Τεχνικές και Παραδείγματα πολλαπλασιαστικής αρχής μέτρησης



Το πολλαπλασιαστική αρχή είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων καταμέτρησης για να βρεθεί η λύση χωρίς να χρειάζεται να απαριθμηθούν τα στοιχεία της. Είναι επίσης γνωστή ως η θεμελιώδης αρχή της συνδυαστικής ανάλυσης. βασίζεται σε διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς για τον προσδιορισμό του τρόπου εμφάνισης ενός συμβάντος.

Αυτή η αρχή ορίζει ότι, εάν μια απόφαση (δ1) μπορεί να ληφθεί με n τρόπους και μια άλλη απόφαση (δ2) μπορεί να ληφθεί με m τρόπους, ο συνολικός αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να ληφθούν αποφάσεις1 και d2 θα είναι ίσο με το πολλαπλασιασμό του n * m. Σύμφωνα με την αρχή, κάθε απόφαση γίνεται μία μετά την άλλη: αριθμός τρόπων = N1 * Ν2... * Νx τρόπους.

Ευρετήριο

  • 1 Παραδείγματα
    • 1.1 Παράδειγμα 1
    • 1.2 Παράδειγμα 2
  • 2 Τεχνικές καταμέτρησης
    • 2.1 Αρχή προσθήκης
    • 2.2 Αρχή της μεταστοιχείωσης
    • 2.3 Αρχή συνδυασμού
  • 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
    • 3.1 Άσκηση 1
    • 3.2 Άσκηση 2
  • 4 Αναφορές

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Η Paula σχεδιάζει να πάει στις ταινίες με τους φίλους της και να επιλέξει τα ρούχα που θα φορέσει, χωρίζω 3 μπλούζες και 2 φούστες. Πόσοι τρόποι μπορεί να ντύσει η Paula;?

Λύση

Στην περίπτωση αυτή, η Paula πρέπει να λάβει δύο αποφάσεις:

δ1 = Επιλέξτε ανάμεσα σε 3 μπλούζες = n

δ2 = Επιλέξτε ανάμεσα σε 2 φούστες = m

Με αυτόν τον τρόπο η Paula έχει n * m αποφάσεις ή διαφορετικούς τρόπους ντύσης.

n * m = 3* 2 = 6 αποφάσεις.

Η αρχή πολλαπλασιασμού προέρχεται από την τεχνική του δέντρου διαγράμματος, το οποίο είναι ένα διάγραμμα που σχετίζεται με όλα τα πιθανά αποτελέσματα, έτσι ώστε το καθένα μπορεί να συμβεί ένα πεπερασμένο αριθμό φορές.

Παράδειγμα 2

Ο Mario ήταν πολύ διψασμένος, οπότε πήγε στο φούρνο για να αγοράσει ένα χυμό. Ο Luis τον απαντά και του λέει ότι έχει δύο μεγέθη: μεγάλα και μικρά. και τέσσερις γεύσεις: μήλο, πορτοκάλι, λεμόνι και σταφύλι. Πόσοι τρόποι μπορεί να επιλέξει ο Mario τον χυμό?

Λύση

Στο διάγραμμα μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο Mario έχει 8 διαφορετικούς τρόπους επιλογής του χυμού και ότι, όπως και στην πολλαπλασιαστική αρχή, το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του n*m. Η μόνη διαφορά είναι ότι μέσω αυτού του διαγράμματος μπορείτε να μάθετε πώς είναι οι τρόποι με τους οποίους ο Mario επιλέγει το χυμό.

Από την άλλη πλευρά, όταν ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων είναι πολύ μεγάλος, είναι πιο πρακτικό να χρησιμοποιείται η πολλαπλασιαστική αρχή.

