Αξιοσημείωτη εξήγηση προϊόντων και ασκήσεις που επιλύθηκαν



Το αξιόλογα προϊόντα είναι αλγεβρικές λειτουργίες, όπου εκφράζονται πολλαπλασιασμοί πολυωνύμων, οι οποίες δεν χρειάζεται να επιλυθούν παραδοσιακά, αλλά με τη βοήθεια ορισμένων κανόνων μπορείτε να βρείτε τα αποτελέσματα αυτών.

Τα πολυώνυμα πολλαπλασιάζονται από τον εαυτό τους, επομένως μπορεί να έχουν μεγάλο αριθμό όρων και μεταβλητών. Για να γίνει η διαδικασία συντομότερη, χρησιμοποιούνται οι κανόνες των αξιοσημείωτων προϊόντων, που επιτρέπουν πολλαπλασιασμό χωρίς να χρειαστεί να περάσουν από τον όρο..

Ευρετήριο

  • 1 Αξιοσημείωτα προϊόντα και παραδείγματα
    • 1.1 Διπλό τετράγωνο
    • 1.2 Προϊόν συζευγμένων διωνωμάτων
    • 1.3 Προϊόν δύο διωνυμίων με κοινό όρο
    • 1.4 Πολυωνυμικό τετράγωνο
    • 1.5 Διωνυμική προς τον κύβο
    • 1.6 Κάδος με τρινωμία
  • 2 Ασκήσεις που επιλύθηκαν για αξιόλογα προϊόντα
    • 2.1 Άσκηση 1
    • 2.2 Άσκηση 2
  • 3 Αναφορές

Αξιοσημείωτα προϊόντα και παραδείγματα

Κάθε αξιόλογο προϊόν είναι ένας τύπος που είναι ένα παραγοντοποίηση πολυωνύμων αποτελούμενο από διαφόρους όρους, όπως ζεύγη ή τριώνυμος, ονομάζονται παράγοντες.

Οι παράγοντες είναι η βάση μιας εξουσίας και έχουν έναν εκθέτη. Όταν πολλαπλασιάζονται οι παράγοντες, πρέπει να προστεθούν οι εκθέτες.

Υπάρχουν διάφοροι αξιόλογοι τύποι προϊόντων, μερικοί χρησιμοποιούνται περισσότερο από άλλους, ανάλογα με τα πολυώνυμα και είναι οι εξής:

Διπλό διπλανό

Είναι ο πολλαπλασιασμός ενός διωνυμικού από μόνο του, που εκφράζεται με τη μορφή εξουσίας, όπου οι όροι προστίθενται ή αφαιρούνται:

α. Διωνυμικό άθροισμα προς την πλατεία: είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου όρου, συν το διπλάσιο του προϊόντος των όρων, συν το τετράγωνο του δεύτερου όρου. Εκφράζεται ως εξής:

(α + β)2 = (α + β) * (α + β).

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον τρόπο με τον οποίο το προϊόν αναπτύσσεται σύμφωνα με τον προαναφερθέντα κανόνα. Το αποτέλεσμα ονομάζεται τρινωμία ενός τέλειου τετραγώνου.

Παράδειγμα 1

(χ + 5) 2 = χ 2 + 2 (χ * 5) + 5 2

(χ + 5) 2 = x 2 + 2 (5χ) + 25

(χ + 5) 2 = χ 2 + 10χ + 25.

Παράδειγμα 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4α * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8α2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8α2 + 16 ab + 4b2.

β. Διωνυμική αφαίρεση τετράγωνο: ο ίδιος κανόνας ισχύει για το διωνύμιο ενός ποσού, μόνο ότι στην περίπτωση αυτή ο δεύτερος όρος είναι αρνητικός. Ο τύπος του είναι ο ακόλουθος:

(α-β)2 = [(α) + (-β)]2

(α-β)2 = α2 +2α * (-b) + (-b)2

(α-β)2  = α2 - 2ab + β2.

Παράδειγμα 1

(2χ-6)2 = (2χ)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2χ-6)2  = 4χ2 - 2 (12χ) + 36

(2χ-6)2 = 4χ2 - 24x + 36.

