Τεχνικές ανάλυσης διαστάσεων, αρχή ομοιογένειας και ασκήσεις

Το διαστασιακή ανάλυση είναι ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής για την καλύτερη κατανόηση των φαινομένων που περιλαμβάνουν την παρουσία διαφορετικών φυσικών μεγεθών. Τα μεγέθη έχουν διαστάσεις και από αυτές προέρχονται οι διαφορετικές μονάδες μέτρησης.

Η προέλευση της έννοιας της διάστασης βρίσκεται στον γαλλικό μαθηματικό Joseph Fourier, ο οποίος την έπλασε. Ο Fourier κατάλαβε επίσης ότι, για να είναι δύο εξισώσεις συγκρίσιμες, πρέπει να είναι ομοιογενείς σε σχέση με τις διαστάσεις τους. Δηλαδή, δεν μπορείτε να προσθέσετε μετρητές με κιλά.

Έτσι, η διαστατική ανάλυση είναι υπεύθυνη για τη μελέτη των μεγεθών, των διαστάσεων και της ομοιογένειας των φυσικών εξισώσεων. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται συχνά για να ελέγξει τις σχέσεις και τους υπολογισμούς ή για να κατασκευάσει υποθέσεις σχετικά με περίπλοκα ερωτήματα που μπορούν στη συνέχεια να δοκιμαστούν πειραματικά..

Με αυτό τον τρόπο, η ανάλυση διαστάσεων είναι ένα τέλειο εργαλείο για την ανίχνευση σφαλμάτων στους υπολογισμούς κατά τον έλεγχο της αντιστοιχίας ή της ασυνέπειας των μονάδων που χρησιμοποιούνται σε αυτές, με ιδιαίτερη έμφαση στις μονάδες των τελικών αποτελεσμάτων.

Επιπλέον, η ανάλυση διαστάσεων χρησιμοποιείται για την εκπόνηση συστηματικών πειραμάτων. Επιτρέπει τη μείωση του αριθμού των απαραίτητων πειραμάτων, καθώς και τη διευκόλυνση της ερμηνείας των αποτελεσμάτων.

Μια από τις θεμελιώδεις βάσεις της διαστασιακής ανάλυσης είναι ότι είναι δυνατόν να αντιπροσωπεύσουμε οποιαδήποτε φυσική ποσότητα ως προϊόν των δυνάμεων μιας μικρότερης ποσότητας, γνωστές ως θεμελιώδεις ποσότητες από τις οποίες προέρχονται τα υπόλοιπα.

Ευρετήριο

• 1 Θεμελιώδη μεγέθη και διαστασιακή φόρμουλα
• 2 Τεχνικές ανάλυσης διαστάσεων
  • 2.1 Μέθοδος Rayleigh
  • 2.2 Μέθοδος του Buckingham
• 3 Αρχή της ομοιογένειας των διαστάσεων
  • 3.1 Αρχή της ομοιότητας
• 4 Εφαρμογές
• 5 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 5.1 Πρώτη άσκηση
  • 5.2 Δεύτερη άσκηση
• 6 Αναφορές

Θεμελιώδη μεγέθη και διαστασιακή φόρμουλα

Στη φυσική, τα θεμελιώδη μεγέθη θεωρούνται εκείνα που επιτρέπουν σε άλλους να εκφραστούν ως προς αυτά. Συγκεκριμένα επιλέχθηκαν τα εξής: το μήκος (L), ο χρόνος (Τ), η μάζα (Μ), η ένταση ηλεκτρικού ρεύματος (Ι), η θερμοκρασία θ, η ένταση φωτός ποσότητα ουσίας (N).

Αντίθετα, τα υπόλοιπα θεωρούνται ως παράγωγες ποσότητες. Ορισμένα από αυτά είναι: περιοχή, όγκος, πυκνότητα, ταχύτητα, επιτάχυνση, μεταξύ άλλων.

Η μαθηματική ισότητα ορίζεται ως ένας τύπος διαστάσεων που παρουσιάζει τη σχέση μεταξύ μιας παραγόμενης ποσότητας και των θεμελιωδών.

Τεχνικές ανάλυσης διαστάσεων

Υπάρχουν διάφορες τεχνικές ή μέθοδοι ανάλυσης διαστάσεων. Δύο από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

Μέθοδος Rayleigh

Ο Rayleigh, ο οποίος ήταν δίπλα στο Fourier, ένας από τους πρόδρομους της διαστασιακής ανάλυσης, ανέπτυξε μια άμεση και πολύ απλή μέθοδο που μας επιτρέπει να αποκτήσουμε αδιάστατα στοιχεία. Στη μέθοδο αυτή ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα:

1- Καθορίζεται η συνάρτηση δυνητικών χαρακτήρων της εξαρτώμενης μεταβλητής.

2- Κάθε μεταβλητή αλλάζει με τις αντίστοιχες διαστάσεις της.

3- Οι εξισώσεις της κατάστασης ομοιογένειας καθιερώνονται.

4- Τα άγνωστα n-p είναι σταθερά.

5- Αντικαταστήστε τους εκθέτες που έχουν υπολογιστεί και σταθεροποιηθεί στην πιθανή εξίσωση.

6- Μετακινήστε τις ομάδες μεταβλητών για να ορίσετε τους αδιάστατους αριθμούς.

