Περιπτώσεις και παραδείγματα μερικών κλάσεων

Το μερικά κλάσματα είναι κλάσματα που σχηματίζονται από πολυώνυμα, στον οποίο ο παρονομαστής μπορεί να είναι ένα γραμμικό ή τετραγωνικό πολυώνυμο και, επιπλέον, μπορεί να αυξηθεί σε κάποια ισχύ. Μερικές φορές, όταν έχουμε λογικές λειτουργίες, είναι πολύ χρήσιμο να ξαναγράψουμε αυτή τη συνάρτηση ως άθροισμα μερικών κλασμάτων ή απλών κλασμάτων.

Αυτό συμβαίνει επειδή με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να χειριστούμε αυτές τις λειτουργίες με καλύτερο τρόπο, ειδικά σε εκείνες τις περιπτώσεις στις οποίες είναι απαραίτητη η ενσωμάτωση αυτής της εφαρμογής. Μια ορθολογική λειτουργία είναι απλώς το πηλίκο μεταξύ δύο πολυώνυμων και μπορεί να είναι σωστή ή ακατάλληλη.

Αν ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, ονομάζεται η δική του ορθολογική λειτουργία. διαφορετικά, είναι γνωστό ως ακατάλληλη ορθολογική λειτουργία.

Ευρετήριο

• 1 Ορισμός
• 2 υποθέσεις
  • 2.1 Περίπτωση 1
  • 2.2 Περίπτωση 2
  • 2.3 Περίπτωση 3
  • 2.4 Περίπτωση 4
• 3 Εφαρμογές
  • 3.1 Συνολικός υπολογισμός
  • 3.2 Νόμος της μαζικής δράσης
  • 3.3 Διαφορικές εξισώσεις: λογική εξίσωση
• 4 Αναφορές

Ορισμός

Όταν έχουμε μια ακατάλληλη ορθολογική λειτουργία, μπορούμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο αριθμητή με το πολυώνυμο παρονομαστή και έτσι να ξαναγράψει το κλάσμα p (x) / q (x) ακολουθώντας τον αλγόριθμο διαίρεσης ως t (x) + s (x) / q (x), όπου t (x) είναι πολυώνυμο και s (x) / q (x) είναι μια λογική λειτουργία της δικής του.

Ένα μερικό κλάσμα είναι οποιαδήποτε σωστή λειτουργία των πολυωνύμων, των οποίων ο παρονομαστής είναι της μορφής (ax + b)ⁿ ο (άξονας²+ bx + γ)ⁿ, εάν το πολυωνυμικό τσεκούρι² + bx + c δεν έχει πραγματικές ρίζες και n είναι φυσικός αριθμός.

Για να ξαναγράψουμε μια ορθολογική λειτουργία σε μερικά κλάσματα, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να φτιάξουμε τον παρονομαστή q (x) ως προϊόν γραμμικών και / ή τετραγωνικών παραγόντων. Μόλις γίνει αυτό, προσδιορίζονται μερικά κλάσματα, τα οποία εξαρτώνται από τη φύση των εν λόγω παραγόντων.

Υποθέσεις

Θεωρούμε αρκετές περιπτώσεις ξεχωριστά.

Περίπτωση 1

Οι συντελεστές του q (x) είναι όλα γραμμικοί και κανένας δεν επαναλαμβάνεται. Αυτό είναι:

q (x) = (α₁x + β₁) (α₂x + β₂) ... (α_sx + β_s)

Εκεί, κανένας γραμμικός παράγοντας δεν είναι ο ίδιος με τον άλλο. Όταν συμβαίνει αυτή η περίπτωση θα γράψουμε:

p (x) / q (x) = Α₁/ (α₁x + β₁) + Α₂/ (α₂x + β₂) ... + Α_s/ (α_sx + β_s).

Πού Α₁,Α₂,..., Α_s είναι οι σταθερές που θέλετε να βρείτε.

Παράδειγμα

Θέλουμε να αποσυνθέσουμε την ορθολογική λειτουργία σε απλά κλάσματα:

(χ - 1) / (χ³+3 φορές²+2x)

Συνεχίζουμε να παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή, δηλαδή:

x³ + 3 φορές² + 2x = χ (χ + 1) (χ + 2)

Στη συνέχεια:

(χ - 1) / (χ³+3 φορές²+2x) = (χ - 1) / χ (χ + 1) (χ + 2)

(χ + 1) / χ (χ + 1) (χ + 2) = Α / χ + Β / (χ +

Εφαρμόζοντας το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, μπορείτε να το αποκτήσετε:

x + 1 = A (x + 1) (χ + 2) + Β (χ + 2) χ +.

