Χαρακτηριστικά παραλληλεπιπέδου, τύποι, περιοχή, όγκος

Α παραλληλεπίπεδο είναι ένα γεωμετρικό σώμα σχηματιζόμενο από έξι πρόσωπα, το κύριο χαρακτηριστικό του οποίου είναι ότι όλα τα πρόσωπά τους είναι παράλληλα και οι απέναντι όψεις τους είναι παράλληλες μεταξύ τους. Είναι ένα κοινό πολυεδρικό στην καθημερινότητά μας, αφού μπορούμε να το βρούμε σε κουτιά παπουτσιών, το σχήμα ενός τούβλου, το σχήμα ενός φούρνου μικροκυμάτων, κλπ..

Όντας πολυεδρικό, ο παραλληλεπίπεδο περικλείει ένα πεπερασμένο όγκο και όλα τα πρόσωπά του είναι επίπεδα. Είναι μέρος της ομάδας πρίσματα, τα οποία είναι τα πολυεδρικά όπου όλες οι κορυφές τους περιέχονται σε δύο παράλληλα επίπεδα.

Ευρετήριο

• 1 Στοιχεία του Παραλληλεπιπέδου
  • 1.1 Πρόσωπα
  • 1.2 Ακμές
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Διαγώνιος
  • 1.5 Κέντρο
• 2 Χαρακτηριστικά του Παραλληλεπιπέδου
• 3 τύποι
  • 3.1 Υπολογισμός των διαγωνίων
• 4 Περιοχή
  • 4.1 Περιοχή ενός ορθοεδρικού
  • 4.2 Περιοχή ενός κύβου
  • 4.3 Περιοχή ενός ρομβοειδή
  • 4.4 Περιοχή ενός ρομπότ
• 5 Όγκος παραλληλεπιπέδου
  • 5.1 Τέλεια παραλληλεπίπεδα
• 6 Βιβλιογραφία

Στοιχεία του παραλληλεπιπέδου

Πρόσωπα

Είναι καθεμιά από τις περιοχές που σχηματίζονται από παραλληλόγραμμα που περιορίζουν τον παραλληλεπίπεδο. Ένας παραλληλεπίπεδο έχει έξι πρόσωπα, όπου κάθε πρόσωπο έχει τέσσερις γειτονικές όψεις και ένα αντίθετο. Επιπλέον, κάθε πλευρά είναι παράλληλη με το αντίθετο.

Άκρες

Είναι η κοινή πλευρά δύο προσώπων. Συνολικά, ένα παραλληλεπίπεδο έχει δώδεκα άκρες.

Vertex

Είναι το κοινό σημείο των τριών προσώπων που είναι παρακείμενα μεταξύ τους δύο με δύο. Ένας παραλληλεπίπεδο έχει οκτώ κορυφές.

Διαγώνιος

Δεδομένης δύο όψεις ενός παραλληλεπιπέδου απέναντι από το άλλο, μπορούμε να βγάλουμε μια ευθύγραμμο τμήμα που οδηγεί από την κορυφή της μιας πλευράς προς την αντίθετη κορυφή του άλλου.

Αυτό το τμήμα είναι γνωστό ως η διαγώνιος του παραλληλεπίπεδου. Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει τέσσερις διαγώνιες.

Στο κέντρο

Είναι το σημείο στο οποίο τέμνονται όλες οι διαγώνιοι.

Χαρακτηριστικά του παραλληλεπιπέδου

Όπως αναφέρθηκε, αυτό το γεωμετρικό σώμα έχει δώδεκα άκρες, έξι πρόσωπα και οκτώ κορυφές.

Σε παραλληλεπίπεδο μπορείτε να αναγνωρίσετε τρία σύνολα που σχηματίζονται από τέσσερις άκρες, οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Επιπλέον, οι ακμές αυτών των συνόλων πληρούν επίσης την ιδιότητα να έχουν το ίδιο μήκος.

Μια άλλη ιδιότητα που διαθέτουν τα παραλληλεπίπεδα είναι ότι είναι κυρτά, δηλαδή αν πάρουμε οποιοδήποτε ζεύγος σημείων που ανήκουν στο εσωτερικό του παραλληλεπίπεδου, το τμήμα που καθορίζεται από το εν λόγω ζεύγος σημείων θα είναι επίσης μέσα στο παραλληλεπίπεδο..

Επιπλέον, τα παραλληλεπίπεδα που είναι κυρτά πολυεδρικά συμμορφώνονται με το θεώρημα Euler για polyhedra, που μας δίνει μια σχέση μεταξύ του αριθμού των προσώπων, του αριθμού των άκρων και του αριθμού των κορυφών. Αυτή η σχέση δίδεται ως την ακόλουθη εξίσωση:

C + V = Α + 2

Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως χαρακτηριστικό του Euler.

