Διακριτά Μαθηματικά Τι Σερβίρουν, Θεωρία των Σετ

Το διακριτά μαθηματικά αντιστοιχούν σε μια περιοχή των μαθηματικών που είναι υπεύθυνη για τη μελέτη του συνόλου των φυσικών αριθμών? δηλαδή, το σύνολο των πεπερασμένων και απεριόριστων απαριθμητών αριθμών όπου τα στοιχεία μπορούν να μετρηθούν ξεχωριστά, ένα προς ένα.

Αυτά τα σύνολα είναι γνωστά ως διακεκριμένα σύνολα. Ένα παράδειγμα αυτών των συνόλων είναι ολόκληροι αριθμοί, γραφήματα ή λογικές εκφράσεις και εφαρμόζονται σε διάφορους τομείς της επιστήμης, κυρίως στον υπολογισμό ή στον υπολογισμό.

Ευρετήριο

• 1 Περιγραφή
• 2 Για ποια είναι τα διακριτά μαθηματικά;?
  • 2.1 Συνδυασμός
  • 2.2 Θεωρία διακριτής κατανομής
  • 2.3 Θεωρία της πληροφορίας
  • 2.4 Υπολογισμός
  • 2.5 Κρυπτογραφία
  • 2.6 Λογική
  • 2.7 Θεωρία των γραφημάτων
  • 2.8 Γεωμετρία
• 3 Θεωρία συνόλων
  • 3.1 Πεπερασμένο σετ
  • 3.2 Απεριόριστο λογιστικό σύνολο
• 4 Αναφορές

Περιγραφή

Σε διακριτά μαθηματικά οι διαδικασίες είναι μετρήσιμες, με βάση ολόκληρους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι δεν χρησιμοποιούνται δεκαδικοί αριθμοί και, ως εκ τούτου, η προσέγγιση ή τα όρια δεν χρησιμοποιούνται, όπως σε άλλες περιοχές. Για παράδειγμα, ένα άγνωστο μπορεί να είναι ίσο με 5 ή 6, αλλά ποτέ 4.99 ή 5.9.

Από την άλλη πλευρά, στην γραφική παράσταση οι μεταβλητές θα είναι διακριτές και δίδονται από ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων, τα οποία υπολογίζονται μία προς μία, όπως φαίνεται στην εικόνα:

Τα διακριτά μαθηματικά γεννιούνται από την ανάγκη να αποκτηθεί μια ακριβής μελέτη που μπορεί να συνδυαστεί και να δοκιμαστεί, να εφαρμοστεί σε διαφορετικές περιοχές.

Ποια είναι τα διακριτά μαθηματικά;?

Διακριτά μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε πολλές περιοχές. Μεταξύ των κύριων είναι οι εξής:

Συνδυαστική

Μελετήστε πεπερασμένα σύνολα όπου τα στοιχεία μπορούν να παραγγελθούν ή να συνδυαστούν και να μετρηθούν.

Θεωρία διακριτής κατανομής

Μελέτη γεγονότων που συμβαίνουν σε χώρους όπου τα δείγματα μπορούν να μετρηθούν, στα οποία χρησιμοποιούνται συνεχείς κατανομές για την προσέγγιση των διακριτών κατανομών, ή με άλλο τρόπο.

Θεωρία πληροφοριών

Αναφέρεται στην κωδικοποίηση των πληροφοριών που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό και τη διαβίβαση και αποθήκευση δεδομένων, όπως για παράδειγμα αναλογικά σήματα.

IT

Μέσα από τα διακριτά μαθηματικά τα προβλήματα επιλύονται χρησιμοποιώντας αλγορίθμους, καθώς και τη μελέτη του τι μπορεί να υπολογιστεί και του χρόνου που χρειάζεται για να το κάνει (πολυπλοκότητα).

Η σημασία των διακριτών μαθηματικών σε αυτόν τον τομέα έχει αυξηθεί τις τελευταίες δεκαετίες, ειδικά για την ανάπτυξη των γλωσσών προγραμματισμού και λογισμικά.

Κρυπτογραφία

Βασίζεται σε διακριτά μαθηματικά για τη δημιουργία δομών ασφαλείας ή μεθόδων κρυπτογράφησης. Ένα παράδειγμα αυτής της εφαρμογής είναι οι κωδικοί πρόσβασης, αποστέλλοντας χωριστά τα bits που περιέχουν πληροφορίες.

Μέσω της μελέτης οι ιδιότητες των ακέραιων αριθμών και των πρώτων αριθμών (θεωρία αριθμών) μπορούν να δημιουργήσουν ή να καταστρέψουν αυτές τις μεθόδους ασφαλείας.

Λογική

Χρησιμοποιούνται διακριτές δομές, οι οποίες συνήθως σχηματίζουν ένα πεπερασμένο σύνολο, προκειμένου να αποδείξουν τα θεωρήματα ή, για παράδειγμα, να επαληθεύσουν το λογισμικό.

Θεωρία γραφημάτων

Επιτρέπει την ανάλυση των λογικών προβλημάτων, χρησιμοποιώντας κόμβους και γραμμές που αποτελούν έναν τύπο γραφήματος, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Είναι μια περιοχή που συνδέεται στενά με διακριτά μαθηματικά επειδή οι αλγεβρικές εκφράσεις είναι διακριτές. Μέσω αυτής της ηλεκτρονικά κυκλώματα, επεξεργαστές, τον προγραμματισμό (Boolean άλγεβρα) και βάσεων δεδομένων (σχεσιακή άλγεβρα) αναπτύσσουν.

