Ιδιότητες της ισότητας

Το ιδιότητες της ισότητας αναφέρονται στη σχέση μεταξύ δύο μαθηματικών αντικειμένων, είτε αριθμών είτε μεταβλητών. Σηματοδοτείται από το σύμβολο "=", το οποίο πάντοτε μπαίνει ανάμεσα στα δύο αυτά αντικείμενα. Αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται για να αποδείξει ότι δύο μαθηματικά αντικείμενα αντιπροσωπεύουν το ίδιο αντικείμενο. με μια άλλη λέξη, ότι δύο αντικείμενα είναι το ίδιο πράγμα.

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες είναι ασήμαντο να χρησιμοποιούμε την ισότητα. Για παράδειγμα, είναι σαφές ότι 2 = 2. Ωστόσο, όταν πρόκειται για μεταβλητές, δεν είναι πλέον ασήμαντο και έχει συγκεκριμένες χρήσεις. Για παράδειγμα, αν έχετε y = x και από την άλλη πλευρά x = 7, μπορείτε να καταλήξετε στο y = 7 επίσης.

Το προηγούμενο παράδειγμα βασίζεται σε μία από τις ιδιότητες της ισότητας, όπως θα δούμε σύντομα. Αυτές οι ιδιότητες είναι απαραίτητες για την επίλυση εξισώσεων (ισοδυναμίες που περιλαμβάνουν μεταβλητές), οι οποίες αποτελούν ένα πολύ σημαντικό κομμάτι στα μαθηματικά.

Ευρετήριο

• 1 Ποιες είναι οι ιδιότητες της ισότητας?
  • 1.1 Ανακλαστική ιδιοκτησία
  • 1.2 Συμμετρική ιδιότητα
  • 1.3 Μεταβατική ιδιότητα
  • 1.4 Ομοιόμορφη ιδιοκτησία
  • 1.5 Ακίνητα ακύρωσης
  • 1.6 Ιδιοκτησία αντικατάστασης
  • 1.7 Ιδιοκτησία εξουσίας σε ισότητα
  • 1.8 Ιδιοκτησία της ρίζας σε ισότητα
• 2 Αναφορές

Ποιες είναι οι ιδιότητες της ισότητας?

Ανακλαστική ιδιοκτησία

Η αντανακλαστική ιδιότητα, στην περίπτωση της ισότητας, δηλώνει ότι κάθε αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του και εκφράζεται ως b = b για κάθε πραγματικό αριθμό b.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση της ισότητας αυτή η ιδιότητα φαίνεται να είναι προφανής, αλλά σε έναν άλλο τύπο σχέσης μεταξύ αριθμών δεν είναι. Με άλλα λόγια, όχι κάθε σχέση πραγματικών αριθμών πληροί αυτή την ιδιότητα. Για παράδειγμα, μια τέτοια περίπτωση της σχέσης "λιγότερο από" (<); ningún número es menor que sí mismo.

Συμμετρική ιδιότητα

Η συμμετρική ιδιότητα για την ισότητα λέει ότι αν a = b, τότε b = a. Ανεξάρτητα από τη σειρά που χρησιμοποιείται στις μεταβλητές, αυτό θα διατηρηθεί από τη σχέση ισότητας.

Μια ορισμένη αναλογία της ιδιότητας αυτής μπορεί να παρατηρηθεί με την μεταβλητή ιδιότητα στην περίπτωση προσθήκης. Για παράδειγμα, λόγω αυτής της ιδιότητας ισοδυναμεί με την εγγραφή y = 4 ή 4 = y.

Μεταβατική ιδιότητα

Η μεταβατική ιδιότητα στην ισότητα δηλώνει ότι αν a = b και b = c τότε a = c. Για παράδειγμα, 2 + 7 = 9 και 9 = 6 + 3. Ως εκ τούτου, από την μεταβατική ιδιότητα έχουμε 2 + 7 = 6 + 3.

Μια απλή αίτηση είναι η ακόλουθη: ας υποθέσουμε ότι ο Julian είναι 14 ετών και ότι ο Mario είναι η ίδια ηλικία με τη Rosa. Αν η Rosa είναι της ίδιας ηλικίας με τον Julian, πόσο χρονών είναι ο Mario;?

Πίσω από αυτό το σενάριο η μεταβατική ιδιότητα χρησιμοποιείται δύο φορές. Μαθηματικά ερμηνεύεται ως εξής: να είναι "α" η εποχή του Mario, "b" η εποχή της Rosa και "c" η εποχή του Julian. Είναι γνωστό ότι b = c και ότι c = 14.

Για την μεταβατική ιδιότητα έχουμε ότι b = 14; δηλαδή, η Rosa είναι 14 ετών. Δεδομένου ότι a = b και b = 14, χρησιμοποιώντας πάλι την μεταβατική ιδιότητα έχουμε a = 14; δηλαδή, ότι η ηλικία του Mario είναι επίσης 14 χρόνια.

