Σταυροειδείς ιδιότητες προϊόντος, εφαρμογές και λύσεις ασκήσεων

Το Διαγώνιος φορέας προϊόντος ή προϊόντος Είναι ένας τρόπος πολλαπλασιασμού δύο ή περισσότερων διανυσμάτων. Υπάρχουν τρεις τρόποι πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων, αλλά κανένα από αυτά δεν είναι ένας πολλαπλασιασμός με τη συνήθη έννοια της λέξης. Μία από αυτές τις μορφές είναι γνωστή ως προϊόν φορέα, με αποτέλεσμα ένα τρίτο φορέα.

Το προϊόν φορέα, το οποίο ονομάζεται επίσης διασταυρούμενο προϊόν ή εξωτερικό προϊόν, έχει διαφορετικές αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες είναι πολύ χρήσιμες, ειδικά στη μελέτη της φυσικής.

Ευρετήριο

• 1 Ορισμός
• 2 Ιδιότητες
  • 2.1 Ιδιοκτησία 1
  • 2.2 Ιδιοκτησία 2
  • 2.3 Ιδιοκτησία 3
  • 2.4 Ιδιοκτησία 4 (τριπλό κλιμακωτό προϊόν)
  • 2.5 Ιδιοκτησία 5 (προϊόν τριπλού φορέα)
  • 2.6 Ιδιοκτησία 6
  • 2.7 Ιδιοκτησία 7
  • 2.8 Ιδιοκτησία 8
• 3 Εφαρμογές
  • 3.1 Υπολογισμός όγκου παραλληλεπιπέδου
• 4 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 4.1 Άσκηση 1
  • 4.2 Άσκηση 2
• 5 Αναφορές

Ορισμός

Ένας επίσημος ορισμός του προϊόντος-φορέα είναι το ακόλουθο: εάν Α = (α1, α2, α3) και Β = (b1, b2, b3) είναι φορείς, τότε το προϊόν φορέα Α και Β, που θα υποδηλώσουμε ως AxB, είναι:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Λόγω της συμβολής AxB, διαβάζεται ως "Α σταυρός Β".

Ένα παράδειγμα του τρόπου χρήσης του εξωτερικού προϊόντος είναι ότι αν A = (1, 2, 3) και B = (3, -2, 4) είναι φορείς, τότε χρησιμοποιώντας τον ορισμό του διανυσματικού προϊόντος έχουμε:

AxB = (1,2,3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (2), 3 * 3-1 * 4,1 *

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Ένας άλλος τρόπος για να εκφράσει το προϊόν φορέα δίνεται από τη σημείωση προσδιοριστών.

Ο υπολογισμός ενός καθοριστικού παράγοντα δεύτερης τάξης δίνεται από:

Επομένως, ο τύπος του προϊόντος φορέα που δίνεται στον ορισμό μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

Αυτό συνήθως απλοποιείται σε καθοριστικό παράγοντα τρίτης τάξης ως εξής:

Όπου i, j, k αντιπροσωπεύουν τους φορείς που αποτελούν τη βάση του R³.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τρόπο έκφρασης του εγκάρσιου προϊόντος, έχουμε ότι το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

Ιδιότητες

Ορισμένες ιδιότητες που διαθέτει το προϊόν φορέα είναι οι ακόλουθες:

Ιδιοκτησία 1

Αν A είναι οποιοδήποτε διάνυσμα στον R³, Πρέπει:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xΑ = 0

Αυτές οι ιδιότητες είναι εύκολο να ελεγχθούν χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό. Αν A = (a1, a2, a3) πρέπει:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, ala2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax 0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0).

Αν τα i, j, k αντιπροσωπεύουν τη βάση μονάδων του R³, Μπορούμε να τις γράψουμε ως εξής:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Στη συνέχεια, πρέπει να πληρούμε τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ως μνημονικός κανόνας, για να θυμόμαστε αυτές τις ιδιότητες, συνήθως χρησιμοποιείται ο ακόλουθος κύκλος:

Πρέπει να σημειώσουμε ότι οποιοσδήποτε φορέας με τον εαυτό του έχει ως αποτέλεσμα φορέα 0 και τα υπόλοιπα προϊόντα μπορούν να ληφθούν με τον ακόλουθο κανόνα:

Το εγκάρσιο προϊόν δύο διαδοχικών φορέων κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού δίνει τον ακόλουθο φορέα. και όταν εξετάζουμε την κατεύθυνση αντίθετης προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, το αποτέλεσμα είναι ο ακόλουθος φορέας με αρνητικό σήμα.