Θέλουμε να λάβουμε τις τιμές των σταθερών A, B και C, οι οποίες μπορούν να βρεθούν αντικαθιστώντας τις ρίζες που ακυρώνουν κάθε έναν από τους όρους. Αντικαθιστώντας το 0 για το x έχουμε:

0 - 1 = Α (0 + 1) (0 + 2) + Β (0 + 2) 0 + 0.

- 1 = 2Α

Α = - 1/2.

Αντικαθιστώντας - 1 για x έχουμε:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2).

- 2 = - Β

Β = 2.

Αντικαθιστώντας - 2 για το x έχουμε:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνονται οι τιμές Α = -1/2, Β = 2 και C = -3/2..

Υπάρχει και μια άλλη μέθοδος για να ληφθούν οι τιμές των Α, Β και C. Εάν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης x - 1 = Α (χ + 1) (χ + 2) + Β (χ + 2) + C χ (χ + 1) x συνδυάζουμε όρους, έχουμε:

x - 1 = (Α + Β + Ο) χ² + (3Α + 2Β + Ο) χ + 2Α.

Καθώς αυτή είναι μια ισότητα των πολυωνύμων, έχουμε ότι οι συντελεστές της αριστερής πλευράς πρέπει να είναι ίσοι με εκείνους της δεξιάς πλευράς. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Α + Β + C = 0

3Α + 2Β + C = 1

2Α = - 1

Όταν επιλύουμε αυτό το σύστημα εξισώσεων, έχουμε τα αποτελέσματα A = -1/2, B = 2 και C = -3/2.

Τέλος, αντικαθιστώντας τις τιμές που έχουμε, πρέπει:

(Χ - 1) / x (χ + 1) (χ + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (χ + 1) - 3 / (2 (χ + 2)).

Περίπτωση 2

Οι συντελεστές του q (x) είναι όλα γραμμικοί και μερικοί επαναλαμβάνονται. Ας υποθέσουμε ότι (ax + b) είναι ένας παράγοντας που επαναλαμβάνει "s" φορές? τότε, σε αυτόν τον παράγοντα αντιστοιχεί το άθροισμα των μερικών κλάδων "s".

Α_s/ (άξονα + β)^s + Α_s-1/ (άξονα + β)^s-1 +... + Α₁/ (άξονα + β).

Όπου το Α_s,Α_s-1,..., Α₁ είναι οι σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν. Με το ακόλουθο παράδειγμα θα δείξουμε πώς να καθορίσουμε αυτές τις σταθερές.

Παράδειγμα

Αναλύεται σε μερικά κλάσματα:

(χ - 1) / (χ²(χ - 2)³)

Γράφουμε την ορθολογική συνάρτηση ως άθροισμα των μερικών κλασμάτων ως εξής:

(χ - 1) / (χ²(χ - 2)³) = A / x² + Β / χ + Ο / (χ - 2)³ + D / (χ - 2)² + Ε / (χ - 2).

Στη συνέχεια:

x - 1 = Α (χ - 2)³ + Β (χ - 2)³x + Cx² + D (x - 2) χ² + Ε (χ - 2)²x²

Αν αντικαταστήσουμε το 2 με το x, πρέπει:

7 = 4C, δηλαδή, C = 7/4.

Αντικαθιστώντας το 0 για το x έχουμε:

- 1 = -8Α ή Α = 1/8.

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην προηγούμενη εξίσωση και αναπτύσσοντας, πρέπει:

x - 1 = 1/8 (χ³ - 6x² + 12x - 8) + Βχ (χ³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4χ² +Dx³ - 2Dx² + Εξ²(χ² - 4χ + 4)

x - 1 = (Β + Ε) χ⁴ + (1/8 - 6Β + ϋ - 4Ε) χ³ + (- ¾ + 12Β + 7/4 - 2Δ + 4Ε) x² +(3/2 - 8Β) χ - 1.

Με την αντιστοίχιση συντελεστών, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Β + Ε = 0.

1/8 - 6Β + ϋ - 4Ε = 1;

- 3/4 + 12Β + 7/4 - 2ϋ + 4Ε = 0

3/2 - 8Β = 0.

Επίλυση του συστήματος, έχουμε:

Β = 3/16; D = 5/4; Ε = - 3/16.

Εξαιτίας αυτού, πρέπει:

(χ - 1) / (χ²(χ - 2)³) = (1/8) / χ² + (3/16) / χ + (7/4) / (χ - 2)³ + (5/4) / (χ-2)² - (3/16) / (χ-2).