Τεχνικές καταμέτρησης

Οι τεχνικές καταμέτρησης είναι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την άμεση μέτρηση και επομένως γνωρίζουν τον αριθμό των δυνατών ρυθμίσεων που μπορούν να έχουν τα στοιχεία ενός δεδομένου συνόλου. Αυτές οι τεχνικές βασίζονται σε διάφορες αρχές:

Αρχή προσθήκης

Αυτή η αρχή δηλώνει ότι, εάν δύο γεγονότα m και n δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί το πρώτο ή το δεύτερο συμβάν θα είναι το άθροισμα του m + n:

Αριθμός μορφών = m + n ... + x διαφορετικές μορφές.

Παράδειγμα

Ο Αντόνιος θέλει να κάνει ένα ταξίδι, αλλά δεν αποφασίζει σε ποιο προορισμό. στο South Tourism Agency σας προσφέρουν μια προώθηση για να ταξιδέψετε στη Νέα Υόρκη ή στο Λας Βέγκας, ενώ ο Ανατολικός Οργανισμός Τουρισμού σας προτείνει να ταξιδέψετε στη Γαλλία, την Ιταλία ή την Ισπανία. Πόσες διαφορετικές ταξιδιωτικές εναλλακτικές λύσεις προσφέρουν οι Antonio;?

Λύση

Με το Νότιο Οργανισμό Τουρισμού Antonio έχει 2 εναλλακτικές λύσεις (Νέα Υόρκη ή Λας Βέγκας), ενώ με τον Ανατολικό Οργανισμό Τουρισμού έχει 3 επιλογές (Γαλλία, Ιταλία ή Ισπανία). Ο αριθμός των διαφορετικών εναλλακτικών λύσεων είναι:

Αριθμός εναλλακτικών λύσεων = m + n = 2 + 3 = 5 εναλλακτικές λύσεις.

Αρχή της μεταστοιχείωσης

Πρόκειται για την παραγγελία όλων ή ορισμένων από τα στοιχεία που αποτελούν ένα σετ, για να διευκολυνθεί η καταμέτρηση όλων των δυνατών ρυθμίσεων που μπορούν να γίνουν με τα στοιχεία.

Ο αριθμός των μεταβολών n διαφορετικών στοιχείων, που λαμβάνονται όλες μαζί, αντιπροσωπεύεται ως:

nPn = n!

Παράδειγμα

Τέσσερις φίλοι θέλουν να πάρουν μια φωτογραφία και θέλουν να μάθουν πόσες διαφορετικές φόρμες μπορούν να παραγγελθούν.

Λύση

Θέλετε να μάθετε το σύνολο όλων των δυνατών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι 4 άνθρωποι για να τραβήξουν την εικόνα. Έτσι, πρέπει:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 διαφορετικοί τρόποι.

Αν ο αριθμός των μεταβολών των n διαθέσιμων στοιχείων λαμβάνεται από τμήματα ενός συνόλου που αποτελείται από στοιχεία r, αντιπροσωπεύεται ως:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Παράδειγμα

Σε μια αίθουσα στην τάξη υπάρχουν 10 θέσεις. Εάν 4 μαθητές παρακολουθούν την τάξη, με πόσα διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι μαθητές να καταλάβουν τις θέσεις?

Λύση

Ο συνολικός αριθμός των καθισμάτων είναι 10 και από αυτούς μόνο 4 θα χρησιμοποιηθούν. Ο δεδομένος τύπος εφαρμόζεται για τον προσδιορισμό του αριθμού των μεταλλαγών:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 τρόποι για να γεμίσετε τις θέσεις.

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ορισμένα από τα διαθέσιμα στοιχεία ενός σετ επαναλαμβάνονται (είναι τα ίδια). Για να υπολογίσετε τον αριθμό των ρυθμίσεων που λαμβάνουν ταυτόχρονα όλα τα στοιχεία, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Παράδειγμα

Πόσες διαφορετικές λέξεις τεσσάρων γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν από τη λέξη "λύκος"?