Χάρη σε αυτές τις ιδιότητες μπορούμε να δούμε ότι το διάνυσμα προϊόν δεν είναι commutative? για παράδειγμα, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι i x j ≠ j x i. Η παρακάτω ιδιότητα μας λέει πώς AxB και BxA σχετίζονται γενικά.

Ιδιοκτησία 2

Αν A και B είναι φορείς R³, Πρέπει:

AxB = - (BxA).

Επίδειξη

Αν A = (a1, a2, a3) και B = (b1, b2, b3), εξ ορισμού του εξωτερικού προϊόντος έχουμε:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (ΒχΑ).

Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι αυτό το προϊόν δεν είναι συσχετιστικό με το ακόλουθο παράδειγμα:

ix (ixj) = ixk = -j αλλά (ixi) xj = 0xj = 0

Από αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Ακίνητα 3

Αν A, B, C είναι φορείς R³ και r είναι ένας πραγματικός αριθμός, το εξής ισχύει:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) χΒ = άξονας (rB)

Χάρη σε αυτές τις ιδιότητες μπορούμε να υπολογίσουμε το προϊόν φορέα χρησιμοποιώντας τους νόμους της άλγεβρας, υπό τον όρο ότι τηρείται η σειρά. Για παράδειγμα:

Αν A = (1, 2, 3) και B = (3, -2, 4), μπορούμε να τις ξαναγράψουμε με βάση την κανονική βάση του R³.

Έτσι, A = i + 2j + 3k και B = 3i - 2j + 4k. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τις προηγούμενες ιδιότητες:

AxB = (i + 2j + 3k) χ (3i-2j + 4k)

= 3 (ixi) -2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) -4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi)

= 0 (+) - 3 (0) - 2 (k) + 4 (-j) + 6 (-

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Ακίνητο 4 (τριπλό κλιμακωτό προϊόν)

Όπως αναφέρθηκε στην αρχή, υπάρχουν άλλοι τρόποι πολλαπλασιασμού των φορέων εκτός από το προϊόν διάνυσμα. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι το βαθμωτό προϊόν ή το εσωτερικό προϊόν, το οποίο χαρακτηρίζεται ως A · B και του οποίου ο ορισμός είναι:

Αν A = (a1, a2, a3) και B = (b1, b2, b3) τότε A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Το περιουσιακό στοιχείο που αφορά και τα δύο προϊόντα είναι γνωστό ως το τριπλό κλιμακωτό προϊόν.

Αν τα Α, Β και C είναι φορείς R³, τότε A ∙ BxC = AxB ∙ C

Για παράδειγμα, ας δούμε ότι, δεδομένου ότι A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) και C = (- 5, 1,.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) +

Από την άλλη:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB · C = (10, 4, 7) · (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7)

Ένα άλλο τριπλό προϊόν είναι το Ax (BxC), το οποίο είναι γνωστό ως προϊόν τριπλού φορέα.

Η ιδιότητα 5 (προϊόν τριπλού φορέα)

Αν τα A, B και C είναι φορείς R³,  τότε:

Άξονας (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) Γ

Για παράδειγμα, ας δούμε ότι, δεδομένου ότι A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) και C = (- 5, 1,.

Από το προηγούμενο παράδειγμα γνωρίζουμε ότι BxC = (- 18, - 22, 17). Ας υπολογίσουμε τον άξονα (BxC):

Άξονας (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Από την άλλη πλευρά, πρέπει:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5,1,4) = (1) (- 5) + (1) 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) 4 = - 3

Έτσι, πρέπει:

(Α, Β) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (-5,1,4) = (- - 12) = (- 27,19, -4)

Ακίνητα 6

Είναι μία από τις γεωμετρικές ιδιότητες των διανυσμάτων. Αν τα Α και Β είναι δύο φορείς στην R³ και Θ είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ αυτών, τότε:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), όπου || ∙ || υποδηλώνει την ενότητα ή το μέγεθος ενός διανύσματος.

Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της ιδιότητας έχει ως εξής:

Αφήνω A = PR και B = PQ. Στη συνέχεια, η γωνία που σχηματίζεται από τους φορείς Α και Β είναι η γωνία Ρ του τριγώνου RQP, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Επομένως, η περιοχή του παραλληλογράμμου με παρακείμενες πλευρές PR και PQ είναι || A |||| B || sin (Θ), αφού μπορούμε να πάρουμε ως βάση || A || και το ύψος του δίνεται από || B || sin (Θ).

