Συμπληρωματικές εφαρμογές αποσύνθεσης, διαμερίσματα, γραφικά

Το πρόσθετη αποσύνθεση του θετικού ακέραιου αριθμού είναι να το εκφράσει ως άθροισμα δύο ή περισσότερων θετικών ακεραίων. Έτσι, έχουμε ότι ο αριθμός 5 μπορεί να εκφραστεί ως 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ή 5 = 1 + 2 + 2. Κάθε ένας από αυτούς τους τρόπους γραφής του αριθμού 5 είναι αυτό που θα ονομάσουμε πρόσθετη αποσύνθεση.

Αν δώσουμε προσοχή μπορούμε να δούμε ότι οι εκφράσεις 5 = 2 + 3 και 5 = 3 + 2 αντιπροσωπεύουν την ίδια σύνθεση. και οι δύο έχουν τους ίδιους αριθμούς. Ωστόσο, μόνο για λόγους ευκολίας, κάθε μία από τις προσθήκες συνήθως γράφεται σύμφωνα με το κριτήριο του ελάχιστου προς το υψηλότερο.

Ευρετήριο

• 1 αποσύνθεση της πρόσθετης ύλης
• 2 κανονική αποσύνθεση προσθέτων
• 3 Εφαρμογές
  • 3.1 Παράδειγμα θεώρημα
• 4 χωρίσματα
  • 4.1 Ορισμός
• 5 Γραφικά
• 6 Αναφορές

Πρόσθετη αποσύνθεση

Ως ένα άλλο παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε τον αριθμό 27, τον οποίο μπορούμε να το εκφράσουμε ως:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Η αποσύνθεση του προσθέτου είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο που μας επιτρέπει να ενισχύσουμε τις γνώσεις μας σχετικά με τα συστήματα αρίθμησης.

Προσθετική κανονική αποσύνθεση

Όταν έχουμε αριθμούς με περισσότερους από δύο αριθμούς, ένας ιδιαίτερος τρόπος αποσύνθεσης τους είναι στα πολλαπλάσια των 10, 100, 1000, 10 000 κλπ. Που το κάνουν. Αυτός ο τρόπος εγγραφής οποιουδήποτε αριθμού ονομάζεται κανονική αποσύνθεση προσθέτων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 1456 μπορεί να κατανεμηθεί ως εξής:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Αν έχουμε τον αριθμό 20 846 295, η αποσύνθεση του κανονικού προσθέτου θα είναι:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6 000 + 200 + 90 + 5.

Χάρη σε αυτήν την αποσύνθεση, μπορούμε να δούμε ότι η αξία ενός δεδομένου ψηφίου δίνεται από τη θέση που κατέχει. Πάρτε τους αριθμούς 24 και 42 ως παράδειγμα:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Εδώ μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στις 24 η 2 έχει τιμή 20 μονάδες και η τιμή 4 είναι 4 μονάδες. από την άλλη πλευρά, στις 42 οι 4 έχουν αξία 40 μονάδων και οι 2 από τις δύο μονάδες. Έτσι, αν και οι δύο αριθμοί χρησιμοποιούν τα ίδια ψηφία, οι τιμές τους είναι τελείως διαφορετικές από τη θέση που καταλαμβάνουν.

Εφαρμογές

Μία από τις εφαρμογές που μπορούμε να δώσουμε στην αποσύνθεση προσθέτων είναι σε ορισμένους τύπους διαδηλώσεων, στις οποίες είναι πολύ χρήσιμο να δούμε ένα θετικό ακέραιο αριθμό ως το άθροισμα των άλλων.

Παράδειγμα θεώρημα

Πάρτε ως παράδειγμα το ακόλουθο θεώρημα με τις αντίστοιχες επιδείξεις του.

- Ας το Z να είναι τετραψήφιο ακέραιο, τότε το Z διαιρείται με 5 εάν ο αριθμός του που αντιστοιχεί στις μονάδες είναι μηδέν ή πέντε.

Επίδειξη

Θυμηθείτε τι είναι διαιατότητα. Εάν έχουμε ακέραιους "α" και "β", λέμε ότι "a" χωρίζει "b" αν υπάρχει ένας ακέραιος "c" έτσι ώστε b = a * c.

Μια από τις ιδιότητες της διαίρεσης μας λέει ότι αν τα "a" και "b" διαιρούνται με το "c" τότε η αφαίρεση "a-b" διαιρείται επίσης με το "c".

Ας Z είναι τετραψήφιος ακέραιος αριθμός. Ως εκ τούτου, μπορούμε να γράψουμε Z ως Z = ABCD.

Χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση των κανονικών προσθέτων έχουμε το εξής:

Ζ = Α * 1000 + Β * 100 + Ο * 10 + D

Σαφώς, Α * 1000 + Β * + C * 10 100 διαιρείται με το 5. Για αυτό έχουμε το Ζ είναι διαιρετό από 5 εάν το Ζ - (A * 1000 + Β * + C * 10 100) είναι διαιρετό από 5.

