Ελάχιστη Τετραγωνική Μέθοδος, Επίλυση Ασκήσεων και Τι Επηρεάζει



Η μέθοδος του ελάχιστα τετράγωνα είναι μια από τις πιο σημαντικές εφαρμογές στην προσέγγιση των λειτουργιών. Η ιδέα είναι να βρεθεί μια καμπύλη τέτοια ώστε, δεδομένης μιας σειράς ταξινομημένων ζευγών, αυτή η λειτουργία να προσεγγίζει καλύτερα τα δεδομένα. Η λειτουργία μπορεί να είναι μια γραμμή, μια τετραγωνική καμπύλη, μια κυβική καμπύλη κλπ..

Η ιδέα της μεθόδου είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών επί των τεταγμένων (Υ συστατικό) μεταξύ των σημείων που δημιουργούνται από την επιλεγμένη λειτουργία και τα σημεία που ανήκουν στο σύνολο δεδομένων.

Ευρετήριο

  • 1 μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων
  • 2 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
    • 2.1 Άσκηση 1
    • 2.2 Άσκηση 2
  • 3 Τι είναι αυτό;?
  • 4 Αναφορές

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

Πριν δώσουμε τη μέθοδο, πρέπει πρώτα να είμαστε σαφείς για το τι σημαίνει "καλύτερη προσέγγιση". Ας υποθέσουμε ότι ψάχνουμε για μια γραμμή y = b + mx που αντιπροσωπεύει καλύτερα ένα σύνολο n σημείων, δηλαδή (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω, εάν το χ και γ μεταβλητές που σχετίζονται με τη γραμμή y = mx + b, για x = x1 τότε η τιμή του b + και θα ΜΧ1. Ωστόσο, αυτή η τιμή είναι διαφορετική από την πραγματική τιμή του y, η οποία είναι y = y1.

Θυμηθείτε ότι στο επίπεδο, η απόσταση μεταξύ δύο σημείων δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

Έχοντας αυτό υπόψη, για να καθορίσουμε τον τρόπο επιλογής της γραμμής y = b + mx που προσεγγίζει καλύτερα τα δεδομένα δεδομένα, είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε την επιλογή της γραμμής που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων μεταξύ των σημείων ως κριτηρίων και η ευθεία.

Εφόσον η απόσταση μεταξύ των σημείων (x1, y1) και (x1, b + mx1) είναι y1- (b + mx1), το πρόβλημά μας μειώνεται στην εύρεση των αριθμών m και b έτσι ώστε το ακόλουθο ποσό να είναι ελάχιστο:

Η γραμμή που πληροί αυτή την προϋπόθεση είναι γνωστή ως "προσέγγιση των γραμμών ελάχιστων τετραγώνων στα σημεία (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Μόλις επιλυθεί το πρόβλημα, πρέπει απλώς να επιλέξετε μια μέθοδο για να βρείτε την προσέγγιση των ελάχιστων τετραγώνων. Αν τα σημεία (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) είναι όλα στη γραμμή y = mx + b, θα έπρεπε να είμαστε κολλητικοί και:

Στην έκφραση αυτή:

Τέλος, εάν τα σημεία δεν είναι κολλενευτικά, τότε το y-Au = 0 και το πρόβλημα μπορεί να μεταφραστεί στην εύρεση ενός φορέα ή τέτοιου ότι ο ευκλείδειος κανόνας είναι ελάχιστος.

Η εύρεση του διάνυσμα ελαχιστοποίησης δεν είναι τόσο δύσκολη όσο νομίζετε. Δεδομένου ότι το Α είναι ένας πίνακας nx2 και το u είναι ένας πίνακας 2 × 1, έχουμε ότι ο φορέας Au είναι ένας φορέας στο Rn και ανήκει στην εικόνα του Α, το οποίο είναι υποπρόσωπος του Rn με διάσταση όχι μεγαλύτερη από δύο.

Θα υποθέσουμε ότι n = 3 για να δείξουμε ποια είναι η διαδικασία που πρέπει να ακολουθηθεί. Αν n = 3, η εικόνα του Α θα είναι ένα επίπεδο ή μια γραμμή που περνάει από την προέλευση.

Ας v είναι ο φορέας ελαχιστοποίησης. Στο σχήμα παρατηρούμε ότι το y-Au ελαχιστοποιείται όταν είναι ορθογώνιο στην εικόνα του Α. Δηλαδή, αν το v είναι ο φορέας ελαχιστοποίησης, τότε συμβαίνει ότι:

Στη συνέχεια, μπορούμε να εκφράσουμε τα παραπάνω με αυτόν τον τρόπο:

Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο εάν:

Τέλος, εκκαθάριση v, πρέπει να:

Αυτό είναι δυνατό από το ΑtΤο Α είναι αντιστρεπτέο, εφόσον τα σημεία n που δίδονται ως δεδομένα δεν είναι συγραμμικά.