Εξαιτίας αυτού, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι | | AxB || είναι η περιοχή του εν λόγω παραλληλόγραμμου.

Παράδειγμα

Δεδομένων των ακόλουθων κορυφών ενός τετράπλευρου Ρ (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) και S (5,7, -3), δείχνουν ότι το εν λόγω τετράπλευρο είναι ένα παραλληλόγραμμο και να βρούμε την περιοχή του.

Γι 'αυτό καθορίζουμε πρώτα τους φορείς που καθορίζουν την κατεύθυνση των πλευρών του τετράπλευρου. Αυτό είναι:

Α = ΡΟ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

Β = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε Α και Γ έχουν τον ίδιο διανυσματικό διευθυντή, για τον οποίο έχουμε ότι και οι δύο είναι παράλληλες. με τον ίδιο τρόπο συμβαίνει και με Β και Δ. Συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το PQRS είναι παράλληλο.

Για να έχουμε την περιοχή του εν λόγω παραλληλογράμμου, υπολογίζουμε BxA:

BxA = (i + 4j-2k) χ (3i + 5j-4k)

= 5k + 4j-12k-16i-6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Επομένως, η τετραγωνισμένη περιοχή θα είναι:

| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η περιοχή παραλληλογράμμου θα είναι η τετραγωνική ρίζα των 89.

Ιδιοκτησία 7

Δύο φορείς Α και Β είναι παράλληλοι στο R³ ναι και μόνο αν AxB = 0

Επίδειξη

Είναι σαφές ότι αν A ή B είναι ο μηδενικός ενδιάμεσος ξενιστής, προκύπτει ότι το AxB = 0. Δεδομένου ότι ο μηδενικός ενδιάμεσος είναι παράλληλος με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα, τότε η ιδιότητα είναι έγκυρη.

Αν κανένας από τους δύο φορείς δεν είναι ο διάνυσμα μηδέν, έχουμε ότι τα μεγέθη τους είναι διαφορετικά από το μηδέν. δηλαδή, και τα δύο || A || ≠ 0 ως || B || ≠ 0, οπότε θα πρέπει να | | AxB || = 0 αν και μόνο εάν η αμαρτία (Θ) = 0, και αυτό συμβαίνει εάν και μόνο εάν Θ = π ή Θ = 0.

Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε AxB = 0 αν και μόνο αν Θ = π ή Θ = 0, κάτι που συμβαίνει μόνο όταν και οι δύο φορείς είναι παράλληλοι μεταξύ τους.

Ακίνητα 8

Αν τα Α και Β είναι δύο φορείς στην R³, τότε το AxB είναι κάθετο και στους δύο Α και Β.

Επίδειξη

Για αυτή την επίδειξη, θυμηθείτε ότι δύο φορείς είναι κάθετοι εάν το A ∙ B ισούται με το μηδέν. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, αλλά το AxA είναι ίσο με 0. Συνεπώς, πρέπει:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Με αυτό μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι τα Α και AxB είναι κάθετα μεταξύ τους. Με ανάλογο τρόπο, πρέπει:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Ως BxB = 0, πρέπει να:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Επομένως, τα AxB και B είναι κάθετα μεταξύ τους και με αυτό αποδεικνύεται η ιδιότητα. Αυτό είναι πολύ χρήσιμο, αφού μας επιτρέπουν να καθορίσουμε την εξίσωση ενός αεροπλάνου.

Παράδειγμα 1

Αποκτήστε μια εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) και R (2, 1, 3).

Έστω A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) και B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Στη συνέχεια, A = - i + 3j + k και B = i - 2j + k. Για να βρούμε το αεροπλάνο που σχηματίζεται από αυτά τα τρία σημεία αρκεί να βρούμε ένα διάνυσμα που είναι φυσιολογικό στο επίπεδο, το οποίο είναι το AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Με αυτό το διάνυσμα και λαμβάνοντας το σημείο P (1, 3, 2), μπορούμε να προσδιορίσουμε την εξίσωση του επιπέδου ως εξής:

(X - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3)

Έτσι, έχουμε ότι η εξίσωση του επιπέδου είναι 5x + 2y - z - 9 = 0.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το σημείο P (4, 0, - 2) και είναι κάθετη προς κάθε ένα από τα επίπεδα x - y + z = 0 και 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Γνωρίζοντας ότι ένα κανονικό διάνυσμα σε ένα επίπεδο άξονα + από + cz + d = 0 είναι (a, b, c), έχουμε ότι το (1, -1,1) είναι ένας κανονικός διάνυσμα x - y + z = 0 y 2.1, - 4) είναι ένας κανονικός φορέας 2x + y - 4z - 5 = 0.