Όπου C είναι ο αριθμός των προσώπων, V ο αριθμός των κορυφών και ο Α ο αριθμός των άκρων.

Τύποι

Μπορούμε να ταξινομήσουμε παραλληλεπίπεδα με βάση τα πρόσωπά τους, στους ακόλουθους τύπους:

Ορθοπεδικά

Είναι τα παραλληλεπίπεδα όπου τα πρόσωπά τους σχηματίζονται από έξι ορθογώνια. Κάθε ορθογώνιο είναι κάθετο με αυτά που μοιράζονται. Είναι τα πιο συνηθισμένα στην καθημερινότητά μας, που είναι αυτός ο συνηθισμένος τρόπος για κιβώτια και τούβλα για παπούτσια.

Κύβος ή κανονικό hexahedron

Αυτή είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση του προηγούμενου, όπου κάθε πρόσωπο είναι τετράγωνο.

Ο κύβος είναι επίσης μέρος των γεωμετρικών σωμάτων που ονομάζονται πλατονικά στερεά. Ένα πλατονικό στερεό είναι ένα κυρτό πολυεδρικό, έτσι ώστε τόσο τα πρόσωπα όσο και οι εσωτερικές γωνίες του να είναι ίσες μεταξύ τους.

Romboedro

Είναι ένα παραλληλεπίπεδο με διαμάντια στο πρόσωπό του. Αυτά τα διαμάντια είναι όλα ίσα μεταξύ τους, καθώς μοιράζονται τις άκρες.

Romboiedro

Τα έξι πρόσωπά του είναι ρομβοειδή. Θυμηθείτε ότι ένα ρομβοειδές είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις πλευρές και τέσσερις γωνίες που είναι ίσες με δύο έως δύο. Τα ρομβοειδή είναι τα παραλληλόγραμμα που δεν είναι ούτε τετράγωνα, ούτε ορθογώνια ούτε ρόμβους.

Από την άλλη πλευρά, τα λοξά παραλληλεπίπεδα είναι εκείνα στα οποία τουλάχιστον ένα ύψος δεν συμφωνεί με την άκρη του. Σε αυτή την ταξινόμηση μπορούμε να συμπεριλάβουμε τα ρομβοεδρόνα και τα ρομβιχενεδρόνια.

Διαγώνιος υπολογισμός

Για να υπολογίσουμε τη διαγώνιο ενός ορθοεδρικού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για R³.

Θυμηθείτε ότι ένα orthohedron έχει το χαρακτηριστικό ότι κάθε πλευρά είναι κάθετη με τις πλευρές που μοιράζονται άκρη. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε άκρη είναι κάθετη με εκείνες που μοιράζονται την κορυφή.

Για να υπολογίσουμε το μήκος μιας διαγώνιας ενός ορθοεδρικού, προχωρούμε ως εξής:

1. Υπολογίζουμε τη διαγώνιο ενός από τα πρόσωπα, τα οποία θα θέσουμε ως βάση. Γι 'αυτό χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ονομάστε αυτή τη διαγώνιο d_β.

2. Στη συνέχεια, με d_β μπορούμε να σχηματίσουμε ένα νέο ορθό τρίγωνο, έτσι ώστε η υποτείνουσα του εν λόγω τριγώνου είναι η διαγώνιος D που επιδιώκεται.

3. Χρησιμοποιούμε ξανά το Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε ότι το μήκος της εν λόγω διαγώνιας είναι:

Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό των διαγωνίων με πιο γραφικό τρόπο είναι το άθροισμα των ελεύθερων διανυσμάτων.

Θυμηθείτε ότι δύο ελεύθεροι φορείς Α και Β προστίθενται τοποθετώντας την ουρά του φορέα Β με την κορυφή του φορέα Α.

Ο φορέας (Α + Β) είναι αυτός που αρχίζει στην ουρά του Α και τελειώνει στην άκρη του Β.

Σκεφτείτε ένα παραλληλεπίπεδο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε μια διαγώνιο.

Αναγνωρίζουμε τις άκρες με κατάλληλα προσανατολισμένους φορείς.

Στη συνέχεια προσθέτουμε αυτούς τους φορείς και ο φορέας που προκύπτει είναι η διαγώνιος του παραλληλεπιπέδου.

Περιοχή

Η περιοχή ενός παραλληλεπίπεδου δίνεται από το άθροισμα καθεμιάς από τις περιοχές των προσώπων τους.

Αν καθορίσουμε μία από τις πλευρές ως βάση,

Α_L + 2Α_Β = Συνολική έκταση

Πού Α_L είναι ίσο με το άθροισμα των περιοχών όλων των πλευρών που γειτονεύουν με τη βάση, που ονομάζεται πλευρική περιοχή και Α_Β είναι η βασική περιοχή.

