Μέθοδοι παραγοντοποίησης και παραδείγματα

Το παραγοντοποίηση είναι μια μέθοδος μέσω της οποίας ένα πολυώνυμο εκφράζεται με τη μορφή πολλαπλασιασμού παραγόντων, οι οποίοι μπορούν να είναι αριθμοί, γράμματα ή και τα δύο. Για να παραγοντοποιηθούν οι παράγοντες που είναι συνηθισμένοι στους όρους ομαδοποιούνται και με αυτό τον τρόπο το πολυώνυμο αποσυντίθεται σε πολλά πολυώνυμα.

Έτσι, όταν οι παράγοντες πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους το αποτέλεσμα είναι το αρχικό πολυώνυμο. Ο παράγοντας είναι μια πολύ χρήσιμη μέθοδος όταν έχετε αλγεβρικές εκφράσεις, επειδή μπορεί να μετατραπεί σε πολλαπλασιασμό πολλών απλών όρων. Για παράδειγμα: 2α² + 2ab = 2α _* (α + β).

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ένα πολυώνυμο δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη επειδή δεν υπάρχει κοινός παράγοντας μεταξύ των όρων του. Έτσι, αυτές οι αλγεβρικές εκφράσεις διαιρούνται μόνο μεταξύ τους και με το 1. Για παράδειγμα: x + y + z.

Σε μια αλγεβρική έκφραση ο κοινός παράγοντας είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των όρων που το συνθέτουν.

Ευρετήριο

• 1 Μέθοδοι Factoring
  • 1.1 Factoring με κοινό παράγοντα
  • 1.2 Παράδειγμα 1
  • 1.3 Παράδειγμα 2
  • 1.4 Factoring με ομαδοποίηση
  • 1.5 Παράδειγμα 1
  • 1.6 Factoring με επιθεώρηση
  • Παράδειγμα 1
  • 1.8 Παράδειγμα 2
  • 1.9 Factoring με αξιόλογα προϊόντα
  • 1.10 Παράδειγμα 1
  • 1.11 Παράδειγμα 2
  • 1.12 Παράδειγμα 3
  • 1.13 Factoring με τον κανόνα του Ruffini
  • 1.14 Παράδειγμα 1
• 2 Αναφορές

Μέθοδοι factoring

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι factoring, οι οποίες εφαρμόζονται ανάλογα με την περίπτωση. Μερικά από αυτά είναι τα εξής:

Factoring με κοινό παράγοντα

Στη μέθοδο αυτή, εντοπίζονται οι παράγοντες που είναι συνήθεις. δηλαδή, εκείνες που επαναλαμβάνονται με όρους της έκφρασης. Στη συνέχεια εφαρμόζεται η κατανεμητική ιδιότητα, αφαιρείται ο μέγιστος κοινός διαιρέτης και ολοκληρώνεται η παραγοντοποίηση.

Με άλλα λόγια, προσδιορίζεται ο κοινός παράγοντας έκφρασης και κάθε όρος διαιρείται μεταξύ του. οι προκύπτοντες όροι πολλαπλασιάζονται με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα για την έκφραση της παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα 1

Παράγοντας (β²x) + (β²γ).

Λύση

Πρώτον, υπάρχει ο κοινός παράγοντας κάθε όρου, ο οποίος στην περίπτωση αυτή είναι b², και στη συνέχεια οι όροι διαιρούνται μεταξύ του κοινού συντελεστή ως εξής:

(β²x) / b² = x

(β²y) / b² = γ.

Ο συντελεστής εκφράζεται πολλαπλασιάζοντας τον κοινό συντελεστή με τους προκύπτοντες όρους:

(β²x) + (β²y) = b² (χ + γ).

Παράδειγμα 2

Παράγοντας παράγοντα (2α)²β³) + (3ab²).