Επομένως, ένας κανονικός φορέας στο επιθυμητό επίπεδο πρέπει να είναι κάθετος προς (1, -1,1) και a (2, 1, - 4). Ο εν λόγω φορέας είναι:

(1, -1,1) χ (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Έπειτα, έχουμε ότι το επιδιωκόμενο επίπεδο είναι αυτό που περιέχει το σημείο Ρ (4,0, - 2) και έχει τον φορέα (3,6,3) ως κανονικό φορέα.

3 (χ - 4) + 6 (γ - 0) + 3 (ζ + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Εφαρμογές

Υπολογισμός του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου

Μια εφαρμογή που έχει το τριπλό scalar προϊόν πρέπει να είναι σε θέση να υπολογίσει τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου του οποίου οι άκρες δίδονται από τους φορείς Α, Β και C, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Μπορούμε να συναγάγουμε αυτή την εφαρμογή με τον ακόλουθο τρόπο: όπως είπαμε προηγουμένως, ο φορέας AxB είναι ένας φορέας ο οποίος είναι κανονικός στο επίπεδο των Α και Β. Έχουμε επίσης ότι ο φορέας - (AxB) είναι ένας άλλος φορέας κανονικός στο εν λόγω επίπεδο.

Επιλέγουμε το κανονικό διάνυσμα που σχηματίζει τη μικρότερη γωνία με το διάνυσμα C. χωρίς απώλεια της γενικότητας, αφήστε το AxB να είναι ο φορέας του οποίου η γωνία με το C είναι η μικρότερη.

Έχουμε ότι και οι δύο AxB και C έχουν το ίδιο σημείο εκκίνησης. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η περιοχή του παραλληλογράμμου που αποτελεί τη βάση του παραλληλεπίπεδου είναι || AxB ||. Επομένως, εάν το ύψος του παραλληλεπίπεδου δίνεται από h, έχουμε ότι ο όγκος του θα είναι:

V = || AxB || h.

Από την άλλη πλευρά, εξετάστε το βαθμωτό προϊόν μεταξύ AxB και C, το οποίο μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

Ωστόσο, με τις τριγωνομετρικές ιδιότητες έχουμε ότι h = || C || cos (Θ), έτσι πρέπει να:

Με αυτόν τον τρόπο, πρέπει:

Σε γενικές γραμμές, έχουμε ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου δίνεται από την απόλυτη τιμή του τριπλού κλιμακωτού προϊόντος AxB ∙ C.

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Δεδομένων των σημείων P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1,8,7) και S = (2,6,9), αυτά τα σημεία σχηματίζουν παραλληλεπίπεδο είναι PQ, PR και PS. Προσδιορίστε την ένταση του εν λόγω παραλληλεπίπεδου.

Λύση

Αν πάρουμε:

- Α = ΡΟ = (-1, 6, 1)

- Β = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του τριπλού κλιμακωτού προϊόντος, πρέπει:

AxB = (-1, 6, 1) χ (-4,4,2) = (8, -2,20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Επομένως, έχουμε ότι ο όγκος του εν λόγω παραλληλεπίπεδου είναι 52.

Άσκηση 2

Προσδιορίστε τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου του οποίου οι άκρες δίνονται από το A = PQ, B = PR και C = PS, όπου τα σημεία P, Q, R και S είναι (1, 3, 4), (3, 5, (2, 1, 6) και (2, 2, 5) αντίστοιχα.

Λύση

Πρώτα έχουμε ότι A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Υπολογίζουμε AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο όγκος του εν λόγω παραλληλεπίπεδου είναι 1 κυβική μονάδα.

Αναφορές

1. Leithold, L. (1992). Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ με την Αναλυτική Γεωμετρία. HARLA, S.A..
2. Resnick, R., Halliday, D. & Krane, Κ. (2001). Φυσική τόμος 1. Μεξικό: Continental.
3. Saenz, J. (s.f.). Υπολογισμός διάνυσμα. Υπόταση.
4. Spiegel, Μ. R. (2011). Ανάλυση Vector 2δ. Mc Graw Hill.
5. Zill, D.G., & Wright, W. (2011). Υπολογισμός των διαφόρων μεταβλητών 4α. Mc Graw Hill.