Περίπτωση 3

Οι συντελεστές του q (x) είναι τετραγωνικοί γραμμικοί, χωρίς επαναλαμβανόμενος τετραγωνικός παράγοντας. Για την περίπτωση αυτή ο τετραγωνικός παράγοντας (αρ² + bx + c) αντιστοιχεί στο μερικό κλάσμα (Ax + B) / (ax)² + bx + c), όπου οι σταθερές Α και Β είναι αυτές που θέλετε να προσδιορίσετε.

Το παρακάτω παράδειγμα δείχνει πώς να προχωρήσετε στην περίπτωση αυτή

Παράδειγμα

Αναλύστε σε απλά κλάσματα a (x + 1) / (x³ - 1).

Αρχικά προχωρούμε στον παρανομαστή, ο οποίος μας δίνει ως αποτέλεσμα:

(χ - 1) = (χ - 1) (χ + χ +1).

Μπορούμε να δούμε ότι (x² + x + 1) είναι ένα μη αναγωγικό τετραγωνικό πολυώνυμο. δηλαδή, δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η αποσύνθεση του σε μερικά κλάσματα θα έχει ως εξής:

(χ + 1) / (χ - 1) (χ² + x + 1) = Α / (χ - 1) + (Βχ + Ο) / (χ² + x +1)

Από αυτό προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση:

x + 1 = (Α + Β) χ² +(Α - Β + Ο) χ + (Α - C)

Χρησιμοποιώντας την ισότητα των πολυώνυμων, αποκτάται το ακόλουθο σύστημα:

Α + Β = 0.

Α - Β + C = 1.

Α - C = 1.

Από αυτό το σύστημα έχουμε A = 2/3, B = - 2/3 και C = 1/3. Αντικατάσταση, πρέπει:

(χ + 1) / (χ - 1) (χ² + x + 1) = 2/3 (χ - 1) - (2χ + 1) / 3 (χ² + x +1).

Περίπτωση 4

Τέλος, η περίπτωση 4 είναι μία περίπτωση στην οποία οι συντελεστές του q (x) είναι γραμμικοί και τετραγωνικοί, όπου επαναλαμβάνονται μερικοί από τους γραμμικούς τετραγωνικούς συντελεστές.

Στην περίπτωση αυτή, ναι (τσεκούρι² + bx + c) είναι ένας τετραγωνικός παράγοντας που επαναλαμβάνει τους χρόνους "s", τότε το μερικό κλάσμα που αντιστοιχεί στον παράγοντα (άξονα)² + bx + γ) θα είναι:

(Α₁x + Β) / (άξ² + bx + γ) + ... + (Α_s-1x + Β_s-1) / (άξονα)² + bx + γ)^s-1 + (Α_sx + Β_s) / (άξονα)² + bx + γ)^s

Όπου το Α_s, Α_s-1,..., Α και Β_s, Β_s-1,..., B είναι οι σταθερές που θέλετε να προσδιορίσετε.

Παράδειγμα

Θέλουμε να χωρίσουμε την ακόλουθη ορθολογική λειτουργία σε μερικά κλάσματα:

(x - 2) / (χ (χ² - 4x + 5)²)

Όπως x² - 4x + 5 είναι ένας μη αναγωγικός τετραγωνικός παράγοντας, έχουμε ότι η αποσύνθεση του σε μερικά κλάσματα δίνεται από:

(x - 2) / (χ (χ² - 4x + 5)²) = Α / χ + (Βχ + Ο) / (χ² - 4x + 5) + (ϋχ + Ε) / (χ² - 4x + 5)²

Απλοποιώντας και αναπτύσσοντας, έχουμε:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Βχ + Ο) (χ² - 4x + 5) χ + (ϋχ + Ε) χ

x - 2 = (Α + Β) χ⁴ + (- 8Α - 4Β + Ο) χ³ + (26Α + 5Β - 4C + D) χ² + (- 40Α + 5C + Ε) χ + 25Α.

Από τα παραπάνω έχουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Α + Β = 0.

- 8Α - 4Β + C = 0.

26Α + 5Β - 4C + D = 0.

- 40Α + 5C + Ε = 1.

25Α = 2.

Κατά την επίλυση του συστήματος, πρέπει:

A = - 2/25, Β = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 και Ε = - 3/5.

Όταν αντικαθιστούμε τις τιμές που έχουμε, έχουμε:

(x - 2) / (χ (χ² - 4x + 5)²) = -2 / 25χ + (2χ-8) / 25 (χ² - 4χ + 5) + (2χ - 3) / 5 (χ² - 4x + 5)²

Εφαρμογές

Πλήρης υπολογισμός

Τα μερικά κλάσματα χρησιμοποιούνται κυρίως για τη μελέτη του ολοκληρωμένου λογισμού. Παρακάτω θα δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς να φτιάχνουμε ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα.