Λύση

Στην περίπτωση αυτή έχουμε 4 στοιχεία (γράμματα) από τα οποία δύο είναι τα ίδια. Εφαρμόζοντας τη δεδομένη φόρμουλα, γνωρίζουμε πόσες διαφορετικές λέξεις είναι:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 διαφορετικές λέξεις.

Αρχή συνδυασμού

Πρόκειται για τον καθορισμό όλων ή ορισμένων από τα στοιχεία που αποτελούν ένα σύνολο χωρίς συγκεκριμένη εντολή. Για παράδειγμα, αν έχετε συστοιχία XYZ, θα είναι ταυτόσημος με τους πίνακες ZXY, YZX, ZYX, μεταξύ άλλων. αυτό συμβαίνει επειδή, παρά το γεγονός ότι δεν είναι στην ίδια σειρά, τα στοιχεία κάθε ρύθμισης είναι τα ίδια.

Όταν λαμβάνονται ορισμένα στοιχεία (r) του συνόλου (n), η αρχή του συνδυασμού δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

nΓr = n! ÷ (n - r)! R!

Παράδειγμα

Σε ένα κατάστημα πωλούν 5 διαφορετικούς τύπους σοκολάτας. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορείτε να επιλέξετε 4 σοκολατάκια?

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να επιλέξετε 4 σοκολατάκια των 5 τύπων που πωλούνται στο κατάστημα. Η σειρά με την οποία έχουν επιλεγεί δεν έχει σημασία και, επιπλέον, ένας τύπος σοκολάτας μπορεί να επιλεχθεί περισσότερο από δύο φορές. Εφαρμόζοντας τον τύπο, πρέπει:

nΓr = n! ÷ (n - r)! R!

5Γ4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5Γ4 = 5! ÷ (1)! 4!

5Γ4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5Γ4 = 120 ÷ 24 = 5 διαφορετικοί τρόποι επιλογής 4 σοκολάτες.

Όταν ληφθούν όλα τα στοιχεία (r) του συνόλου (n), η αρχή του συνδυασμού δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

nΓn = n!

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Έχετε μια ομάδα μπέιζμπολ με 14 μέλη. Με πόσους τρόπους μπορείτε να αντιστοιχίσετε 5 θέσεις για ένα παιχνίδι?

Λύση

Το σετ αποτελείται από 14 στοιχεία και θέλετε να αντιστοιχίσετε 5 συγκεκριμένες θέσεις. δηλαδή, αυτή η σειρά έχει σημασία. Ο τύπος μετάθεσης εφαρμόζεται όταν τα διαθέσιμα στοιχεία λαμβάνονται από τμήματα ενός συνόλου που σχηματίζεται από r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Όπου n = 14 και r = 5. Αντικαθίσταται στον τύπο:

14P5 = 14! ÷ (14-5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 τρόποι για να αντιστοιχίσετε τις 9 θέσεις παιχνιδιού.

Άσκηση 2

Εάν μια οικογένεια 9 μελών πηγαίνει σε ένα ταξίδι και αγοράζει τα εισιτήριά τους με διαδοχικές θέσεις, πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να κάθονται?

Λύση

Πρόκειται για 9 στοιχεία που θα καταλαμβάνουν 9 καθίσματα διαδοχικά.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 διαφορετικοί τρόποι συνεδρίασης.

Αναφορές

  1. Hopkins, Β. (2009). Πόροι για τη διδασκαλία διακριτών μαθηματικών: Έργα Τάξης, Μονάδες Ιστορίας και Άρθρα.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Διακριτά Μαθηματικά Εκπαίδευση Pearson,.
  3. Lutfiyya, L. Α. (2012). Ολοκληρωμένος και διακριτός επίλυση προβλημάτων μαθηματικών. Εκδότες Συνδέσμου Έρευνας & Εκπαίδευσης.
  4. Padró, F.C. (2001). Διακριτά Μαθηματικά Politèc. της Καταλονίας.
  5. Steiner, Ε. (2005). Μαθηματικά για εφαρμοσμένες επιστήμες. Επαναστροφή.