Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαδοχικών αριθμών;



Για να το ξέρω ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαδοχικών αριθμών, μπορείτε να βρείτε έναν τύπο, με τον οποίο αρκεί να αντικαταστήσετε τους αντίστοιχους αριθμούς για να αποκτήσετε το αποτέλεσμα.

Αυτός ο τύπος μπορεί να βρεθεί με έναν γενικό τρόπο, δηλαδή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε ζεύγος διαδοχικών αριθμών.

Με λέγοντας "διαδοχικοί αριθμοί", υπονοούμε σιωπηρά ότι και οι δύο αριθμοί είναι ακέραιοι. Και όταν μιλάμε για "τα τετράγωνα" αναφέρεται σε τετραγωνισμό κάθε αριθμού.

Για παράδειγμα, εάν λάβουμε υπόψη τους αριθμούς 1 και 2, τα τετράγωνα τους είναι 1 2 = 1 και 2 2 = 4, επομένως, το άθροισμα των τετραγώνων είναι 1 + 4 = 5.

Από την άλλη πλευρά, αν ληφθούν οι αριθμοί 5 και 6, τα τετράγωνα τους είναι 5 ² = 25 και 6 ² = 36, όπου το άθροισμα των τετραγώνων είναι 25 + 36 = 61.

Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαδοχικών αριθμών?

Στόχος τώρα είναι να γενικεύσουμε τι έχει γίνει στα προηγούμενα παραδείγματα. Γι 'αυτό είναι απαραίτητο να βρούμε έναν γενικό τρόπο γραφής ενός ολόκληρου αριθμού και του διαδοχικού του συνόλου.

Αν παρατηρηθούν δύο συνεχόμενοι ακέραιοι, για παράδειγμα 1 και 2, μπορεί να φανεί ότι το 2 μπορεί να γραφτεί ως 1 + 1. Επίσης, αν κοιτάξουμε τους αριθμούς 23 και 24, συμπεραίνουμε ότι το 24 μπορεί να γραφτεί ως 23 + 1.

Για αρνητικούς ακέραιους, αυτή η συμπεριφορά μπορεί επίσης να επαληθευτεί. Στην πραγματικότητα, αν εξετάσετε -35 και -36, μπορείτε να δείτε ότι -35 = -36 + 1.

Επομένως, εάν επιλέγεται οποιοσδήποτε ακέραιος "η", τότε ο ακέραιος αριθμός που ακολουθεί στο "n" είναι "n + 1". Έτσι, έχει ήδη καθιερωθεί μια σχέση μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων.

Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων?

Δεδομένων δύο συνεχόμενων ακέραιων αριθμών "n" και "n + 1", τότε τα τετράγωνα τους είναι "n²" και "(n + 1) ²". Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των αξιοσημείωτων προϊόντων, αυτός ο τελευταίος όρος μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(n + 1) 2 = n 2 + 2 * n * 1 + 1 2 = n 2 + 2n + 1.

Τέλος, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαδοχικών αριθμών δίνεται από την έκφραση:

n 2 + n 2 + 2n + 1 = 2n 2 + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Αν ο προηγούμενος τύπος είναι λεπτομερής, μπορεί να φανεί ότι αρκεί να γνωρίζουμε τον μικρότερο ακέραιο "ν" για να γνωρίζουμε ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων, δηλαδή, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον μικρότερο από τους δύο ακέραιους αριθμούς.

Μια άλλη προοπτική της ληφθείσας φόρμουλας είναι: οι επιλεγμένοι αριθμοί πολλαπλασιάζονται, κατόπιν το αποτέλεσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζεται με 2 και τέλος προστίθεται 1.

Από την άλλη πλευρά, το πρώτο summand στα δεξιά είναι ένας ζυγός αριθμός και όταν προσθέσετε 1 το αποτέλεσμα θα είναι περίεργο. Αυτό λέει, ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης των τετραγώνων των δύο διαδοχικών αριθμών θα είναι πάντα ένας περίεργος αριθμός.

Μπορεί επίσης να σημειωθεί ότι από τη στιγμή που προστίθενται δύο τετραγωνικοί αριθμοί, τότε αυτό το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Παραδείγματα

1.- Εξετάστε τους ακεραίους 1 και 2. Ο μικρότερος ακέραιος είναι 1. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των τετραγώνων είναι: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Το οποίο συμφωνεί με τους λογαριασμούς που έγιναν στην αρχή.

2.- Αν ληφθούν οι ακέραιοι αριθμοί 5 και 6 τότε το άθροισμα των τετραγώνων θα είναι 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, το οποίο επίσης συμπίπτει με το αποτέλεσμα που αποκτήθηκε στην αρχή.

3.- Αν επιλέγονται οι ακέραιοι αριθμοί -10 και -9, τότε το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Αφήνω τους ακεραίους σε αυτή την ευκαιρία -1 και 0, τότε το άθροισμα των τετραγώνων τους δίνεται από 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Αναφορές

  1. Bouzas, Ρ. G. (2004). Αλγεβρα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση: Συνεταιριστική εργασία στα μαθηματικά. Εκδόσεις Narcea.
  2. Cabello, R. Ν. (2007). Εξουσίες και ρίζες. Δημόσια βιβλία.
  3. Cabrera, V. Μ. (1997). Υπολογισμός 4000. Συντάκτης Progreso.
  4. Guevara, Μ. Η. (S.f.). Το σύνολο των αριθμών. EUNED.
  5. Oteyza, Ε. D. (2003). Albegra. Εκπαίδευση Pearson.
  6. Smith, S.A. (2000). Άλγεβρα. Εκπαίδευση Pearson.
  7. Thomson. (2006). Περνώντας το GED: Μαθηματικά. InterLingua Publishing.