Παράδειγμα 1

Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα των:

Μπορούμε να δούμε ότι ο παρονομαστής q (x) = (t + 2)²(t + 1) αποτελείται από γραμμικούς παράγοντες όπου μία από αυτές τις επαναλήψεις. γι 'αυτό βρισκόμαστε στην περίπτωση 2.

Πρέπει:

1 / (t + 2)²(t + 1) = Α / (t + 2)² +Β / (t + 2) + C / (t + 1)

Ξαναγράφουμε την εξίσωση και έχουμε:

1 = Α (t + 1) + Β (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Αν t = - 1, πρέπει να:

1 = Α (0) + Β (1) (0) + C (1)

1 = C

Αν t = - 2, μας δίνει:

1 = Α (- 1) + Β (0) (- 1) + C (0)

Α = - 1

Στη συνέχεια, εάν t = 0:

1 = Α (1) + Β (2) (1) + C (2)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των Α και C:

1 = 1 + 2Β + 4

1 = 3 + 2Β

2Β = - 2

Από τα παραπάνω έχουμε ότι B = - 1.

Ξαναγράφουμε το ολοκλήρωμα ως εξής:

Προχωράμε στην επίλυσή του με τη μέθοδο αντικατάστασης:

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 2

Λύστε το ακόλουθο ολοκλήρωμα:

Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε το q (x) = x² - 4 ως q (x) = (x - 2) (χ + 2). Σαφώς βρισκόμαστε στην περίπτωση 1. Ως εκ τούτου:

(X-2) + B / (x + 2) (x + 2)

Μπορεί επίσης να εκφραστεί ως εξής:

5x - 2 = Α (χ + 2) + Β (χ - 2)

Αν x = - 2, έχουμε:

- 12 = Α (0) + Β (- 4)

Β = 3

Και αν x = 2:

8 = Α (4) + Β (0)

Α = 2

Έτσι, πρέπει να λύσουμε το δεδομένο ολοκλήρωμα ισοδυναμεί με την επίλυση:

Αυτό μας δίνει ως αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 3

Επίλυση του ολοκλήρου:

Έχουμε q (x) = 9x⁴ + x² , ότι μπορούμε να υπολογίσουμε το q (x) = x²(9x² + 1).

Με αυτή την ευκαιρία έχουμε έναν επαναλαμβανόμενο γραμμικό παράγοντα και έναν τετραγωνικό παράγοντα. δηλαδή, έχουμε στην περίπτωση 3.

Πρέπει:

1 / χ²(9x² + 1) = Α / χ² + Β / χ + (Cx + D) / (9χ² + 1)

1 = Α (9χ² + 1) + Βχ (9χ² + 1) + Cx² + Dx²

Ομαδοποίηση και χρήση της ισότητας πολυώνυμων, έχουμε:

1 = (9Β + C) χ + (9Α + Δ) χ + Βχ + Α

Α = 1.

Β = 0;

9Α + D = 0.

9Β + C = 0

Από αυτό το σύστημα εξισώσεων πρέπει:

D = - 9 και C = 0

Με αυτόν τον τρόπο, έχουμε:

Με την επίλυση των παραπάνω, έχουμε:

Νόμος μαζικής δράσης

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή των μερικών κλασμάτων που εφαρμόζονται στον ολοκληρωμένο λογισμό βρίσκεται στη χημεία, πιο συγκεκριμένα στο νόμο της μαζικής δράσης.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ουσιών Α και Β, τα οποία ενώνονται και σχηματίζουν μια ουσία C, έτσι ώστε το παράγωγο του ποσού των C συναρτήσει του χρόνου είναι ανάλογη με το γινόμενο των ποσοτήτων Α και Β σε κάθε δεδομένη στιγμή.

Μπορούμε να εκφράσουμε το νόμο της μαζικής δράσης ως εξής:

Σε αυτή την έκφραση α είναι η αρχική ποσότητα γραμμαρίων που αντιστοιχεί στο Α και β η αρχική ποσότητα γραμμαρίων που αντιστοιχεί στο Β.

Περαιτέρω, r και s αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των γραμμαρίων Α και Β αντίστοιχα, τα οποία συνδυάζονται για να σχηματίσουν γραμμάρια r + s του C. Εν τω μεταξύ, το χ παριστά τον αριθμό των γραμμαρίων της ουσίας C σε χρόνο t ώρα, και το Κ είναι η σταθερότητα της αναλογικότητας. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

Κάνοντας την παρακάτω αλλαγή:

Έχουμε ότι η εξίσωση γίνεται:

Από αυτή την έκφραση μπορούμε να λάβουμε:

Όπου ναι a ≠ b, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μερικά κλάσματα για ολοκλήρωση.