Ανάλογα με τον τύπο παραλληλεπιπέδου με τον οποίο εργαζόμαστε μπορούμε να ξαναγράψουμε τον εν λόγω τύπο.

Περιοχή ενός ορθοεδρικού

Δίνεται από τον τύπο

Α = 2 (ab + bc + ca).

Παράδειγμα 1

Λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο orthohedron, με πλευρές a = 6 cm, b = 8 cm και c = 10 cm, υπολογίστε την περιοχή του παραλληλεπιπέδου και το μήκος της διαγώνιας του.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περιοχή ενός ορθοεδρικού πρέπει να το κάνουμε

Α = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 εκατοστά².

Λάβετε υπόψη ότι, δεδομένου ότι είναι ορθοστάδο, το μήκος οποιασδήποτε από τις τέσσερις διαγώνιες είναι το ίδιο.

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα για το διάστημα πρέπει να το κάνουμε

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Περιοχή ενός κύβου

Δεδομένου ότι κάθε άκρη έχει το ίδιο μήκος, έχουμε a = b και a = c. Αντικαθιστώντας τον προηγούμενο τύπο που έχουμε

Α = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6α²

Α = 6α²

Παράδειγμα 2

Το κουτί κονσόλας παιχνιδιών έχει το σχήμα ενός κύβου. Αν θέλουμε να τυλίξουμε αυτό το κουτί με χαρτί δώρου, πόσα χαρτιά θα περάσαμε γνωρίζοντας ότι το μήκος των άκρων του κύβου είναι 45 cm?

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της περιοχής του κύβου, έχουμε αυτό

Α = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Περιοχή ενός ρομπόντεν

Δεδομένου ότι όλα τα πρόσωπά τους είναι ίσα, αρκεί να υπολογίσουμε την έκταση ενός από αυτά και να το πολλαπλασιάσουμε με έξι.

Μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός διαμαντιού χρησιμοποιώντας τις διαγώνιες του με τον ακόλουθο τύπο

Α_R = (Dd) / 2

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι η συνολική έκταση του ρομβοεδρομένου είναι

Α_Τ = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Παράδειγμα 3

Τα πρόσωπα του επόμενου ρομβοεδρεύματος σχηματίζονται από ένα ρόμβο του οποίου οι διαγώνιοι είναι D = 7 cm και d = 4 cm. Η περιοχή σας θα είναι

Α = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Περιοχή ενός ρομπότ

Για να υπολογίσουμε την περιοχή ενός ρομπότ πρέπει να υπολογίσουμε την έκταση των ρομβοειδών που το συνθέτουν. Εφόσον οι παραλληλεπίπεδες συμφωνούν με την ιδιότητα ότι οι αντίθετες πλευρές έχουν την ίδια περιοχή, μπορούμε να συνδέσουμε τις πλευρές σε τρία ζεύγη.

Με αυτόν τον τρόπο έχουμε ότι η περιοχή σας θα είναι

Α_Τ = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Όπου το b_i είναι οι βάσεις που συνδέονται με τις πλευρές και το_i το σχετικό ύψος που αντιστοιχεί στις εν λόγω βάσεις.

Παράδειγμα 4

Εξετάστε το ακόλουθο παραλληλεπίπεδο,

όπου η πλευρά Α και η πλευρά Α '(αντίθετη πλευρά) έχουν ως βάση b = 10 και για ύψος h = 6. Η σημειωμένη περιοχή θα έχει τιμή

Α₁ = 2 (10) (6) = 120

Τα Β και Β 'έχουν b = 4 και h = 6, τότε

Α₂ = 2 (4) (6) = 48

Και C και C 'έχουν b = 10 και h = 5, έτσι

Α₃ = 2 (10) (5) = 100

Τελικά η περιοχή του ρομφοϋδρονίου είναι

Α = 120 + 48 + 100 = 268.

Όγκος παραλληλεπιπέδου

Ο τύπος που μας δίνει τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου είναι το προϊόν της περιοχής μιας από τις επιφάνειές του από το ύψος που αντιστοιχεί στην αναφερθείσα επιφάνεια.

V = A_Γh_Γ

Ανάλογα με τον τύπο παραλληλεπίπεδου ο εν λόγω τύπος μπορεί να απλουστευθεί.

Έχουμε για παράδειγμα ότι ο όγκος ενός ορθοεδρικού θα δίνεται από

V = abc.

Όπου τα a, b και c αντιπροσωπεύουν το μήκος των ακμών ορθοεδδρόνης.

Και στη συγκεκριμένη περίπτωση του κύβου είναι

V = a³

Παράδειγμα 1

Υπάρχουν τρία διαφορετικά μοντέλα για κουτιά των cookies και θέλετε να μάθετε σε ποια από αυτά τα μοντέλα μπορείτε να αποθηκεύσετε περισσότερα cookies, δηλαδή ποιο από τα κουτιά έχει τον υψηλότερο όγκο.

