Τι είναι η κλασική πιθανότητα; (Με επιλυμένες ασκήσεις)

Το κλασική πιθανότητα είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση του υπολογισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος. Για να κατανοήσουμε αυτή την έννοια είναι απαραίτητο να καταλάβουμε πρώτα ποια είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος.

Η πιθανότητα μετρά πόσο πιθανό είναι ότι ένα συμβάν θα συμβεί ή όχι. Η πιθανότητα οποιουδήποτε συμβάντος είναι ένας πραγματικός αριθμός που είναι μεταξύ 0 και 1, και τα δύο. 

Εάν η πιθανότητα ενός συμβάντος να συμβεί είναι 0, αυτό σημαίνει ότι είναι βέβαιο ότι αυτό το συμβάν δεν θα συμβεί.

Αντίθετα, εάν η πιθανότητα ενός γεγονότος να συμβεί είναι 1, τότε είναι 100% σίγουρος ότι το συμβάν θα συμβεί.

Πιθανότητα ενός γεγονότος

Αναφέρθηκε ήδη ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος να συμβεί είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1. Εάν ο αριθμός είναι κοντά στο μηδέν, αυτό σημαίνει ότι είναι απίθανο να συμβεί το γεγονός.

Παρομοίως, αν ο αριθμός είναι κοντά στο 1 τότε είναι πολύ πιθανό ότι το συμβάν θα συμβεί.

Επιπλέον, η πιθανότητα ότι ένα συμβάν θα συμβεί συν την πιθανότητα να μην συμβεί κάποιο γεγονός είναι πάντα ίσο με 1.

Πώς υπολογίζεται η πιθανότητα ενός συμβάντος?

Πρώτα το συμβάν καθορίζεται και όλες οι πιθανές περιπτώσεις, τότε οι ευνοϊκές περιπτώσεις καταμετρούνται. δηλαδή, τις περιπτώσεις που τους ενδιαφέρουν να συμβούν.

Η πιθανότητα του εν λόγω συμβάντος "P (E)" είναι ίση με τον αριθμό των ευνοϊκών περιπτώσεων (CF), που κατανέμονται μεταξύ όλων των πιθανών περιπτώσεων (CP). Αυτό είναι:

Ρ (Ε) = CF / CP

Για παράδειγμα, έχετε ένα νόμισμα τέτοιο ώστε οι πλευρές του νομίσματος να είναι ακριβές και να σφραγίζονται. Η εκδήλωση είναι να ρίξει το νόμισμα και το αποτέλεσμα είναι ακριβό.

Δεδομένου ότι το νόμισμα έχει δύο πιθανά αποτελέσματα, αλλά μόνο ένα από αυτά είναι ευνοϊκό, τότε η πιθανότητα ότι όταν το κέρμα πετιέται το αποτέλεσμα είναι ακριβό είναι 1/2.

Κλασική πιθανότητα

Η κλασική πιθανότητα είναι ότι όλες οι πιθανές περιπτώσεις ενός γεγονότος έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, το γεγονός της εκτίναξης κερμάτων είναι ένα παράδειγμα μιας κλασσικής πιθανότητας, αφού η πιθανότητα του αποτελέσματος να είναι ακριβό ή να είναι σφραγίδα είναι ίσο με 1/2.

Οι 3 πιο αντιπροσωπευτικές ασκήσεις κλασικής πιθανότητας

Πρώτη Άσκηση

Σε ένα κουτί υπάρχει μια μπλε μπάλα, μια πράσινη μπάλα, μια κόκκινη μπάλα, μια κίτρινη μπάλα και μια μαύρη μπάλα. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν τα μάτια κλείνουν με μια μπάλα από το κιβώτιο, είναι κίτρινο?

Λύση

Το συμβάν "E" είναι να πάρει μια μπάλα από το κουτί με τα μάτια κλειστά (αν γίνει με τα μάτια ανοίγματα η πιθανότητα είναι 1) και ότι είναι κίτρινο.

