Υπολογισμός των προσεγγίσεων με χρήση του διαφορικού

Μια προσέγγιση στα μαθηματικά είναι ένας αριθμός που δεν είναι η ακριβής αξία του κάτι, αλλά είναι τόσο κοντά σε αυτό που θεωρείται χρήσιμο όπως αυτή η ακριβής τιμή.

Όταν γίνονται προσεγγίσεις στα μαθηματικά είναι επειδή χειροκίνητα είναι δύσκολο (ή μερικές φορές αδύνατο) να γνωρίζουμε την ακριβή αξία του τι είναι επιθυμητό.

Το κύριο εργαλείο κατά την εργασία με τις προσεγγίσεις είναι η διαφορά μιας συνάρτησης.

Η διαφορά μιας συνάρτησης f, που υποδηλώνεται από Δf (x), δεν είναι μεγαλύτερη από το παράγωγο της συνάρτησης f πολλαπλασιασμένο με την μεταβολή στην ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή Δf (x) = f '(x) * Δx.

Μερικές φορές df και dx χρησιμοποιούνται αντί των Δf και Δx.

Προσεγγίσεις χρησιμοποιώντας τη διαφορά

Ο τύπος που εφαρμόζεται για να γίνει προσέγγιση μέσω της διαφοράς προκύπτει ακριβώς από τον ορισμό του παραγώγου μιας συνάρτησης ως όριο.

Ο τύπος αυτός δίνεται από:

f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f'.

Εδώ γίνεται κατανοητό ότι Δx = x-x0, συνεπώς, x = x0 + Δx. Με αυτόν τον τρόπο ο τύπος μπορεί να ξαναγραφεί ως

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το "x0" δεν είναι μια αυθαίρετη τιμή, αλλά είναι μια τιμή τέτοια που το f (x0) είναι εύκολα γνωστό. Επιπλέον, το "f (x)" είναι ακριβώς η τιμή που θέλουμε να προσεγγίσουμε.

Υπάρχουν καλύτερες προσεγγίσεις?

Η απάντηση είναι ναι. Η προηγούμενη είναι η απλούστερη των προσεγγίσεων που ονομάζονται "γραμμική προσέγγιση".

Για καλύτερες προσεγγίσεις ποιότητας (το σφάλμα είναι μικρότερο), χρησιμοποιούνται πολυώνυμα με περισσότερα παράγωγα που ονομάζονται "πολυωνύμια Taylor", καθώς και άλλες αριθμητικές μεθόδους όπως η μέθοδος Newton-Raphson μεταξύ άλλων..

Στρατηγική

Η στρατηγική που ακολουθείται είναι:

- Επιλέξτε μια κατάλληλη συνάρτηση f για να εκτελέσετε την προσέγγιση και την τιμή "x" έτσι ώστε το f (x) να είναι η τιμή που θέλετε να προσεγγίσετε.

- Επιλέξτε μια τιμή "x0", κοντά στο "x", έτσι ώστε το f (x0) να είναι εύκολο να υπολογιστεί.

- Υπολογίστε Δx = x-x0.

- Υπολογίστε το παράγωγο της συνάρτησης και f '(x0).

- Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο.

Επίλυση ασκήσεων προσέγγισης

Σε αυτό που συνεχίζει υπάρχει μια σειρά ασκήσεων όπου οι προσεγγίσεις γίνονται χρησιμοποιώντας τη διαφορά.

Πρώτη άσκηση

Περίπου √3.

Λύση

Σύμφωνα με τη στρατηγική, πρέπει να επιλεγεί μια κατάλληλη λειτουργία. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να φανεί ότι η λειτουργία που επιλέγεται πρέπει να είναι f (x) = √x και η κατά προσέγγιση τιμή είναι f (3) = √3.

Τώρα πρέπει να επιλέξουμε μια τιμή "x0" κοντά στο "3" έτσι ώστε το f (x0) να είναι εύκολο να υπολογιστεί. Αν επιλέξετε "x0 = 2" έχετε ότι το "x0" είναι κοντά στο "3" αλλά το f (x0) = f (2) = √2 δεν είναι εύκολο να υπολογίσετε.

Η τιμή του "x0" που είναι βολική είναι "4", επειδή "4" είναι κοντά στο "3" και επίσης f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Αν "x = 3" και "x0 = 4" τότε Δx = 3-4 = -1. Τώρα προχωρούμε για να υπολογίσουμε το παράγωγο του f. Δηλαδή, f '(x) = 1/2 * √x, έτσι ώστε f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές στον τύπο που παίρνετε:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Εάν χρησιμοποιείται μια αριθμομηχανή, λαμβάνεται ότι √3≈1.73205 ... Αυτό δείχνει ότι το προηγούμενο αποτέλεσμα είναι μια καλή προσέγγιση της πραγματικής τιμής.

Δεύτερη άσκηση

Περίπου √10.

Λύση

Όπως προηγουμένως επιλέχθηκε ως συνάρτηση f (x) = √x και στην περίπτωση αυτή x = 10.

Η τιμή του x0 που πρέπει να επιλεγεί σε αυτή την ευκαιρία είναι "x0 = 9". Στη συνέχεια, πρέπει Dx = 10-9 = 1, f (9) = 3 και f «(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Κατά την αξιολόγηση του τύπου παίρνετε αυτό

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή παίρνετε ότι √10 ≈ 3.1622776 ... Εδώ μπορείτε επίσης να δείτε ότι μια καλή προσέγγιση προέκυψε πριν.

Τρίτη άσκηση

Κατά προσέγγιση ³√10, όπου ³√ δηλώνει την κυβική ρίζα.

Λύση

Είναι σαφές ότι η λειτουργία που πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε αυτή την άσκηση είναι f (x) = √√x και η τιμή του "x" πρέπει να είναι "10".

Μια τιμή κοντά στο "10" έτσι ώστε η ρίζα του κύβου είναι γνωστή είναι "x0 = 8". Τότε έχουμε ότι Δx = 10-8 = 2 και f (x0) = f (8) = 2. Έχουμε επίσης ότι f '(x) = 1/3 * √√2, και συνεπώς f' 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στον τύπο, λαμβάνεται ότι:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Ο υπολογιστής λέει ότι ³√10 ≈ 2.15443469 ... Επομένως, η προσέγγιση που βρέθηκε είναι καλή.

Τέταρτη άσκηση

Περίπτωση ln (1.3), όπου "ln" δηλώνει τη συνάρτηση φυσικού λογαρίθμου.

Λύση

Πρώτον, επιλέγεται η συνάρτηση f (x) = ln (x) και η τιμή του "x" είναι 1,3. Τώρα, γνωρίζοντας λίγα για τη λειτουργία λογαρίθμου, μπορούμε να γνωρίζουμε ότι ln (1) = 0, και επίσης το "1" είναι κοντά στο "1.3". Επομένως, επιλέγεται "x0 = 1" και έτσι Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Από την άλλη πλευρά f '(x) = 1 / x, έτσι ώστε f' (1) = 1. Κατά την αξιολόγηση στο δεδομένο τύπο πρέπει:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Όταν χρησιμοποιείτε μια αριθμομηχανή πρέπει να ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Έτσι η προσέγγιση που έγινε είναι καλή.

Αναφορές

1. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθηματικά Precalculus. PTR Prentice Hall.
2. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθήματα Precalculus: προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων (2, Illustrated ed.). Μίτσιγκαν: αίθουσα Prentice.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Εκπαιδευτική εκπαίδευση.
5. Leal, J. Μ., & Viloria, Ν. G. (2005). Επίπεδο αναλυτική γεωμετρία. Μερίδα - Βενεζουέλα: Εκδοτική Βενεζολάνια Γ.
6. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός (Ninth ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Διαφορικός υπολογισμός με πρώιμες υπερβατικές λειτουργίες για την Επιστήμη και τη Μηχανική (Δεύτερη έκδοση έκδ.). Υπόταση.
9. Scott, C. Α. (2009). Καρτεσιανή Αεροπορική Γεωμετρία, Μέρος: Αναλυτικά Conics (1907) (εκτύπωση εκ νέου). Πηγή φωτός.
10. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.