Μέθοδος του Μπάκιγχαμ

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα του Buckingham ή στο θεώρημα pi, το οποίο δηλώνει τα εξής:

Αν υπάρχει σχέση σε ένα επίπεδο ομοιογενούς διαστάσεως μεταξύ ενός αριθμού "n" φυσικών μεγεθών ή μεταβλητών όπου εμφανίζονται διαφορετικές θεμελιώδεις διαστάσεις "ρ", υπάρχει επίσης μια σχέση ομοιογένειας μεταξύ n-p, ανεξάρτητων διαστάσεων ομάδων.

Αρχή της ομοιογένειας των διαστάσεων

Η αρχή του Fourier, γνωστή και ως αρχή της ομοιογένειας των διαστάσεων, επηρεάζει τη σωστή δομή των εκφράσεων που συνδέουν τις φυσικές ποσότητες αλγεβρικά.

Είναι μια αρχή που έχει μαθηματική συνέπεια και δηλώνει ότι η μόνη επιλογή είναι να αφαιρέσουμε ή να προσθέσουμε μαζί φυσικά μεγέθη που είναι της ίδιας φύσης. Επομένως, δεν είναι δυνατή η προσθήκη μιας μάζας με μήκος ή χρόνο με επιφάνεια κ.λπ..

Ομοίως, η αρχή ορίζει ότι, για να είναι οι σωματικές εξισώσεις σωστές στο επίπεδο διαστάσεων, οι συνολικοί όροι των μελών των δύο πλευρών της ισότητας πρέπει να έχουν την ίδια διάσταση. Αυτή η αρχή επιτρέπει να διασφαλιστεί η συνοχή των φυσικών εξισώσεων.

Αρχή της ομοιότητας

Η αρχή της ομοιότητας είναι μια επέκταση του χαρακτήρα της ομοιογένειας στο επίπεδο διαστάσεων των φυσικών εξισώσεων. Αναφέρεται ως εξής:

Οι φυσικοί νόμοι παραμένουν αμετάβλητοι έναντι της αλλαγής των διαστάσεων (μεγέθους) ενός φυσικού γεγονότος στο ίδιο σύστημα μονάδων, είτε πρόκειται για αλλαγές ενός πραγματικού ή φανταστικού χαρακτήρα.

Η σαφέστερη εφαρμογή της αρχής της ομοιότητας δίνεται στην ανάλυση των φυσικών ιδιοτήτων ενός μοντέλου που γίνεται σε μικρότερη κλίμακα, για να χρησιμοποιήσουμε αργότερα τα αποτελέσματα στο αντικείμενο σε πραγματικό μέγεθος.

Η πρακτική αυτή είναι θεμελιώδης σε τομείς όπως ο σχεδιασμός και η κατασκευή αεροσκαφών και πλοίων και μεγάλα υδραυλικά έργα.

Εφαρμογές

Μεταξύ των πολλών εφαρμογών της ανάλυσης διαστάσεων μπορούμε να επισημάνουμε αυτές που αναφέρονται παρακάτω.

- Εντοπίστε πιθανά σφάλματα στις διεξαγόμενες λειτουργίες

- Επίλυση προβλημάτων των οποίων η ανάλυση παρουσιάζει κάποια ανυπέρβλητη μαθηματική δυσκολία.

- Σχεδιάστε και αναλύστε μοντέλα μικρής κλίμακας.

- Πραγματοποιήστε παρατηρήσεις σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο επηρεάζονται οι πιθανές τροποποιήσεις ενός μοντέλου.

Επιπλέον, η ανάλυση διαστάσεων χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στη μελέτη της μηχανικής ρευστών.

Η συνάφεια της διαστασιακής ανάλυσης στη μηχανική υγρών οφείλεται στη δυσκολία δημιουργίας εξισώσεων σε ορισμένες ροές καθώς και στη δυσκολία επίλυσης αυτών, οπότε είναι αδύνατο να αποκτηθούν εμπειρικές σχέσεις. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να καταφύγουμε στην πειραματική μέθοδο.

Επιλυμένες ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Βρείτε τη διαστασιακή εξίσωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης.

Λύση

Δεδομένου ότι v = s / t, είναι αλήθεια ότι: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Ομοίως:

α = ο / ο

[α] = L / T² = L ∙ T^-2

Δεύτερη άσκηση

Προσδιορίστε τη διαστασιακή εξίσωση της ποσότητας της κίνησης.

Λύση

Δεδομένου ότι η ορμή είναι το προϊόν μεταξύ μάζας και ταχύτητας, είναι αλήθεια ότι p = m ∙ v

Επομένως:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

Αναφορές

1. Ανάλυση διαστάσεων (n.d.). Στη Βικιπαίδεια. Ανακτήθηκε στις 19 Μαΐου 2018, από το en.wikipedia.org.
2. Ανάλυση διαστάσεων (n.d.). Στη Βικιπαίδεια. Ανακτήθηκε στις 19 Μαΐου 2018, από το en.wikipedia.org.
3. Langhaar, Η. L. (1951), Ανάλυση Διαστάσεων και Θεωρία Μοντέλων, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Φυσική και Χημεία. Everest
5. Ο David C. Cassidy, ο Gerald James Holton, ο Floyd James Rutherford (2002). Κατανόηση της φυσικής. Birkhäuser.