Υπάρχει μόνο μία ευνοϊκή περίπτωση, αφού υπάρχει μόνο μία κίτρινη μπάλα. Οι πιθανές περιπτώσεις είναι 5, δεδομένου ότι υπάρχουν 5 μπάλες στο κουτί.

Επομένως, η πιθανότητα συμβάντος "E" είναι ίση με P (E) = 1/5.

Όπως βλέπετε, εάν το συμβάν πρόκειται να πάρει μια μπλε, πράσινη, κόκκινη ή μαύρη μπάλα, η πιθανότητα θα είναι επίσης ίση με το 1/5. Επομένως, αυτό είναι ένα παράδειγμα κλασικής πιθανότητας.

Παρατήρηση

Εάν υπήρχαν 2 κίτρινες μπάλες στη συσκευασία τότε P (E) = 2/6 = 1/3, ενώ η πιθανότητα να τραβήξετε μια μπλε, πράσινη, κόκκινη ή μαύρη μπάλα θα ήταν ίση με 1/6.

Δεδομένου ότι δεν έχουν όλα τα συμβάντα την ίδια πιθανότητα, τότε αυτό δεν είναι ένα παράδειγμα κλασικής πιθανότητας.

Δεύτερη άσκηση

Ποια είναι η πιθανότητα ότι, κατά την κύλιση μιας μήτρας, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι ίσο με 5?

Λύση

Μια μήτρα έχει 6 πρόσωπα, καθένα με διαφορετικό αριθμό (1,2,3,4,5,6). Επομένως, υπάρχουν 6 πιθανές περιπτώσεις και μόνο μία περίπτωση είναι ευνοϊκή.

Έτσι, η πιθανότητα ότι όταν ρίχνετε τα ζάρια θα πάρετε 5 είναι ίση με 1/6.

Και πάλι, η πιθανότητα απόκτησης οποιουδήποτε άλλου αποτελέσματος της μήτρας είναι επίσης ίση με το 1/6.

Τρίτη άσκηση

Σε μια τάξη υπάρχουν 8 αγόρια και 8 κορίτσια. Αν ο καθηγητής επιλέξει τυχαία έναν μαθητή από την τάξη της, ποια είναι η πιθανότητα ότι ο επιλεγμένος φοιτητής είναι κορίτσι;?

Λύση

Το συμβάν "E" είναι να επιλέξετε έναν μαθητή τυχαία. Συνολικά υπάρχουν 16 μαθητές, αλλά επειδή θέλετε να επιλέξετε ένα κορίτσι, τότε υπάρχουν 8 ευνοϊκές περιπτώσεις. Επομένως P (E) = 8/16 = 1/2.

Επίσης σε αυτό το παράδειγμα, η πιθανότητα επιλογής ενός παιδιού είναι 8/16 = 1/2.

Δηλαδή, είναι πιθανό ότι ο επιλεγμένος φοιτητής είναι ένα κορίτσι ως παιδί.

Αναφορές

1. Bellhouse, D. R. (2011). Αβραάμ Ντε Μόιβρε: Ορίστε το στάδιο για την κλασική πιθανότητα και τις εφαρμογές του. CRC Press.
2. Cifuentes, J. F. (2002). Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Πανεπιστήμιο της Κολομβίας.
3. Daston, L. (1995). Κλασσική Πιθανότητα στον Διαφωτισμό. Princeton University Press.
4. Larson, Η. J. (1978). Εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων και στα στατιστικά συμπεράσματα. Συντάκτης Limusa.
5. Martel, Ρ. J., & Vegas, F. J. (1996). Πιθανότητες και μαθηματικές στατιστικές: εφαρμογές στην κλινική πρακτική και διαχείριση της υγείας. Ediciones Díaz de Santos.
6. Vázquez, Α. L. & Ortiz, F. J. (2005). Στατιστικές μέθοδοι μέτρησης, περιγραφής και ελέγχου της μεταβλητότητας. Ed. Πανεπιστήμιο της Κανταβρίας.
7. Vázquez, S.G. (2009). Μαθηματικά για πρόσβαση στο Πανεπιστήμιο. Εκδοτικό Κέντρο Μελετών Ramon Areces SA.