Προϊόν συζευγμένων διωνωμάτων

Δύο διωνυμίες συζεύγνυνται όταν οι δεύτεροι όροι καθενός είναι διαφορετικών σημείων, δηλαδή του πρώτου είναι θετικού και του δεύτερου αρνητικού ή αντιστρόφως. Λύστε με την αύξηση κάθε τετράγωνο monomy και αφαιρέστε. Ο τύπος του είναι ο ακόλουθος:

(α + β) * (α-β)

Στο σχήμα που ακολουθεί αναπτύσσεται το προϊόν δύο συζευγμένων διωνυμίων, όπου παρατηρείται ότι το αποτέλεσμα είναι μια διαφορά τετραγώνων.

Παράδειγμα 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 - 9b2.

Προϊόν δύο διωνυμίων με κοινό όρο

Είναι ένα από τα πιο σύνθετα προϊόντα και αξιοποιούνται επαρκώς σημαντική, διότι είναι ένα πολλαπλασιασμό των δύο διώνυμα με έναν όρο στο κοινό. Ο κανόνας υποδεικνύει τα εξής:

  • Το τετράγωνο του κοινού όρου.
  • Συν προσθέστε τους όρους που δεν είναι συνηθισμένοι και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τους με τον κοινό όρο.
  • Συν το άθροισμα του πολλαπλασιασμού όρων που δεν είναι συνηθισμένοι.

Παρουσιάζεται στον τύπο: (x + a) * (x + b) και αναπτύσσεται όπως φαίνεται στην εικόνα. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράγωνο τετράγωνο που δεν είναι τέλειο.

(χ + 6) * (χ + 9) = χ2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(χ + 6) * (χ + 9) = χ2 + 15x + 54.

Υπάρχει μια πιθανότητα ότι ο δεύτερος όρος (ο διαφορετικός όρος) είναι αρνητικός και ο τύπος του είναι ο ακόλουθος: (x + a) * (χ - β).

Παράδειγμα 2

(7χ + 4) * (7χ - 2) = (7χ * 7χ) + (4-2)* 7χ + (4 * -2)

(7χ + 4) * (7χ-2) = 49χ2 + (2)* 7x - 8

(7χ + 4) * (7χ-2) = 49χ2 + 14x - 8.

Μπορεί επίσης να συμβαίνει ότι και οι δύο διαφορετικοί όροι είναι αρνητικοί. Ο τύπος του θα είναι: (x - a) * (χ - β).

Παράδειγμα 3

(3b - 6) * (3b-5) = (3b * 3b) + (-6-5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b-5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b-5) = 9b2 - 33b + 30.

Τετραγωνικό πολυώνυμο

Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν περισσότεροι από δύο όροι και να αναπτυχθεί, κάθε ένα τετράγωνο και να προστεθεί μαζί με το διπλάσιο πολλαπλασιασμό ενός όρου με άλλο. ο τύπος του είναι: (a + b + c)2 και το αποτέλεσμα της λειτουργίας είναι τετραγωνικό τετράγωνο.

Παράδειγμα 1

(3χ + 2γ + 4ζ)2 = (3χ)2 + (2γ)2 + (4ζ)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3χ + 2γ + 4ζ)2 = 9x2 + 4η2 + 16ζ2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Διωνυμική προς τον κύβο

Είναι ένα αξιοσημείωτο πολύπλοκο προϊόν. Για να το αναπτύξει, πολλαπλασιάστε το διωνυμικό με το τετράγωνό του, με τον ακόλουθο τρόπο:

α. Για το διωνυμικό στον κύβο ενός ποσού:

  • Ο κύβος του πρώτου όρου, συν το τριπλό του τετραγώνου του πρώτου όρου από το δεύτερο.
  • Συν τριπλή ο πρώτος όρος, για το δεύτερο τετράγωνο.
  • Επιπλέον ο κύβος του δεύτερου όρου.

(α + β)3 = (α + β) * (α + β)2

(α + β)3 = (α + β) * (α2 + 2ab + β2)

(α + β)3 = α3 + 2α2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + β3

(α + β)3 = α3 + 3α2b + 3ab2 + β3.