Λύση

Στην περίπτωση αυτή έχουμε δύο παράγοντες που επαναλαμβάνονται σε κάθε όρο που είναι «α» και «β» και που ανυψώνονται σε ισχύ. Για να τα παραγάγουμε, πρώτα οι δύο όροι αναλύονται στη μακρά μορφή τους:

2_*α_*α_*β_*β_*b + 3α_*β_*β

Μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο παράγοντας "α" επαναλαμβάνεται μόνο μια φορά στον δεύτερο όρο, και ο παράγοντας "b" επαναλαμβάνεται δύο φορές σε αυτό. έτσι στον πρώτο όρο υπάρχουν μόνο 2, ένας παράγοντας "a" και ένα "b". ενώ στη δεύτερη περίοδο υπάρχουν μόνο 3.

Έτσι, πολλές φορές γράφετε «α» και «β» επαναλαμβάνονται και πολλαπλασιάζονται με τους συντελεστές ανταλλακτικά κάθε όρο, όπως φαίνεται στην εικόνα:

Παραγοντοποίηση με ομαδοποίηση

Όπως σε όλες τις περιπτώσεις το μέγιστο κοινό διαιρέτη ενός πολυωνύμου εκφράζεται σαφώς, είναι απαραίτητο να γίνουν άλλα βήματα για να ξαναγράψουμε το πολυώνυμο και έτσι παράγοντα.

Ένα από αυτά τα βήματα είναι να ομαδοποιήσουμε τους όρους του πολυωνύμου σε διάφορες ομάδες και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του κοινού παράγοντα.

Παράδειγμα 1

Παράγοντας ac + bc + ad + bd.

Λύση

Υπάρχουν 4 παράγοντες όπου δύο είναι συνηθισμένοι: στον πρώτο όρο είναι "c" και στη δεύτερη είναι "d". Με αυτόν τον τρόπο οι δύο όροι ομαδοποιούνται και διαχωρίζονται:

(ac + bc) + (ad + bd).

Τώρα είναι δυνατή η εφαρμογή της κοινής μεθόδου παράγοντα, η οποία διαιρεί κάθε όρο με τον κοινό συντελεστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζει τον κοινό παράγοντα με τους προκύπτοντες όρους, όπως αυτό:

(ac + bc) / ο = α + β

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Τώρα θα έχετε μια διωνυμία που είναι κοινή και για τους δύο όρους. Για τον συντελεστή πολλαπλασιάζεται με τους υπόλοιπους παράγοντες. έτσι πρέπει:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (α + β).

Παραγοντοποίηση με επιθεώρηση

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον παράγοντα τετραγωνικά πολυώνυμα, που ονομάζονται επίσης τρινωώματα. δηλαδή, αυτά που είναι δομημένα ως τσεκούρι² ± bx + c, όπου η τιμή του "a" είναι διαφορετική από 1. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης όταν το trinomial έχει τη μορφή x² ± bx + c και η τιμή του "a" = 1.

Παράδειγμα 1

Παράγοντας x² + 5χ + 6.

Λύση

Έχετε ένα τετραγωνικό τριωνύμιο της φόρμας x² ± bx + c. Για παράγοντας πρέπει πρώτα να βρείτε δύο αριθμούς που, όταν πολλαπλασιάζεται, έχει ως αποτέλεσμα την τιμή του «c» (δηλαδή, 6) και ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με το συντελεστή «β» είναι 5. Αυτοί οι αριθμοί είναι 2 και 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Με αυτό τον τρόπο, η έκφραση απλοποιείται ως εξής:

(χ² + 2x) + (3χ + 6)

Κάθε όρος συμπεριλαμβάνεται:

- Για (x² + 2x) ο κοινός όρος εξάγεται: x (x + 2)

- Για (3χ + 6) = 3 (χ + 2)

Έτσι, η έκφραση παραμένει:

x (χ + 2) + 3 (χ + 2).

Καθώς έχετε ένα κοινό διωνύμιο, για να μειώσετε την έκφραση πολλαπλασιάστε αυτό με τους όρους πλεονάσματος και πρέπει:

x² + 5x + 6 = (χ + 2) _* (χ + 3).

Παράδειγμα 2

Παράγοντας 4α² + 12a + 9 = 0.

Λύση

Έχετε ένα τετραγωνικό τριγωνικό τσεκούρι² ± bx + c και για να το συντελέσει όλη η έκφραση πολλαπλασιάζεται με το συντελεστή x²? στην περίπτωση αυτή, 4.

