Γραμμική μέθοδος παρεμβολής, επίλυση ασκήσεων

Το γραμμική παρεμβολή είναι μια μέθοδος που προέρχεται από τη γενική παρεμβολή του Newton και επιτρέπει να προσδιοριστεί με προσέγγιση μια άγνωστη τιμή που είναι μεταξύ δύο δεδομένων αριθμών. δηλαδή, υπάρχει μια ενδιάμεση τιμή. Εφαρμόζεται επίσης σε προσεγγίσεις λειτουργιών, όπου οι τιμές f_(α) και f_(β) είναι γνωστά και θέλετε να μάθετε το ενδιάμεσο του f_(χ).

Υπάρχουν διάφοροι τύποι παρεμβολής, όπως οι γραμμικοί, τετραγωνικοί, κυβικοί και ανώτεροι βαθμοί, ενώ η απλούστερη είναι η γραμμική προσέγγιση. Η τιμή που πρέπει να πληρώνεται με γραμμική παρεμβολή είναι ότι το αποτέλεσμα δεν θα είναι τόσο ακριβές όσο με τις προσεγγίσεις από λειτουργίες υψηλότερων βαθμών.

Ευρετήριο

• 1 Ορισμός
• 2 Μέθοδος
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Άσκηση 1
  • 3.2 Άσκηση 2
• 4 Αναφορές

Ορισμός

Η γραμμική παρεμβολή είναι μια διαδικασία που σας επιτρέπει να συναγάγετε μια τιμή μεταξύ δύο καλά καθορισμένων τιμών, οι οποίες μπορούν να είναι σε έναν πίνακα ή σε ένα γραμμικό γράφημα.

Για παράδειγμα, εάν είναι γνωστό ότι 3 λίτρα Lechen αξίας $ 4 και $ 5 λίτρα αξίζει 7, αλλά θέλει να ξέρει ποια είναι η αξία του 4 λίτρα γάλα, παρεμβάλλεται για να προσδιοριστεί η ενδιάμεση τιμή.

Μέθοδος

Για την εκτίμηση μιας ενδιάμεσης τιμής μιας συνάρτησης η συνάρτηση f είναι κατά προσέγγιση_(χ) με ευθεία γραμμή r_(χ), που σημαίνει ότι η συνάρτηση μεταβάλλεται γραμμικά με το "x" για ένα τέντωμα "x = a" και "x = b". δηλαδή για μια τιμή "x" στο διάστημα (x₀, x₁) και (και₀, και₁), η τιμή του "y" δίνεται από τη γραμμή μεταξύ των σημείων και εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση:

(και - και₀) ÷ (x - x₀) = (και₁ - και₀) ÷ (x₁ - x₀)

Για να είναι μια παρεμβολή γραμμική, είναι απαραίτητο το πολυώνυμο παρεμβολής να είναι βαθμού ένα (n = 1), έτσι ώστε να προσαρμόζεται στις τιμές του x₀ και x_1.

Γραμμική παρεμβολή βασίζεται σε ομοιότητα των τριγώνων, έτσι ώστε, γεωμετρικά απορρέουν την παραπάνω έκφραση, μπορεί κανείς να λάβει την τιμή «Υ», το οποίο αντιπροσωπεύει την άγνωστη τιμή για «x».

Με αυτόν τον τρόπο πρέπει:

α = tan ☑ = (αντίθετη πλευρά₁ ÷ γειτονικό πόδι₁) = (αντίθετη πλευρά₂ ÷ γειτονικό πόδι₂)

Εκφραζόμενο με άλλο τρόπο, είναι:

(και - και₀) ÷ (x - x₀) = (και₁ - και₀) ÷ (x₁ - x₀)

Εκκαθάριση "και" των εκφράσεων, έχετε:

(και - και₀) _* (χ₁ - x₀) = (χ - χ₀) _* (και₁ - και₀)

(και - και₀) = (και₁ - και₀) _* [(χ - χ₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Έτσι, λαμβάνουμε τη γενική εξίσωση για γραμμική παρεμβολή:

y = y_{0 +} (και₁ - και₀) _* [(χ - χ₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Σε γενικές γραμμές, η γραμμική παρεμβολή δίνει ένα μικρό σφάλμα στην πραγματική τιμή της πραγματικής συνάρτησης, αν και το σφάλμα είναι ελάχιστο σε σύγκριση με το εάν εισάγετε διαισθητικά έναν αριθμό κοντά σε αυτόν που θέλετε να βρείτε.

