτό σημαίνει ότι το όριο του cos (x) όταν το "x" τείνει στο "0" ισούται με το "1".

Ένα όριο μπορεί να υπάρχει (να είναι ένας αριθμός), όπως στα προηγούμενα παραδείγματα, αλλά μπορεί επίσης να συμβεί ότι δεν υπάρχει όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα.

- Το όριο του μαύρου (x) όταν το "x" τείνει στο "Π / 2" στα αριστερά είναι ίσο με το "+ ∞", όπως φαίνεται στο γράφημα. Από την άλλη πλευρά, το όριο του μαύρου (x) όταν το "x" τείνει στο "-Π / 2" στα δεξιά είναι ίσο με το "-∞".

Ταυτότητα τριγωνομετρικών ορίων

Δύο πολύ χρήσιμες ταυτότητες κατά τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών ορίων είναι:

- Το όριο της "αμαρτίας (x) / x" όταν το "x" τείνει στο "0" είναι ίσο με το "1".

- Το όριο του "(1-cos (x)) / x" όταν το "x" τείνει στο "0" ισούται με το "0".

Αυτές οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται πολύ συχνά όταν έχετε κάποιο είδος απροσδιόριστου.

Επιλυμένες ασκήσεις

Επιλύστε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες που περιγράφονται παραπάνω.

- Υπολογίστε το όριο του "f (x) = sin (3x) / x" όταν το "x" τείνει στο "0".

Αν η συνάρτηση "f" αξιολογηθεί στο "0", θα αποκτηθεί ένας απροσδιόριστος τύπου 0/0. Επομένως, πρέπει να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε αυτήν την απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες που περιγράφονται.

Η μόνη διαφορά μεταξύ αυτού του ορίου και της ταυτότητας είναι ο αριθμός 3 που εμφανίζεται στη λειτουργία sine. Για την εφαρμογή της ταυτότητας, η συνάρτηση "f (x)" πρέπει να ξαναγραφεί με τον ακόλουθο τρόπο "3 * (sin (3x) / 3x)". Τώρα, τόσο το επιχείρημα του ημιτονικού όσο και του παρονομαστή είναι ίσο.

Επομένως, όταν το "x" τείνει στο "0", η χρήση της ταυτότητας έχει ως αποτέλεσμα "3 * 1 = 3". Επομένως, το όριο του f (x) όταν το "x" τείνει στο "0" είναι ίσο με το "3".

- Υπολογίστε το όριο "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" όταν το "x" τείνει στο ".

Όταν το "x = 0" αντικατασταθεί σε g (x), αποκτάται ένας απροσδιόριστος του τύπου ∞-∞. Για να το λύσουμε, αφαιρούνται τα κλάσματα, τα οποία αποδίδουν το αποτέλεσμα "(1-cos (x)) / x".

Τώρα, όταν εφαρμόζουμε τη δεύτερη τριγωνομετρική ταυτότητα, έχουμε το όριο g (x) όταν το "x" τείνει στο "0" είναι ίσο με 0.

- Υπολογίστε το όριο "h (x) = 4tan (5x) / 5x" όταν το "x" τείνει στο "0".

Και πάλι, εάν αξιολογήσετε το h (x) στο "0" θα πάρετε ένα απροσδιόριστο του τύπου 0/0.

Η επαναφορά του μαύρου χρώματος (5x) ως αμαρτία (5x) / cos (5x) έχει ως αποτέλεσμα ότι h (x) = (sin (5x) / 5x) *.

Χρησιμοποιώντας το όριο των 4 / cos (x), όπου το «χ» έχει την τάση να «0» είναι ίσο με «4/1 = 4» και η πρώτη τριγωνομετρικό ταυτότητα επιτυγχάνεται ότι το όριο της h (x), όπου το «χ» τείνει ένα "0" ισούται με "1 * 4 = 4".

Παρατήρηση

Τα τριγωνομετρικά όρια δεν είναι πάντα εύκολο να λυθούν. Σε αυτό το άρθρο παρουσιάστηκαν μόνο βασικά παραδείγματα.

Αναφορές

1. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθηματικά Precalculus. PTR Prentice Hall.
2. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθήματα Precalculus: προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων (2, Illustrated ed.). Μίτσιγκαν: αίθουσα Prentice.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Εκπαιδευτική εκπαίδευση.
5. Leal, J. Μ., & Viloria, Ν. G. (2005). Επίπεδο αναλυτική γεωμετρία. Μερίδα - Βενεζουέλα: Εκδοτική Βενεζολάνια Γ.
6. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός (Ninth ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Διαφορικός υπολογισμός με πρώιμες υπερβατικές λειτουργίες για την Επιστήμη και τη Μηχανική (Δεύτερη έκδοση έκδ.). Υπόταση.
9. Scott, C. Α. (2009). Καρτεσιανή Αεροπορική Γεωμετρία, Μέρος: Αναλυτικά Conics (1907) (εκτύπωση εκ νέου). Πηγή φωτός.
10. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.