4α² + 12a + 9 = 0

4α² (4) + 12α (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 α² + 12α (4) + 36 = 0

4² α² + 12α (4) + 36 = 0

Τώρα δύο αριθμοί θα πρέπει να διαπιστωθεί ότι, όταν πολλαπλασιάζεται μαζί, ως αποτέλεσμα την τιμή του «c» (η οποία είναι 36) και ότι η προστιθέμενη αποτέλεσμα του συντελεστή του όρου «α», η οποία είναι 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Με τον τρόπο αυτό η έκφραση ξαναγράφεται, λαμβάνοντας υπόψη αυτό² α² = 4α _* 4α. Επομένως, η διανεμητική ιδιοκτησία εφαρμόζεται για κάθε όρο:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Τέλος, η έκφραση διαιρείται με το συντελεστή του²? δηλαδή, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Η έκφραση έχει ως εξής:

4α² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring με αξιόλογα προϊόντα

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες, για να γεφυρωθούν πλήρως τα πολυώνυμα με τις προηγούμενες μεθόδους, γίνεται μια πολύ μακρά διαδικασία.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μια έκφραση μπορεί να αναπτυχθεί με τους τύπους των αξιοσημείωτων προϊόντων και έτσι η διαδικασία γίνεται απλούστερη. Μεταξύ των πιο χρησιμοποιούμενων αξιοσημείωτων προϊόντων είναι:

- Διαφορά δύο τετραγώνων: (α² - β²) = (α-β) _* (α + β)

- Τέλειο τετράγωνο ενός ποσού: α² + 2ab + β² = (α + β)²

- Τέλειο τετράγωνο μιας διαφοράς: α² - 2ab + β² = (α-β)²

- Διαφορά δύο κύβων: α³ - β³ = (α-β)_*(α² + ab + β²)

- Σύνολο δύο κύβων: α³ - β³ = (α + β) _* (α² - ab + β²)

Παράδειγμα 1

Παράγοντας (5² - x²)

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει μια διαφορά δύο τετραγώνων. επομένως, εφαρμόζεται ο τύπος του αξιοσημείωτου προϊόντος:

(α² - β²) = (α-β) _* (α + β)

(5² - x²) = (5-χ) _* (5 + χ)

Παράδειγμα 2

Παράγοντας 16x² + 40x + 25²

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ένα τέλειο τετράγωνο του αθροίσματος, διότι μπορεί να εντοπίσει δύο υψηλής τετράγωνο πλευράς και ο όρος που μένει είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο από την τετραγωνική ρίζα της πρώτης θητείας, με την τετραγωνική ρίζα της δεύτερης θητείας.

α² + 2ab + β² = (α + β)²

Για τον παράγοντα, υπολογίζονται μόνο οι τετραγωνικές ρίζες του πρώτου και του τρίτου όρου:

√ (16x²) = 4χ

√ (25²) = 5.

Στη συνέχεια, οι δύο προκύπτοντες όροι διαχωρίζονται από το σημείο της πράξης και ολόκληρο το πολυώνυμο είναι τετράγωνο:

16x² + 40x + 25² = (4χ + 5)².

Παράδειγμα 3

Παράγοντας 27α³ - β³

Λύση

Η έκφραση αντιπροσωπεύει μια αφαίρεση στην οποία δύο παράγοντες αυξάνονται στον κύβο. Για να τους συντελέσουμε, εφαρμόζεται ο τύπος του αξιοσημείωτου προϊόντος της διαφοράς κύβου, που είναι:

α³ - β³ = (α-β)_*(α² + ab + β²)

Έτσι, για να παραγοντοποιήσετε την κυβική ρίζα του κάθε όρου της διωνυμικής απομακρύνεται και πολλαπλασιάζεται με το τετράγωνο του πρώτου όρου, συν το προϊόν του πρώτου από τον δεύτερο όρο, το δεύτερο όρο περισσότερο τετράγωνο.