Παράδειγμα

Πάρτε ένα παράδειγμα μια ουσία C που προκύπτει από το συνδυασμό μιας ουσίας Α με Β, έτσι ώστε η μάζα νόμος πληρούται όπου οι τιμές των α και b είναι 8 και 6 αντίστοιχα. Δώστε μια εξίσωση που μας δίνει την τιμή των γραμμαρίων του C ως συνάρτηση του χρόνου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές στον δεδομένο νόμο μάζας, έχουμε:

Κατά τον διαχωρισμό των μεταβλητών έχουμε:

Εδώ 1 / (8 - χ) (6 - x) μπορούμε να γράψουμε ως άθροισμα των μερικών κλασμάτων, ως εξής:

Έτσι, 1 = Α (6 - χ) + Β (8 - χ)

Αν αντικαταστήσουμε το x με 6, έχουμε ότι B = 1/2. και αντικαθιστώντας το x με το 8, έχουμε A = - 1/2.

Με την ενσωμάτωση με μερικά κλάσματα έχουμε:

Αυτό μας δίνει ως αποτέλεσμα:

Διαφορικές εξισώσεις: λογική εξίσωση

Μια άλλη εφαρμογή που μπορεί να δοθεί σε μερικά κλάσματα είναι στη λογική διαφορική εξίσωση. Σε απλά μοντέλα έχουμε ότι ο ρυθμός ανάπτυξης ενός πληθυσμού είναι ανάλογος του μεγέθους του. δηλαδή:

Η υπόθεση αυτή είναι ένα ιδανικό και θεωρείται ρεαλιστική μέχρι να συμβεί ότι οι πόροι που διατίθενται σε ένα σύστημα είναι ανεπαρκές για να κρατήσει τον πληθυσμό.

Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι λογικό να σκεφτούμε ότι υπάρχει μια μέγιστη χωρητικότητα, θα ονομάσουμε L, το σύστημα μπορεί να κρατήσει, και ο ρυθμός ανάπτυξης είναι ανάλογη με το μέγεθος του πληθυσμού πολλαπλασιάζεται με το διαθέσιμο μέγεθος. Αυτό το επιχείρημα οδηγεί στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

Αυτή η έκφραση ονομάζεται λογική διαφορική εξίσωση. Είναι μια διαχωριζόμενη διαφορική εξίσωση που μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο ενσωμάτωσης με μερικά κλάσματα.

Παράδειγμα

Ένα παράδειγμα θα μπορούσε να θεωρηθεί ένας πληθυσμός που αναπτύσσεται σύμφωνα με την ακόλουθη υλικοτεχνική διαφορική εξίσωση y «= 0.0004y (1000 - y), η αρχική δεδομένα είναι 400. Θέλουμε να γνωρίζουμε το μέγεθος του πληθυσμού σε χρόνο t = 2, όπου t μετράται σε χρόνια.

Αν γράψουμε a και 'με τη συμβολική παράσταση Leibniz ως συνάρτηση που εξαρτάται από το t, πρέπει:

Το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ενσωμάτωσης με μερικά κλάσματα:

Αυτή η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

- Αν αντικαθιστούμε το y = 0 έχουμε A ισούται με 1/1000.

- Αντικαθιστώντας το y = 1000 έχουμε ότι το Β ισούται με 1/1000.

Με αυτές τις τιμές το ολοκλήρωμα παραμένει ως εξής:

Η λύση είναι:

Χρησιμοποιώντας τα αρχικά δεδομένα:

Κατά την εκκαθάριση και από αριστερά:

Τότε το έχουμε στο t = 2:

Συμπερασματικά, μετά από 2 χρόνια το μέγεθος του πληθυσμού είναι περίπου 597,37.

Αναφορές

1. Α, R. Α. (2012). Μαθηματικά 1. Πανεπιστήμιο των Άνδεων. Συμβούλιο Δημοσιεύσεων.
2. Cortez, Ι., & Sanchez, C. (s.f.). 801 ολοκληρωμένα ολοκληρωμένα. Εθνικό Πειραματικό Πανεπιστήμιο της Ταχίρας.
3. Leithold, L. (1992). Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ με την Αναλυτική Γεωμετρία. HARLA, S.A..
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός. Μεξικό: Εκπαίδευση Pearson.
5. Saenz, J. (s.f.). Πλήρης Λογισμός. Υπόταση.