Ενιαία περιουσία

Η ομοιόμορφη ιδιότητα είναι ότι, αν προστεθούν ή πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές μιας ισότητας με το ίδιο ποσό, διατηρείται η ισότητα. Για παράδειγμα, εάν 2 = 2, τότε 2 + 3 = 2 + 3, το οποίο είναι καθαρό, τότε 5 = 5. Αυτή η ιδιότητα έχει περισσότερη χρησιμότητα όταν πρόκειται για την επίλυση μιας εξίσωσης.

Για παράδειγμα, υποθέστε ότι σας ζητείται να λύσετε την εξίσωση x-2 = 1. Είναι βολικό να θυμόμαστε ότι η επίλυση μιας εξίσωσης συνίσταται στην ρητή προσδιορισμό της μεταβλητής (ή των μεταβλητών) που εμπλέκεται, με βάση έναν συγκεκριμένο αριθμό ή μια μεταβλητή που έχει καθοριστεί προηγουμένως.

Επιστρέφοντας στην εξίσωση x-2 = 1, τι πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε ρητά πόσο αξίζει το x. Για να γίνει αυτό, η μεταβλητή πρέπει να διαγραφεί.

Έχει διδαχθεί λανθασμένα ότι στην περίπτωση αυτή, καθώς ο αριθμός 2 είναι αρνητικός, περνά στην άλλη πλευρά της ισότητας με ένα θετικό σημάδι. Αλλά δεν είναι σωστό να το πω έτσι.

Βασικά, αυτό που γίνεται είναι να εφαρμόσουμε την ομοιόμορφη ιδιοκτησία, όπως θα δούμε παρακάτω. Η ιδέα είναι να καθαρίσετε το "x". δηλαδή αφήστε το μόνο σε μια πλευρά της εξίσωσης. Κατά σύμβαση είναι συνήθως αριστερά.

Για το σκοπό αυτό, ο αριθμός που θέλετε να "εξαλείψετε" είναι -2. Ο τρόπος για να γίνει αυτό θα ήταν η προσθήκη 2, αφού -2 + 2 = 0 και x + 0 = 0. Για να μπορέσουμε να το κάνουμε αυτό χωρίς να μεταβάλλουμε την ισότητα, πρέπει να εφαρμοστεί η ίδια ενέργεια από την άλλη πλευρά.

Αυτό επιτρέπει την πραγματοποίηση της ομοιόμορφης ιδιότητας: ως x-2 = 1, αν ο αριθμός 2 προστεθεί και στις δύο πλευρές της ισότητας, η ομοιόμορφη ιδιότητα λέει ότι το ίδιο δεν αλλάζει. Έπειτα έχουμε το x-2 + 2 = 1 + 2, το οποίο ισοδυναμεί με το ότι το x = 3. Με αυτό θα λυθεί η εξίσωση.

Ομοίως, αν θέλετε να λύσετε την εξίσωση (1/5) y-1 = 9, μπορείτε να συνεχίσετε χρησιμοποιώντας την ομοιόμορφη ιδιότητα ως εξής:

Γενικότερα, μπορούν να γίνουν οι ακόλουθες δηλώσεις:

- Αν a-b = c-b, τότε a = c.

- Εάν x-b = y, τότε x = y + b.

- Αν (1 / a) z = b, τότε z = a ×

- Αν (1 / c) a = (1 / c) b, τότε a = b.

Ακυρώσεις ιδιοκτησίας

Το ακυρωτικό ακίνητο είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση ομοιόμορφης κυριότητας, λαμβάνοντας ιδιαίτερα υπόψη την περίπτωση της αφαίρεσης και της διαίρεσης (που τελικά αντιστοιχούν και στην προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό). Αυτή η ιδιότητα αντιμετωπίζει ξεχωριστά αυτήν την περίπτωση.

Για παράδειγμα, εάν 7 + 2 = 9, τότε 7 = 9-2. Ή αν 2y = 6, τότε y = 3 (διαιρώντας με δύο και στις δύο πλευρές).

Ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση, μέσω της ιδιοκτησίας ακύρωσης μπορούν να δημιουργηθούν οι ακόλουθες δηλώσεις:

- Αν a + b = c + b, τότε a = c.

- Αν x + b = y, τότε x = y-b.

- Αν az = b, τότε z = b / a.

- Αν το ca = cb, τότε a = b.

Αντικατάσταση αντικειμένου

Αν γνωρίζουμε την αξία ενός μαθηματικού αντικειμένου, η ιδιότητα αντικατάστασης δηλώνει ότι αυτή η τιμή μπορεί να αντικατασταθεί σε οποιαδήποτε εξίσωση ή έκφραση. Για παράδειγμα, εάν b = 5 και a = bx, τότε αντικαθιστώντας την τιμή του "b" στη δεύτερη ισότητα, έχουμε ότι a = 5x.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το εξής: εάν το "m" διαιρεί το "n" και το "n" χωρίζει το "m" τότε πρέπει να είναι ότι m = n.