27α³ - β³

³√ (27α³) = 3α

³√ (-b³) = -b

27α³ - β³ = (3a-b) _* [(3α)² + 3ab + b²)]

27α³ - β³ = (3a-b) _* (9α² + 3ab + b²)

Factoring με τον κανόνα του Ruffini

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν έχετε ένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερο από δύο, προκειμένου να απλουστευθεί η έκφραση σε πολλά πολυώνυμα μικρότερης σπουδαιότητας.

Παράδειγμα 1

Παράγοντας Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Λύση

Πρώτα αναζητήστε τους αριθμούς που είναι οι διαιρέτες των 12, ο οποίος είναι ο ανεξάρτητος όρος. αυτά είναι ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 και ± 12.

Στη συνέχεια, το x αντικαθίσταται από αυτές τις τιμές, από το χαμηλότερο στο υψηλότερο, και έτσι καθορίζεται με ποια από τις τιμές η διαίρεση θα είναι ακριβής. δηλαδή, το υπόλοιπο πρέπει να είναι 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Και ούτω καθεξής για κάθε διαχωριστή. Στην περίπτωση αυτή, οι παράγοντες που βρέθηκαν είναι για το x = -1 και το x = 2.

Τώρα εφαρμόζεται η μέθοδος Ruffini, σύμφωνα με την οποία οι συντελεστές της έκφρασης θα διαιρούνται μεταξύ των παραγόντων που βρέθηκαν για να είναι ακριβής η διαίρεση. Οι όροι πολυωνύμων παραγγέλλονται από τον υψηλότερο έως τον χαμηλότερο εκθέτη. στην περίπτωση που λείπει ένας όρος με τον βαθμό που ακολουθεί στην ακολουθία, στη θέση του τοποθετείται ένα 0.

Οι συντελεστές βρίσκονται σε ένα σχήμα όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Ο πρώτος συντελεστής μειώνεται και πολλαπλασιάζεται με τον διαιρέτη. Στην περίπτωση αυτή, ο πρώτος διαιρέτης είναι -1 και το αποτέλεσμα τοποθετείται στην επόμενη στήλη. Στη συνέχεια, η τιμή του συντελεστή προστίθεται κατακόρυφα με το αποτέλεσμα που λήφθηκε και το αποτέλεσμα τοποθετείται κάτω. Με αυτόν τον τρόπο η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι την τελευταία στήλη.

Στη συνέχεια επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία, αλλά με τον δεύτερο διαιρέτη (που είναι 2), επειδή η έκφραση μπορεί ακόμα να απλοποιηθεί.

Έτσι, για κάθε ληφθείσα ρίζα, το πολυώνυμο θα έχει έναν όρο (x - a), όπου "a" είναι η τιμή της ρίζας:

(χ - (-1)) _* (χ - 2) = (χ + 1) _* (χ - 2)

Επιπλέον, αυτοί οι όροι θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το υπόλοιπο παρέμεινε κανόνα Ruffini είναι 1: 1 και -6, οι οποίες είναι παράγοντες που αντιπροσωπεύουν ένα βαθμό. Με αυτόν τον τρόπο η έκφραση που σχηματίζεται είναι: (x² + x - 6).

Η απόκτηση του αποτελέσματος της παραγοντοποίησης του πολυωνύμου με τη μέθοδο Ruffini είναι:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (χ + 1) _* (χ - 2) _* (χ² + x - 6)

Για να ολοκληρωθεί, το πολυώνυμο του βαθμού 2 που εμφανίζεται στην προηγούμενη έκφραση μπορεί να ξαναγραφεί ως (x + 3) (x-2). Επομένως, η τελική παραγοντοποίηση είναι:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (χ + 1) _* (χ - 2)_*(χ + 3)_*(χ-2).

Αναφορές

1. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
2. J, V. (2014). Πώς να διδάξετε τα παιδιά σχετικά με το Factoring στο πολυώνυμο.
3. Manuel Morillo, Α. S. (s.f.). Βασικά Μαθηματικά με Εφαρμογές.
4. Roelse, Ρ. L. (1997). Γραμμικές μέθοδοι για παραγοντοποίηση πολυωνύμων σε πεπερασμένα πεδία: θεωρία και υλοποιήσεις. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Δαχτυλίδια και Factorization.