Πώς να πάρετε μια περιοχή πεντάγωνο;

Το περιοχή ενός πεντάγωνου υπολογίζεται με μια μέθοδο γνωστή ως τριγωνισμός, η οποία μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πολύγωνο. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη διαίρεση του πεντάγωνου σε διάφορα τρίγωνα.

Στη συνέχεια υπολογίζεται η περιοχή κάθε τριγώνου και τέλος προστίθενται όλες οι περιοχές που βρέθηκαν. Το αποτέλεσμα θα είναι η περιοχή του πεντάγωνου.

Το πεντάγωνο θα μπορούσε επίσης να χωριστεί σε άλλα γεωμετρικά σχήματα, όπως ένα τραπεζοειδές και ένα τρίγωνο, όπως και το σχήμα στα δεξιά.

Το πρόβλημα είναι ότι το μήκος της μεγάλης βάσης και το ύψος του τραπεζοειδούς δεν είναι εύκολο να υπολογιστούν. Επιπλέον, πρέπει να υπολογίσετε το ύψος του κόκκινου τριγώνου.

Πώς να υπολογίσετε την περιοχή ενός πεντάγωνου?

Η γενική μέθοδος για τον υπολογισμό της περιοχής ενός πεντάγωνου είναι τριγωνισμός, αλλά η μέθοδος μπορεί να είναι άμεση ή λίγο μεγαλύτερη ανάλογα με το αν το πεντάγωνο είναι κανονικό ή όχι..

Περιοχή κανονικού πεντάγωνου

Πριν υπολογίσουμε την περιοχή είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ποιο είναι το apothemo.

Το απόθεμα ενός κανονικού πεντάγωνο (κανονικό πολύγωνο) είναι η μικρότερη απόσταση από το κέντρο του πεντάγωνου (πολυγωνικό) στο μέσο της μίας πλευράς του πεντάγωνου (πολύγωνο).

Με άλλα λόγια, το απόθεμα είναι το μήκος του τμήματος γραμμής που πηγαίνει από το κέντρο του πεντάγωνου στο μέσο της πλευράς.

Σκεφτείτε ένα κανονικό πεντάγωνο έτσι ώστε το μήκος των πλευρών του να είναι "L". Για τον υπολογισμό απόστημα χορδής πρώτη κεντρική γωνία του α μεταξύ του αριθμού των πλευρών, δηλαδή, α = 360 ° / 5 = 72 ° διαιρείται.

Τώρα, χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές αναλογίες, υπολογίζεται το μήκος του αποθέματος όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Επομένως, ο απότμος έχει μήκος L / 2 tan (36 °) = L / 1.45.

Όταν κάνετε το τριγωνισμό του πεντάγωνου, θα πάρετε μια εικόνα όπως αυτή που ακολουθεί.

Τα 5 τρίγωνα έχουν την ίδια περιοχή (επειδή είναι ένα κανονικό πεντάγωνο). Επομένως η περιοχή του πεντάγωνου είναι 5 φορές η περιοχή ενός τριγώνου. Αυτό είναι: περιοχή ενός πεντάγωνου = 5 * (L * ap / 2).

Αντικαθιστώντας την τιμή του apothem, έχουμε την περιοχή A = 1.72 * L².

Επομένως, για να υπολογίσετε την περιοχή ενός κανονικού πεντάγωνου, πρέπει να γνωρίζετε μόνο το μήκος μιας πλευράς.

Περιοχή ενός ανώμαλου πεντάγωνου

Ξεκινά από ένα ακανόνιστο πεντάγωνο, έτσι ώστε τα μήκη των πλευρών του να είναι L1, L2, L3, L4 και L5. Σε αυτή την περίπτωση, το apoth δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως είχε χρησιμοποιηθεί πριν.

Αφού κάνετε τον τριγωνισμό, παίρνετε μια φιγούρα όπως η εξής:

Τώρα προχωρούμε να σχεδιάσουμε και να υπολογίσουμε τα ύψη αυτών των 5 εσωτερικών τριγώνων.

Στη συνέχεια, οι περιοχές των εσωτερικών τρίγωνα είναι T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, Τ3 = L3 * H3 / 2, Τ4 = L4 * H4 / 2 και Τ5 = L5 * h5 / 2.

Αντιστοιχεί στο h1, h2, h3, Η4 και Η5 αξίες είναι τα ύψη του κάθε τριγώνου, αντίστοιχα.

Τέλος η περιοχή του πεντάγωνου είναι το άθροισμα αυτών των 5 περιοχών. Δηλαδή, Α = Τ1 + Τ2 + Τ3 + Τ4 + Τ5.

Όπως μπορεί να φανεί, τον υπολογισμό του εμβαδού του ακανόνιστου πενταγώνου είναι πιο περίπλοκη για να υπολογίσει το εμβαδόν ενός κανονικό πεντάγωνο.

Ο προσδιοριστής του Gauss

Υπάρχει και μια άλλη μέθοδος με την οποία μπορεί κανείς να υπολογίσει το εμβαδόν οποιουδήποτε ακανόνιστου πολυγώνου, γνωστή ως Gaussian προσδιοριστής.

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην έλξη του πολυγώνου στο καρτεσιανό επίπεδο, κατόπιν υπολογίζονται οι συντεταγμένες κάθε κορυφής.

Οι κορυφές παρατίθενται κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού και, τέλος, ορισμένοι καθοριστικοί παράγοντες υπολογίζονται για να πάρουν τελικά την περιοχή του εν λόγω πολυγώνου.

Αναφορές

1. Alexander, D. C., & Koeberlein, G. Μ. (2014). Στοιχειώδης γεωμετρία για φοιτητές κολλεγίων. Εκπαιδευτική εκπαίδευση.
2. Arthur Goodman, L. Η. (1996). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
3. Lofret, Ε. Η. (2002). Το βιβλίο των πινάκων και των τύπων / Το βιβλίο των πινάκων πολλαπλασιασμού και των τύπων. Imaginator.
4. Palmer, C.I. & Bibb, S.F. (1979). Πρακτικά μαθηματικά: αριθμητική, άλγεβρα, γεωμετρία, τριγωνομετρία και κανόνας διαφάνειας (εκτύπωση εκ νέου). Επαναστροφή.
5. Posamentier, Α. S., & Bannister, R.L. (2014). Γεωμετρία, Στοιχεία και Δομή: Δεύτερη Έκδοση. Courier Corporation.
6. Quintero, Α. Η., & Costas, Ν. (1994). Γεωμετρία. Η Εκδοτική, UPR.
7. Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες. Εκδοτική Τεχνολογία CR.
8. Torah, F. Β. (2013). Μαθηματικά 1η Διδακτική Μονάδα ESO, Τόμος 1. Συντακτική Πανεπιστημιακή λέσχη.
9. Víquez, Μ., Arias, R., & Araya, J. (s.f.). Μαθηματικά (έκτο έτος). EUNED.