Στην πραγματικότητα, λέγοντας ότι το "m" διαιρεί το "n" (ή ισοδύναμα, το "m" είναι διαιρέτης του "n") σημαίνει ότι η διαίρεση m ÷ n είναι ακριβής. δηλαδή διαιρώντας το "m" με το "n" παίρνετε έναν ακέραιο αριθμό, όχι ένα δεκαδικό αριθμό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί λέγοντας ότι υπάρχει ένας ακέραιος "k" τέτοιος που m = k × n.

Δεδομένου ότι το "n" χωρίζει επίσης το "m", τότε υπάρχει ένας ακέραιος "p" τέτοιος που n = p × m. Για την αντικατάσταση, έχουμε n = p × k × n και για να συμβεί αυτό, υπάρχουν δύο δυνατότητες: n = 0, οπότε θα έχουμε την ταυτότητα 0 = 0. ή p × k = 1, όπου η ταυτότητα θα έπρεπε να είναι n = n.

Ας υποθέσουμε ότι το "n" είναι μηδενικό. Τότε κατ 'ανάγκην p × k = 1; ως εκ τούτου, p = 1 και k = 1. Χρησιμοποιώντας και πάλι την ιδιότητα υποκατάστασης, αντικαθιστώντας το k = 1 στην ισότητα m = k × n (ή ισοδύναμα, p = 1 σε n = p × m) αποκτάται τελικά ότι m = n,.

Ιδιοκτησία εξουσίας σε μια ισότητα

Όπως και στο παρελθόν, παρατηρήθηκε ότι εάν μια πράξη γίνεται ως άθροισμα, πολλαπλασιασμός, αφαίρεση ή διαίρεση και από τους δύο όρους της ισότητας, διατηρείται, με τον ίδιο τρόπο μπορούν να εφαρμοστούν και άλλες πράξεις που δεν μεταβάλλουν την ισότητα.

Το κλειδί είναι να το κάνετε πάντα και στις δύο πλευρές της ισότητας και να βεβαιωθείτε εκ των προτέρων ότι η πράξη μπορεί να πραγματοποιηθεί. Αυτή είναι η περίπτωση της ενδυνάμωσης. δηλαδή αν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης ανυψωθούν στην ίδια δύναμη, εξακολουθεί να υπάρχει ισότητα.

Για παράδειγμα, ως 3 = 3, τότε 3²= 3² (9 = 9). Σε γενικές γραμμές, δεδομένου ενός ακέραιου "n", αν x = y, τότε xⁿ= γⁿ.

Ιδιοκτησία της ρίζας σε μια ισότητα

Αυτή είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση δυνατοποίησης και εφαρμόζεται όταν η δύναμη είναι ένας μη ακέραιος λογικός αριθμός, όπως το ½, που αντιπροσωπεύει την τετραγωνική ρίζα. Αυτή η ιδιότητα δηλώνει ότι αν εφαρμοστεί η ίδια ρίζα στις δύο πλευρές μιας ισότητας (όπου είναι δυνατόν), η ισότητα διατηρείται.

Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, εδώ πρέπει να είστε προσεκτικοί με την ισοτιμία της ρίζας που πρόκειται να εφαρμοστεί, αφού είναι γνωστό ότι η ομοιόμορφη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν είναι καλά καθορισμένη.

Στην περίπτωση που η ριζοσπαστική είναι ομοιόμορφη, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, αν x³= -8, αν και είναι ισότητα, δεν μπορείτε να εφαρμόσετε μια τετράγωνη ρίζα και στις δύο πλευρές, για παράδειγμα. Ωστόσο, εάν μπορείτε να εφαρμόσετε μια κυβική ρίζα (η οποία είναι ακόμη πιο βολική εάν θέλετε να γνωρίζετε ρητά την τιμή του x), αποκτώντας ότι x = -2.

Αναφορές

1. Aylwin, C.U. (2011). Λογική, σύνολα και αριθμοί. Mérida - Βενεζουέλα: Συμβούλιο Δημοσιεύσεων, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, Μ. & Estrada, R. (2005). Μαθηματικά 1 SEP. Όριο.
3. Lira, Μ. L. (1994). Simon και Μαθηματικά: Κείμενο μαθηματικών για το δεύτερο βασικό έτος: βιβλίο φοιτητή. Andres Bello.
4. Preciado, C. Τ. (2005). Μάθημα Μαθηματικών 3ο. Συντάκτης Progreso.
5. Segovia, Β. R. (2012). Μαθηματικές δραστηριότητες και παιχνίδια με τον Miguel και Lucia. Μπαλντούερο Ρούμπιο Σεγκόβια.
6. Toral, C., & Preciado, Μ. (1985). 2ο μάθημα μαθηματικών. Συντάκτης Progreso.