Αυτό το σφάλμα παρουσιάζεται όταν προσπαθείτε να προσεγγίσετε την τιμή μιας καμπύλης με ευθεία γραμμή. για αυτές τις περιπτώσεις το μέγεθος του διαστήματος πρέπει να μειωθεί για να γίνει ακριβέστερη η προσέγγιση.

Για καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με την προσέγγιση, συνιστάται να χρησιμοποιείτε τις λειτουργίες βαθμού 2, 3 ή και υψηλότερης ποιότητας για τη διεξαγωγή της παρεμβολής. Για αυτές τις περιπτώσεις το θεώρημα Taylor είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο.

Επιλυμένες ασκήσεις

Άσκηση 1

Ο αριθμός των βακτηρίων ανά μονάδα όγκου που υπάρχει σε μια επώαση μετά από x ώρες παρουσιάζεται στον ακόλουθο πίνακα. Θέλετε να μάθετε ποιος είναι ο όγκος των βακτηρίων για το χρόνο των 3,5 ωρών.

Λύση

Ο πίνακας αναφοράς δεν καθορίζει μια τιμή που να δείχνει την ποσότητα των βακτηρίων για ένα χρόνο 3,5 ωρών, αλλά να έχει υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές που αντιστοιχούν σε χρόνο 3 και 4 ωρών, αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο:

x₀ = 3 και₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 και₁ = 135

Τώρα, η μαθηματική εξίσωση εφαρμόζεται για να βρει την παρεμβαλλόμενη τιμή, η οποία είναι η ακόλουθη:

y = y_{0 +} (και₁ - και₀) _* [(χ - χ₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Στη συνέχεια αντικαθίστανται οι αντίστοιχες τιμές:

y = 91 + (135-91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

Έτσι, προκύπτει ότι για ένα χρόνο 3,5 ωρών, η ποσότητα των βακτηρίων είναι 113, η οποία αντιπροσωπεύει ένα ενδιάμεσο επίπεδο μεταξύ του όγκου των βακτηριδίων που υπάρχουν σε χρονικές περιόδους 3 και 4 ωρών.

Άσκηση 2

Ο Luis έχει εργοστάσιο παγωτού και θέλει να κάνει μια μελέτη για να καθορίσει το εισόδημα που είχε τον Αύγουστο από τις δαπάνες. Ο διευθυντής της εταιρείας κάνει ένα γράφημα που εκφράζει αυτή τη σχέση, αλλά ο Luis θέλει να ξέρει:

Ποιο είναι το εισόδημα για τον Αύγουστο, αν πραγματοποιηθεί δαπάνη ύψους $ 55.000;?

Λύση

Γίνεται γράφημα με τιμές εσόδων και εξόδων. Ο Luis θέλει να μάθει τι είναι το εισόδημα του Αυγούστου αν το εργοστάσιο είχε δαπάνη $ 55.000. Αυτή η τιμή δεν αντικατοπτρίζεται απευθείας στο γράφημα, αλλά οι τιμές είναι υψηλότερες και χαμηλότερες από αυτές.

Πρώτα γίνεται ένας πίνακας όπου πρέπει να συνδέσουμε τις τιμές με ευκολία:

Τώρα, ο τύπος παρεμβολής χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της τιμής του y

y = y_{0 +} (και₁ - και₀) _* [(χ - χ₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Στη συνέχεια αντικαθίστανται οι αντίστοιχες τιμές:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = 68.936 $.

Εάν ένα ποσό των $ 55.000 έγινε τον Αύγουστο, το εισόδημα ήταν $ 68.936.

Αναφορές

1. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
2. Harpe, Ρ. Δ. (2000). Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων. Πανεπιστήμιο του Chicago Press.
3. Hazewinkel, Μ. (2001). Γραμμική παρεμβολή ", Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών.
4. , J. Μ. (1998). Στοιχεία αριθμητικών μεθόδων για τη Μηχανική. UASLP.
5. , Ε. (2002). Μια χρονολόγηση παρεμβολής: από την αρχαία αστρονομία μέχρι τη σύγχρονη επεξεργασία σήματος και εικόνας. Πρακτικά του IEEE.
6. αριθμητική, Ι. α. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.