Αλλά Z - (A * 1000 + Β * + C * 10 100) = D και D είναι ένα μονοψήφιο αριθμό, έτσι ο μόνος τρόπος είναι διαιρετό από 5 είναι είτε 0 ή 5.

Επομένως, το Ζ διαιρείται με 5 εάν D = 0 ή D = 5.

Σημειώστε ότι αν το Z έχει n ψηφία η απόδειξη είναι ακριβώς η ίδια, αλλάζει μόνο ότι θα γράψαμε τώρα Z = A₁Α₂... Α_n και ο στόχος θα ήταν να αποδειχθεί ότι A_n είναι μηδέν ή πέντε.

Χωρίσματα

Λέμε ότι ένα διαμέρισμα ενός θετικού ακέραιου είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό ως ένα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών.

Η διαφορά μεταξύ μιας πρόσθετης ύλης αποσύνθεσης και ένα διαμέρισμα είναι ότι ενώ η πρώτη αυτή προορίζεται ότι τουλάχιστον μπορεί να αναλυθεί σε δύο όρους ή περισσότερο, το διαμέρισμα δεν έχει αυτόν τον περιορισμό.

Έτσι, έχουμε τα εξής:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Τα παραπάνω είναι διαμερίσματα των 5.

Δηλαδή, έχουμε ότι κάθε αποσύνθεση προσθέτου είναι ένα διαμέρισμα, αλλά όχι κάθε διαμέρισμα είναι αναγκαστικά μια πρόσθετη αποσύνθεση.

Στη θεωρία αριθμών, το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής εγγυάται ότι κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως προϊόν ξαδέρφων.

Κατά τη μελέτη διαμερισμάτων, ο στόχος είναι να καθορίσετε πόσους τρόπους μπορείτε να γράψετε έναν θετικό ακέραιο σαν το άθροισμα άλλων ακέραιων αριθμών. Επομένως, ορίζουμε τη λειτουργία διαμερισμού όπως παρουσιάζεται παρακάτω.

Ορισμός

Η συνάρτηση κατανομής p (n) ορίζεται ως ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους ένας θετικός ακέραιος n μπορεί να γραφτεί ως ένα σύνολο θετικών ακεραίων.

Επιστρέφοντας στο παράδειγμα του 5, πρέπει:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Με αυτόν τον τρόπο, p (5) = 7.

Γραφικά

Τόσο τα χωρίσματα όσο και οι πρόσθετες αποσυνθέσεις ενός αριθμού n μπορούν να αναπαρασταθούν γεωμετρικά. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια πρόσθετη αποσύνθεση του n. Σε αυτή την αποσύνθεση οι προσθήκες μπορούν να διευθετηθούν έτσι ώστε τα μέλη του ποσού να παραγγέλλονται από το χαμηλότερο στο υψηλότερο. Τότε αξίζει:

n = α₁ + α₂ + α₃ +... + α_r με

α₁ ≤ α₂ ≤ α₃ ≤ ... ≤ α_r.

Μπορούμε να γράψουμε αυτήν την αποσύνθεση με τον ακόλουθο τρόπο: στην πρώτη σειρά σημειώνουμε την₁-σημεία, και στη συνέχεια σημειώνουμε το επόμενο₂-σημεία, και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσετε_r.

Πάρτε τον αριθμό 23 και την ακόλουθη αποσύνθεση ως παράδειγμα:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Διατάξαμε αυτή την αποσύνθεση και έχουμε:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Το αντίστοιχο γράφημα θα είναι:

Ομοίως, εάν διαβάζουμε το γράφημα κάθετα αντί για οριζόντια, μπορούμε να επιτύχουμε μια αποσύνθεση που μπορεί να είναι διαφορετική από την προηγούμενη. Στο παράδειγμα των 23 υπογραμμίζει τα εξής:

Έτσι πρέπει να 23 μπορούμε επίσης να γράψουμε ως εξής:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Αναφορές

1. G.H. Hardy και E. Μ. Wright. Εισαγωγή στη Θεωρία των Αριθμών. Οξφόρδη. Clarendon Press.
2. Navarro C. Διδακτική Εγκυκλοπαίδεια 6. Edtil Santillana, S.A..
3. Navarro C.Σύνδεση με τα μαθηματικά 6. Edtil Santillana, S.A..
4. Niven & Zuckerman. Εισαγωγή στη θεωρία των αριθμών. Ασβέστη.
5. Αξιολόγηση VV.AA Κριτήριο μαθηματικής περιοχής: Πρότυπο για την πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Εκπαίδευση Wolters Kluwer.
6. Διδακτική Εγκυκλοπαίδεια 6.