Παράδειγμα 1

(α + 3)3 = α3 + 3 (α)2*(3) + 3 (α)*(3)2 + (3)3

(α + 3)3 = α3 + 3 (α)2*(3) + 3 (α)*(9) + 27

(α + 3)3 = α3 + 9 α2 + 27α + 27.

β. Για το διωνυμικό στον κύβο μιας αφαίρεσης:

  • Ο κύβος του πρώτου όρου, μείον το τριπλό του τετραγώνου του πρώτου όρου από το δεύτερο.
  • Συν τριπλή ο πρώτος όρος, για το δεύτερο τετράγωνο.
  • Λιγότερος ο κύβος του δεύτερου όρου.

(α-β)3 = (α-β) * (α-β)2

(α-β)3 = (α-β) * (α2 - 2ab + β2)

(α-β)3 = α3 - 2α2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - β3

(α-β)3 = α3 - 3α2b + 3ab2 - β3.

Παράδειγμα 2

(β - 5)3 = β3 + 3 (β)2*(-5) + 3 (β)*(-5)2 + (-5)3

(β - 5)3 = β3 + 3 (β)2*(-5) + 3 (β)*(25) -125

(β - 5)3 = β3 - 15β2 +75b - 125.

Κάδος με τρινόμια

Αναπτύσσεται πολλαπλασιάζοντας το με το τετράγωνο. Είναι ένα πολύ εκτεταμένο αξιόλογο προϊόν επειδή έχουν 3 υψηλή όρους κομμένο σε κύβους, συν τρεις φορές κάθε όρος τετράγωνο, πολλαπλασιάζεται με κάθε μία από τις γραμμές, πάνω από έξι φορές το γινόμενο τριών όρων. Βλέποντας με έναν καλύτερο τρόπο:

(α + β + γ)3 = (α + β + γ) * (α + β + γ)2

(α + β + γ)3 = (α + β + γ) * (α2 + β2 + γ2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(α + β + γ)3 = A3 + β3 + γ3 + 3α2b + 3ab2 + 3α2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Παράδειγμα 1

Επίλυση ασκήσεων αξιοσημείωτων προϊόντων

Άσκηση 1

Αναπτύξτε την ακόλουθη διωνυμία στον κύβο: (4x - 6)3.

Λύση

Υπενθυμίζοντας ότι ένα διωνύμιο στον κύβο είναι ίσο με τον πρώτο όρο που ανυψώνεται στον κύβο, μείον το τριπλό του τετραγώνου του πρώτου όρου από το δεύτερο. συν το τριπλό του πρώτου όρου, από το δεύτερο τετράγωνο, μείον τον κύβο του δεύτερου όρου.

(4x - 6)3 = (4χ)3 - 3 (4χ)2(6) + 3 (4χ) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4χ)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288χ2 + 432x - 36.

Άσκηση 2

Αναπτύξτε το ακόλουθο δυαδικό: (x + 3) (x + 8).

Λύση

Υπάρχει ένα διωνύμιο όπου υπάρχει ένας κοινός όρος, ο οποίος είναι x και ο δεύτερος όρος είναι θετικός. Για να το αναπτύξετε, πρέπει μόνο να τετραγωνιστεί ο κοινός όρος, συν το άθροισμα των όρων που δεν είναι κοινά (3 και 8) και στη συνέχεια να πολλαπλασιαστούν με τον κοινό όρο, συν το άθροισμα του πολλαπλασιασμού όρων που δεν είναι συνηθισμένοι.

(χ + 3) (χ + 8) = χ2 + (3 + 8) χ + (3*8)

(χ + 3) (χ + 8) = χ2 + 11x + 24.

Αναφορές

  1. Angel, Α. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα. Εκπαίδευση Pearson,.
  2. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
  3. Das, S. (s.f.). Μαθηματικά Plus 8. Ηνωμένο Βασίλειο: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, Κ. L. (2011). Στοιχειώδης και Ενδιάμεση Άλγεβρα: Συνδυασμένη Προσέγγιση. Φλόριντα: Εκμάθηση των υπηρεσιών.
  5. Pérez, C.D. (2010). Εκπαίδευση Pearson.