Γεωμετρία

Μελετήστε τις συνδυαστικές ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων, όπως η επικάλυψη του επιπέδου. Από την άλλη πλευρά, η υπολογιστική γεωμετρία καθιστά δυνατή την ανάπτυξη γεωμετρικών προβλημάτων με την εφαρμογή αλγορίθμων.

Θεωρία των συνόλων

Σε διακριτά σύνολα μαθηματικών (πεπερασμένα και άπειρα αριθμητικά) είναι ο κύριος στόχος της μελέτης. Η θεωρία των συνόλων δημοσιεύθηκε από τον George Cantor, ο οποίος έδειξε ότι όλα τα άπειρα σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.

Ένα σετ είναι μια ομάδα στοιχείων (αριθμοί, πράγματα, ζώα και άνθρωποι, μεταξύ άλλων) που είναι καλά καθορισμένα. δηλαδή, υπάρχει μια σχέση σύμφωνα με την οποία κάθε στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο και εκφράζεται, για παράδειγμα, στο ∈ Α.

Στα μαθηματικά υπάρχουν διαφορετικά σύνολα που ομαδοποιούν ορισμένους αριθμούς ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους. Έτσι, για παράδειγμα, έχετε:

- Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Το σύνολο των ακεραίων E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Υποσύνολο των ρητών αριθμών Q * = -∞ ..., - ¼ - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Τα σύνολα ονομάζονται με γράμματα του αλφαβήτου, κεφαλαιοποιούνται. ενώ τα στοιχεία ονομάζονται με μικρά γράμματα, μέσα σε τιράντες () και χωρίζονται με κόμματα (,). Συνήθως εκπροσωπούνται σε διαγράμματα όπως το Venn's και το Caroll, καθώς και υπολογιστικά.

Με βασικές λειτουργίες όπως συνένωση, τομή, συμπλήρωμα, διαφορά και καρτεσιανό προϊόν, τα σύνολα και τα στοιχεία τους διαχειρίζονται, με βάση τη σχέση της ύπαρξης.

Υπάρχουν διάφορα είδη συνόλων, τα οποία μελετήθηκαν περισσότερο στα διακριτά μαθηματικά είναι τα εξής:

Πεπερασμένο σετ

Είναι ένα που έχει ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και αυτό αντιστοιχεί σε ένα φυσικό αριθμό. Έτσι, για παράδειγμα, το A = 1, 2, 3,4 είναι ένα πεπερασμένο σύνολο που έχει 4 στοιχεία.

Απεριόριστο λογιστικό σύνολο

Είναι εκείνη στην οποία υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου και των φυσικών αριθμών. δηλαδή, ότι από ένα στοιχείο μπορούν να αναφερθούν διαδοχικά όλα τα στοιχεία ενός συνόλου.

Με αυτό τον τρόπο, κάθε στοιχείο θα αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του συνόλου των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα:

Το σύνολο των ακεραίων Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... μπορεί να καταγραφεί ως Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατή η πραγματοποίηση μιας αλληλογραφίας μεταξύ των στοιχείων του Ζ και των φυσικών αριθμών, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών προβλημάτων (μοντέλα και εξισώσεις) που πρέπει να μετατραπούν σε διακριτά προβλήματα, στα οποία η λύση είναι γνωστή με την προσέγγιση της λύσης του συνεχιζόμενου προβλήματος.

Με διαφορετικό τρόπο, η διακριτοποίηση προσπαθεί να εξάγει μια πεπερασμένη ποσότητα από ένα άπειρο σύνολο σημείων. Με αυτόν τον τρόπο, μια συνεχής μονάδα μετατρέπεται σε μεμονωμένες μονάδες.

Γενικά, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται στην αριθμητική ανάλυση, όπως για παράδειγμα στη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, μέσω μιας συνάρτησης που αντιπροσωπεύεται από μια πεπερασμένη ποσότητα δεδομένων στην περιοχή της, ακόμα και όταν είναι συνεχής.

Ένα άλλο παράδειγμα διακριτοποίησης είναι η χρήση του για τη μετατροπή ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακή, όταν οι συνεχείς μονάδες σήματος μετατρέπονται σε μεμονωμένες μονάδες (διακριτοποιούνται) και στη συνέχεια κωδικοποιούνται και κβαντοποιούνται για να λαμβάνουν ψηφιακό σήμα.

Αναφορές

1. Grimaldi, R.P. (1997). Διακριτά και συνδυαστικά μαθηματικά. Άντισον Γουέσλι Ιβηροαμερικανα.
2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Διακριτά Μαθηματικά Επαναστροφή.
3. Jech, Τ. (2011). Ορίστε τη θεωρία. Εγκυκλοπαίδεια της Φιλοσοφίας του Στάνφορντ.
4. José Francisco Villalpando Becerra, Α. G. (2014). Διακριτά Μαθηματικά: Εφαρμογές και Ασκήσεις. Συντακτική ομάδα Patria.
5. Landau, R. (2005). Υπολογισμός, Ένα πρώτο μάθημα Επιστημονικών.
6. Merayo, F. G. (2005). Διακριτά Μαθηματικά. Thomson Editorial.
7. Rosen, Κ. Η. (2003). Διακριτά Μαθηματικά και οι εφαρμογές του. McGraw-Hill.
8. Schneider, D. G. (1995). Μια λογική προσέγγιση στο διακριτό μαθηματικό.