Τώρα, εάν αντί να ψάξουμε για μια γραμμή, θέλουμε να βρούμε μια παραβολή (η έκφραση της οποίας θα είναι της μορφής y = a + bx + cx2) που ήταν μια καλύτερη προσέγγιση στα σημεία δεδομένων n, η διαδικασία θα είναι όπως περιγράφεται παρακάτω.

Εάν τα σημεία δεδομένων n ήταν στην εν λόγω παραβολή, θα έπρεπε:

Στη συνέχεια:

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να γράψουμε y = Au. Αν όλα τα σημεία δεν βρίσκονται στην παραβολή, έχουμε ότι το y-Au είναι διαφορετικό από το μηδέν για κάθε φορέα u και το πρόβλημά μας είναι και πάλι: βρήκαμε ένα όχημα u στο R3 έτσι ώστε ο κανόνας του || y-Au || να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη.

Επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη διαδικασία, μπορούμε να φτάσουμε στο διάνυσμα που αναζητείται:

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Βρείτε τη γραμμή που ταιριάζει καλύτερα στα σημεία (1,4), (-2,5), (3, -1) και (4,1).

Λύση

Πρέπει:

Στη συνέχεια:

Επομένως, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η γραμμή που ταιριάζει καλύτερα στα σημεία δίνεται από:

Άσκηση 2

Ας υποθέσουμε ότι ένα αντικείμενο πέφτει από ύψος 200 μ. Ενώ μειώνονται, λαμβάνονται τα ακόλουθα μέτρα:

Γνωρίζουμε ότι το ύψος του εν λόγω αντικειμένου, αφού πέρασε ένα χρόνο t, δίνεται από:

Αν θέλαμε να πάρει η τιμή του G, μπορούμε να βρούμε μια παραβολή που είναι η καλύτερη προσέγγιση για τα πέντε σημεία που αναφέρονται στον πίνακα και ως εκ τούτου έχουν το συντελεστή που συνοδεύει τ2 θα είναι μια λογική προσέγγιση στο (-1/2) g εάν οι μετρήσεις είναι ακριβείς.

Πρέπει:

Και τότε:

Έτσι, τα σημεία δεδομένων ρυθμίζονται από την ακόλουθη τετραγωνική έκφραση:

Στη συνέχεια, πρέπει:

Αυτή είναι μια τιμή που είναι αρκετά κοντά στη σωστή τιμή, η οποία είναι g = 9,81 m / s2. Προκειμένου να επιτευχθεί ακριβέστερη προσέγγιση του g θα ήταν απαραίτητο να ξεκινήσουμε από πιο ακριβείς παρατηρήσεις.

Γιατί είναι;?

Στα προβλήματα που εμφανίζονται στις φυσικές ή κοινωνικές επιστήμες είναι βολικό να γράψουμε τις σχέσεις που συμβαίνουν μεταξύ των διαφόρων μεταβλητών μέσω κάποιας μαθηματικής έκφρασης.

Για παράδειγμα, μπορούμε να αναφέρουμε το κόστος (C), το εισόδημα (I) και τα κέρδη (U) στα οικονομικά μέσω μιας απλής φόρμουλας:

Στη φυσική, μπορούμε να συσχετίσουμε την επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρύτητα, την ώρα που ένα αντικείμενο πέφτει και το ύψος του αντικειμένου από το νόμο:

Στην προηγούμενη έκφραση so είναι το αρχικό ύψος αυτού του αντικειμένου και vo είναι η αρχική ταχύτητά σας.

Ωστόσο, η εξεύρεση τύπων όπως αυτά δεν είναι απλό έργο. συνήθως εξαρτάται από τον εξειδικευμένο επαγγελματία να εργάζεται με πολλά δεδομένα και να εκτελεί επανειλημμένα διάφορα πειράματα (προκειμένου να επαληθεύσει ότι τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι σταθερά) για να βρεθούν σχέσεις μεταξύ των διαφορετικών δεδομένων.

Ένας κοινός τρόπος για να επιτευχθεί αυτό είναι να αντιπροσωπεύει τα δεδομένα που λαμβάνονται σε ένα επίπεδο σαν σημεία και να αναζητά μια συνεχή λειτουργία που προσεγγίζει αυτά τα σημεία άριστα.

Ένας από τους τρόπους εύρεσης της συνάρτησης που "προσεγγίζει καλύτερα" τα δεδομένα είναι με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.

Επιπλέον, όπως είδαμε και στην άσκηση, χάρη σε αυτή τη μέθοδο μπορούμε να έχουμε προσεγγίσεις αρκετά κοντά στις φυσικές σταθερές.

Αναφορές

  1. Charles W Curtis Γραμμική Άλγεβρα. Springer-Velarg
  2. Κάι Λάι Τσούνγκ Θεωρία στοιχειωδών προνομίων με στοχαστικές διεργασίες. Springer-Verlag Νέα Υόρκη Inc.
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Αριθμητική Ανάλυση (7η). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Εφαρμογές Γραμμικής Άλγεβρας. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Γραμμική άλγεβρα MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO