Ιστορικό υπόβαθρο της αναλυτικής γεωμετρίας

Το Ιστορικό υπόβαθρο αναλυτικής γεωμετρίας πηγαίνουν πίσω στον 17ο αιώνα, όταν ο Pierre de Fermat και ο René Descartes ορίζουν τη θεμελιώδη ιδέα τους. Η εφεύρεσή του ακολούθησε τον εκσυγχρονισμό της άλγεβρας και την αλγεβρική γραφή του François Viète.

Το πεδίο αυτό έχει τις βάσεις του στην αρχαία Ελλάδα, ειδικά στα έργα του Απολλώνιου και του Ευκλείδη, που είχαν μεγάλη επιρροή σ 'αυτό τον τομέα των μαθηματικών.

Η βασική ιδέα πίσω από την αναλυτική γεωμετρία είναι ότι μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, έτσι ώστε η μία να είναι μια συνάρτηση του άλλου, ορίζει μια καμπύλη.

Αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Pierre de Fermat. Χάρη σε αυτό το ουσιαστικό πλαίσιο, ο Isaac Newton και ο Gottfried Leibniz κατάφεραν να αναπτύξουν τον υπολογισμό.

Ο γάλλος φιλόσοφος Descartes ανακάλυψε επίσης μια αλγεβρική προσέγγιση στη γεωμετρία, προφανώς μόνος του. Το έργο του Descartes για τη γεωμετρία εμφανίζεται στο περίφημο βιβλίο του Ομιλία της μεθόδου.

Σε αυτό το βιβλίο υποδεικνύεται ότι η πυξίδα και οι γεωμετρικές κατασκευές ευθύγραμμων άκρων περιλαμβάνουν την προσθήκη, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τις τετραγωνικές ρίζες.

Αναλυτική γεωμετρία αναπαριστά την ένωση των δύο σημαντικών παραδόσεων στα μαθηματικά: γεωμετρία και τη μελέτη της μορφής, και την αριθμητική και την άλγεβρα, τα οποία έχουν να κάνουν με τον αριθμό ή τους αριθμούς. Επομένως, η αναλυτική γεωμετρία είναι η μελέτη του πεδίου γεωμετρίας με τη χρήση συντεταγμένων.

Ιστορία

Ιστορικό της αναλυτικής γεωμετρίας

Η σχέση μεταξύ γεωμετρίας και άλγεβρας εξελίχθηκε σε όλη την ιστορία των μαθηματικών, αν και η γεωμετρία έφτασε σε προγενέστερο βαθμό ωριμότητας.

Για παράδειγμα, ο Έλληνας μαθηματικός Euclid ήταν σε θέση να οργανώσει πολλά αποτελέσματα στο κλασικό του βιβλίο Τα στοιχεία.

Αλλά ήταν ο αρχαίος Απόλλωνιος της Πέργας ο οποίος πρόβλεψε την ανάπτυξη αναλυτικής γεωμετρίας στο βιβλίο του Conics. Ορίστηκε μια κωνική ως το σημείο τομής μεταξύ ενός κώνου και ενός αεροπλάνου.

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Ευκλείδη παρόμοια και τέμνουσας κύκλους τρίγωνα, βρήκε ένα αριστερό από αποστάσεις οποιουδήποτε σημείου «Ρ» ενός κωνικού δύο κάθετες γραμμές, ο κύριος άξονας του κώνου και η εφαπτομένη στο ένα άκρο σημείο της αναλογίας άξονα. Ο Απολλώνιος χρησιμοποίησε αυτή τη σχέση για να συναγάγει τις θεμελιώδεις ιδιότητες των κωνικών.

Η μεταγενέστερη ανάπτυξη των συστημάτων συντεταγμένων στα μαθηματικά προέκυψε μόνο μετά την ωρίμανση της άλγεβρας χάρη στους Ισλαμιστές και τους Ινδιάνους μαθηματικούς.

Μέχρι που η γεωμετρία της Αναγέννησης χρησιμοποιήθηκε για να δικαιολογήσει λύσεις για αλγεβρικά προβλήματα, αλλά δεν υπήρχε πολύ ότι η άλγεβρα θα μπορούσε να συμβάλει στη γεωμετρία.

Αυτή η κατάσταση θα αλλάξει με την υιοθέτηση μιας κατάλληλης σημειογραφίας για αλγεβρικές σχέσεις και την ανάπτυξη της έννοιας μιας μαθηματικής λειτουργίας, η οποία ήταν τώρα δυνατή.

XVI αιώνα

Στο τέλος του δέκατου έκτου αιώνα, ο γαλλικός μαθηματικός François Viète εισήγαγε την πρώτη συστηματική αλγεβρική συμβολική επιστολή, χρησιμοποιώντας γράμματα για να αντιπροσωπεύει αριθμητικές ποσότητες, γνωστές και άγνωστες.

Έχει επίσης αναπτύξει ισχυρές γενικές μεθόδους για την εργασία των αλγεβρικών εκφράσεων και την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων.

Χάρη σε αυτό, οι μαθηματικοί δεν ήταν εντελώς εξαρτημένοι από τις γεωμετρικές μορφές και τη γεωμετρική διάθεση για την επίλυση προβλημάτων.

Ακόμη και ορισμένοι μαθηματικοί άρχισαν να εγκαταλείπουν τον τυπικό γεωμετρικό τρόπο σκέψης, σύμφωνα με τον οποίο οι γραμμικές μεταβλητές μήκους και τετραγώνων αντιστοιχούν σε περιοχές, ενώ οι κυβικές αντιστοιχούν στους όγκους.

Οι πρώτοι που πήραν αυτό το βήμα ήταν ο φιλόσοφος και μαθηματικός René Descartes και ο δικηγόρος και μαθηματικός Pierre de Fermat.

Θεμελίωση της αναλυτικής γεωμετρίας

Ο Descartes και ο Fermat ξεκίνησαν ανεξάρτητα την αναλυτική γεωμετρία κατά τη δεκαετία του 1630, υιοθετώντας την άλγεβρα Viète για τη μελέτη γεωμετρικής θέσης.

Αυτοί οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι η άλγεβρα ήταν ένα εργαλείο μεγάλης δύναμης στη γεωμετρία και εφευρέθηκε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως αναλυτική γεωμετρία.

Μια πρόοδος που έκαναν ήταν να ξεπεράσουν το Viète χρησιμοποιώντας γράμματα για να αντιπροσωπεύουν αποστάσεις που είναι μεταβλητές αντί για σταθερές..

Descartes εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη καμπύλες ορίζονται γεωμετρικά, και υπογράμμισε την ανάγκη να εξεταστεί γενική αλγεβρικό-γραφικές καμπύλες των πολυωνυμικών εξισώσεων σε βαθμούς «χ» και «γ».

Από την πλευρά του, ο Fermat τόνισε ότι οποιαδήποτε σχέση μεταξύ των συντεταγμένων "x" και "και" καθορίζει μια καμπύλη.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδέες, αναδιάρθρωσε τις δηλώσεις του Απολλώνιου σχετικά με τους αλγεβρικούς όρους και αποκατέστησε μερικά από τα χαμένα του έργα..

Ο Fermat έδειξε ότι οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση στα "x" και "y" μπορεί να τοποθετηθεί στην τυποποιημένη μορφή ενός από τα κωνικά τμήματα. Παρ 'όλα αυτά, ο Fermat δεν δημοσίευσε ποτέ το έργο του επί του θέματος.

Χάρη στην πρόοδο της, του Αρχιμήδη θα μπορούσε να λυθεί μόνο με μεγάλη δυσκολία και μεμονωμένες περιπτώσεις, Fermat και Descartes θα μπορούσε γρήγορα και να λύσει πολλά από καμπύλες (τώρα γνωστή ως αλγεβρικό καμπύλες).

Αλλά οι ιδέες του κέρδισαν γενική αποδοχή μέσω των προσπαθειών άλλων μαθηματικών στο δεύτερο μισό του δέκατου έβδομου αιώνα.

Οι μαθηματικοί Frans van Schooten, Florimond de Beaune και Johan de Witt συνέβαλαν στην επέκταση του έργου του Decartes και πρόσθεσαν σημαντικό πρόσθετο υλικό.

Επίδραση

Στην Αγγλία, ο John Wallis διάπλασε την αναλυτική γεωμετρία. Χρησιμοποιεί εξισώσεις για τον ορισμό των κωνικών και για την απόκτηση των ιδιοτήτων τους. Αν και χρησιμοποιούσε αρνητικές συντεταγμένες ελεύθερα, ήταν ο Isaac Newton ο οποίος χρησιμοποίησε δύο πλάγιους άξονες για να διαιρέσει το αεροπλάνο σε τέσσερα τεταρτημόρια.

Ο Νεύτωνας και ο Γερμανός Gottfried Leibniz επανάστασαν τα μαθηματικά στα τέλη του 17ου αιώνα με ανεξάρτητη επίδειξη της δύναμης υπολογισμού.

Ο Newton έδειξε τη σημασία των αναλυτικών μεθόδων στη γεωμετρία και το ρόλο του στον υπολογισμό, όταν ισχυρίστηκε ότι οποιοσδήποτε κύβος (ή οποιαδήποτε άλγεβρα καμπύλη τρίτου βαθμού) έχει τρεις ή τέσσερις τυπικές εξισώσεις για κατάλληλους άξονες συντεταγμένων. Με τη βοήθεια του ίδιου του Νεύτωνα, ο σκωτσέζος μαθηματικός John Stirling το απέδειξε το 1717.

Αναλυτική γεωμετρία τριών και περισσοτέρων διαστάσεων

Αν και ο Descartes και ο Fermat πρότειναν να χρησιμοποιήσουν τρεις συντεταγμένες για να μελετήσουν καμπύλες και επιφάνειες στο διάστημα, η τρισδιάστατη αναλυτική γεωμετρία αναπτύχθηκε αργά μέχρι το 1730.

Οι μαθηματικοί Euler, Hermann και Clairaut παρήγαγαν γενικές εξισώσεις για κυλίνδρους, κώνοι και επιφάνειες επανάστασης.

Για παράδειγμα, η Euler χρησιμοποίησε εξισώσεις για μεταφράσεις στο διάστημα για να μεταμορφώσει την γενική τετραγωνική επιφάνεια, έτσι ώστε οι κύριοι άξονές της να συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων.

Οι Euler, Joseph-Louis Lagrange και Gaspard Monge έκαναν την αναλυτική γεωμετρία ανεξάρτητη από τη συνθετική γεωμετρία (όχι αναλυτική).

Αναφορές

1. Η ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας (2001). Ανάκτηση από το encyclopedia.com
2. Ιστορία της αναλυτικής γεωμετρίας (2015). Ανάκτηση από το maa.org
3. Ανάλυση (Μαθηματικά). Ανάκτηση από britannica.com
4. Αναλυτική γεωμετρία. Ανάκτηση από britannica.com
5. Ο Descartes και η γέννηση της αναλυτικής γεωμετρίας. Ανακτήθηκε από sciencedirect.com