Ο πρώτος είναι ένας κύβος του οποίου το άκρο έχει μήκος a = 10 cm

Ο όγκος του θα είναι V = 1000 cm³

Το δεύτερο έχει άκρα b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Επομένως, ο όγκος του είναι V = 765 cm³

Και το τρίτο έχει ε = 9 cm, f = 9 cm και g = 13 cm

Και ο όγκος του είναι V = 1053 cm³

Επομένως, το κουτί με τον μεγαλύτερο όγκο είναι το τρίτο.

Μια άλλη μέθοδος για την απόκτηση του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου είναι να καταφύγουμε σε άλγεβρα φορέα. Συγκεκριμένα, το τριπλό κλιμακωτό προϊόν.

Μία από τις γεωμετρικές ερμηνείες που έχει το τριπλό κλιμακωτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου, των άκρων του οποίου είναι τρεις φορείς που μοιράζονται την ίδια κορυφή με το σημείο εκκίνησης.

Με τον τρόπο αυτό, αν έχουμε ένα παραλληλεπίπεδο και θέλουμε να γνωρίζουμε ποιος είναι ο όγκος του, αρκεί να τον εκπροσωπήσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο R³ αντιστοιχώντας μία από τις κορυφές της με την προέλευση.

Στη συνέχεια, αντιπροσωπεύουμε τις άκρες που συμπίπτουν στην προέλευση με διανύσματα όπως φαίνεται στο σχήμα.

Και με αυτό τον τρόπο έχουμε ότι ο όγκος του εν λόγω παραλληλεπίπεδου δίνεται από

V = | AxB ∙ C |

Ή ισοδύναμα ο όγκος είναι ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας 3 × 3, που σχηματίζεται από τα συστατικά των διανυσμάτων ακμής.

Παράδειγμα 2

Αντιπροσωπεύοντας τον επόμενο παραλληλεπίπεδο στον R³ μπορούμε να δούμε ότι οι φορείς που το καθορίζουν είναι οι εξής

u = (-1, -3.0), ν = (5, 0, 0) και w = (-0.25, -4.4)

Χρησιμοποιώντας το τριπλό κλιμακωτό προϊόν που έχουμε

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) χ (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι V = 60

Τώρα θεωρήστε τον ακόλουθο παραλληλεπίπεδο στο R3 των οποίων τα άκρα καθορίζονται από τους φορείς

Α = (2, 5, 0), Β = (6, 1, 0) και C = (3,4,4)

Χρησιμοποιώντας τους προσδιοριστικούς παράγοντες μας δίνει αυτό

Έχουμε λοιπόν ότι ο όγκος του εν λόγω παραλληλεπιπέδου είναι 112.

Και οι δύο είναι ισοδύναμοι τρόποι υπολογισμού της έντασης.

Τέλεια παραλληλεπίπεδα

Είναι γνωστό ως το τούβλο του Euler (ή το μπλοκ του Euler) σε ένα orthohedron που εκπληρώνει την ιδιότητα ότι τόσο το μήκος των άκρων του όσο και το μήκος των διαγώνων του καθενός από τα πρόσωπά του είναι ακέραιοι.

Ενώ η Euler δεν ήταν ο πρώτος επιστήμονας για να μελετήσει τα orthohedrons που συναντούν εκείνη την περιουσία, βρήκε ενδιαφέροντα αποτελέσματα γι 'αυτά.

Το μικρό τούβλο Euler ανακαλύφθηκε από τον Paul Halcke και τα μήκη των άκρων του είναι a = 44, b = 117 και c = 240.

Ένα ανοικτό πρόβλημα στη θεωρία αριθμών είναι το ακόλουθο

Υπάρχουν τέλεια ορθοεδράκια?

Επί του παρόντος δεν μπορεί να δοθεί απάντηση στο ερώτημα αυτό, δεδομένου ότι δεν κατέστη δυνατόν να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι οργανισμοί, αλλά δεν βρέθηκε καμία.

Αυτό που έχει αποδειχθεί μέχρι τώρα είναι ότι υπάρχουν τέλεια παραλληλεπίπεδα. Το πρώτο που θα ανακαλυφθεί έχει το μήκος των ακμών του τις τιμές 103, 106 και 271.

Βιβλιογραφία

1. Guy, R. (1981). Αναλυτικά προβλήματα στη θεωρία αριθμών. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Γεωμετρία. Πρόοδος.
3. Leithold, L. (1992). Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ με την Αναλυτική Γεωμετρία. HARLA, S.A..
4. Rendon, Α. (2004). Τεχνικό σχέδιο: Βιβλίο εργασίας 3 2ο Baccalaureate . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. & Krane, Κ. (2001). Φυσική τόμος 1. Μεξικό: Continental.